- •III. Приложения определённого интеграла
- •§1. Площадь плоской фигуры
- •3. Условия квадрируемости фигур
- •4. Кривые с нулевой площадью
- •5. Свойства площади
- •6. Вычисление площади плоской фигуры
- •I. Вычисление площади плоской фигуры в декартовых координатах
- •II. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной параметрическими уравнениями
- •III. Площадь в полярных координатах
- •§2. Кубируемые тела и их объёмы
- •1. Понятие кубируемого тела и его объема
- •2. Объём прямого цилиндрического тела
- •3. Вычисление объёма тела вращения
- •§3. Вычисление длины гладкой кривой
- •1. Понятие спрямляемой кривой и её длины
- •2. Вычисление длины гладкой кривой
- •§4. Площадь поверхности
6. Вычисление площади плоской фигуры
I. Вычисление площади плоской фигуры в декартовых координатах
1) Площадь криволинейной трапеции
Определение 1. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком функции y=f(x), где fC[a;b], a<b, f(x)≥0, x[a;b], прямыми x=a и x=b и отрезком [a;b] оси Ox.
Теорема 9. Криволинейная трапеция представляет собой квадрируемую фигуру F, площадь которой
. (13)
Доказательство.
1) Криволинейная трапеция F ограничена тремя отрезками и графиком непрерывной функции f. Тогда по теореме 5 F – квадрируема.
2) Найдём(F).
Возьмём отрезка [a;b] на частичные отрезки ,. Обозначим черезинаименьшее и наибольшее значения функции на. Составим суммыи. Очевидно,и- площади описанного и вписанного околоF многоугольников. Следовательно,
. (14)
По условию fC[a;b] .
Переходя к пределу в (14), получим (13).
Геометрический смысл определенного интеграла.
Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), где fC[a;b], a<b, f(x)≥0, x[a;b], прямыми x=a и x=b и отрезком [a;b] оси Ox.
2) Фигура F ограничена графиком функции y=f(x), где fC[a;b], a<b, f(x)≤0, x[a;b], прямыми x=a и x=b и отрезком [a;b] оси Ox.
тоже будем называть криволинейной трапецией. Т. к. f(x)≤0, то -f(x)≥0, и, значит, к фигуре F1 можем применить формулу 1:
.
. (15)
3) иf(x) меняет знак в конечном числе точек [a;b].
Разобьем фигуру F на части, в каждой из которых f(x) не меняет знак, и применим ответствующую формулу (13) или (15).
,
.
4) Фигура ограничена снизу графиком функцииy=f1(x), сверху - y=f2(x), ,, и с боков прямымиx=a, x=b.
F=F2\F1, где F1 ограничена сверху графиком y=f1(x), а F2 – графиком y=f2(x). Так как , то
.
По свойству интеграла .
II. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной параметрическими уравнениями
Теорема 10. Пусть криволинейная трапеция ограничена кривойАВ, заданной параметрическими уравнениями: .
Если: 1)и,
2) и,
3) ,
то криволинейная трапеция квадрируема и справедлива формула:
. (16)
Доказательство.
Так как , то существует обратная функция, возрастающая и непрерывная на [a;b]. Следовательно, .Таким образом, криваяАВ является графиком функции y=f(x), где . Тогда по теореме 9 криволинейная трапеция квадрируема и её площадь
.
Выполним здесь подстановку: .
. Т. о., получаем (16).
Формула (16) справедлива и для случая .
Если (0tT) – параметрические уравнения простой замкнутой кривой, пробегаемой против хода часовой стрелки и ограничивающей слева от себя фигуру F, то площадь фигуры можно вычислить по одной из формул:
, ,
. (17)
Пример.Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой .
Т. к. фигура F ограничена замкнутой линией, то удобно применить формулу (17).
.
III. Площадь в полярных координатах
1) Пусть кривая L задана в полярной системе координат уравнением:
.
Определение. Криволинейным сектором называется плоская фигура, ограниченная кривой L и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы .
Теорема 11. Криволинейный сектор представляет собой квадрируемую фигуру F, площадь которой вычисляется по формуле:
.
Доказательство.
Выберем произвольное разбиение отрезка точкаминаn частей . Проведём лучи. Сектор разбит наn частей. Т.к. , то на каждом из частичных отрезковона имеет наибольшееи наименьшеезначения. Напостроим два круговых сектора с радиусамии. Получим две ступенчатые квадрируемые фигуры. Одна из нихP содержится в секторе, а другая Q его содержит. Площади этих ступенчатых фигур
, , .
и - нижние и верхние интегральные суммы для функции, то есть, .
Так как функция , то она интегрируема на, то естьвыполнено. Пусть<. Тогда по теореме 2 фигура F квадрируема (так как нашлись две квадрируемые фигурыP и Q, , такие, что).
Так как функция интегрируема на, то
.
Так как , то.
2) Пусть фигура ограничена кривыми ,, на и лучами=, =. Тогда
.