4. Необходимое условие сходимости ряда

Теорема 5. Если ряд (1) сходится, то.

Доказательство.

Так как ряд (1) сходится, то ,.выполнено. Тогда.

Заметим, что обратное утверждение неверно. То есть из того, что не следует, что ряд (1) сходится (необходимое условие сходимости не является достаточным). Примером служит ряд , который называетсяосновным гармоническим рядом.

(Как видно, -го члена этого ряда равна нулю, но ряд расходится).

Пример 5. Доказать расходимость ряда .

Δ Допустим противное: ряд сходится.

Рассмотрим ;

.

Т. к. по предположению ряд сходится, то и. Следовательно,.

Согласно определению предела это означает, что

выполнено . ()

Но .

То есть - противоречие с (), которое показывает, что наше предположение неверно. Значит, основной гармонический рядрасходится. Δ

Замечание. Из теоремы 5 следует, что если (в том числе не существует), то рядрасходится.

Например, расходится, так как.

расходится, так как .

расходится, так как .

§ 2. Положительные ряды

Определение. Положительным рядом называется ряд, все члены которого неотрицательны.

(Правильнее было бы назвать такие ряды неотрицательными, но по традиции они называются положительными).

, где ,(1)

Рассмотрим частичные суммы ряда (1):

S₁=a₁;

S₂=a₁+a₂= S₁+a₂≥ S₁;

S₃=a₁+a₂+a₃= S₂+a₃≥ S₂;

……………..

S_n=a₁+a₂+…+ a_n-1 +a_n= S_n-1+ a_n≥ S_n-1 .

Последовательность неотрицательная, неубывающая. Напомним, что имеет место следующее утверждение: всякая неубывающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел.

Теорема 6. (необходимое и достаточное условие сходимости).

Для того, чтобы ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху.

Доказательство.

1. Необходимость.

Пусть ряд (1) сходится. Тогда существует конечный Следовательно,ограничена и, значит, ограничена сверху (так как последовательность неотрицательная и неубывающая).

2. Достаточность.

Пусть ограничена сверху. Так какнеубывающая, то она имеет предел, следовательно, ряд (1) сходится.

Решить вопрос о сходимости ряда с помощью теоремы 6 можно лишь в редких случаях (для уже сложно). Рассмотрим теоремы, которые являются более удобными для практического использования.

Теорема 7 (общий признак сравнения). Пусть даны два положительных ряда (А) и(B) и выполнено. (2)

Тогда 1) если сходится, тотоже сходится,

2) если расходится, тотоже расходится.

Доказательство.

Обозначим .

Из (2) следует .

1) Пусть ряд сходится. Тогда по теореме 6ограничена сверху. Следовательно,ограничена сверху. Значит, по теореме 6 рядсходится.

2) Пусть ряд расходится. Докажем, что ирасходится. Предположим противное:сходится. Но тогда, по только что доказанному, рядсходится. Это противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно, ирасходится.

Замечание. Теорема 7 справедлива и в случае, когда неравенство (2) выполнено не для любого , а, начиная с некоторого номера, то есть. Справедливость этого заключения вытекает из теоремы 1 о сходимости остатка ряда.

При исследовании рядов на сходимость с помощью признака сравнения мы должны иметь ряды, сходимость которых известна (с чем сравнивать).

! (геометрический ряд) сходится при

расходится при .

! (гармонический ряд) сходится при,

расходится при .

(При - основной гармонический ряд.)

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

Δ .

Ряд сходится, так как это геометрический ряд с.

Следовательно, по теореме 7 данный ряд сходится. Δ

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Δ .

Ряд расходится (гармонический ряд,), следовательно, рядрасходится. Тогда (по теореме 7) данный ряд (ряд с большими членами) расходится. Δ

Теорема 8 (частный признак сравнения). Пусть даны два положительных ряда (А) и(В),(ряд (В) – строго положительный) и

.

Тогда: 1) если ряд сходится и, то ряд сходится;

2) если ряд расходится и, то расходится.

Доказательство.

По условию выполнено, т. е.

. (3)

1) Пусть ряд сходится и. Из (3)

.

Так как ряд сходится, то по теореме 4 сходится и рядследовательно, (по т. 7 и замечанию) сходится и ряд .

2) Пусть ряд расходится,. Из неравенства (3)

.

Пусть - конечное число. Так как рядрасходится, то расходится и ряд. Следовательно, (по т. 7 и замечанию) расходится и ряд .

Если , то из последнего неравенства получаем. Следовательно, по необходимому условию сходимости ряд расходится.

Замечание. Если , то ряды и эквивалентны по сходимости (то есть сходятся или расходятся одновременно).

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

Δ Сравним с рядом , который сходится.

.

Значит, (по т. 8) ряд сходится. Δ

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Δ Сравним с рядом - расходящийся.

.

Следовательно, (по т. 8) ряды эквивалентны по сходимости, то есть данный ряд расходится. Δ

Теорема 9 (признак Даламбера). Пусть дан ряд ,(ряд строго положительный). Пусть. (5)

Тогда: 1) ряд сходится, если d<1 (в том числе и d=0);

2) ряд расходится, если d>1 (в том числе и d=+).

(В случае d=1 заключения о сходимости ряда сделать нельзя).

Доказательство.

1) d<1.

Зафиксируем так, чтобыd+<1. Обозначим d+=q, q<1.

Из (5) следует, что для выбранного выполнено

или .

Отсюда

То есть для

(6)

Рассмотрим ряды (7) и(8). Ряд (8) сходится (геометрический ряд,). В силу (6) члены ряда (7) не больше соответствующих членов ряда (8). Следовательно, (по т. 7) ряд (7) сходится. Но ряд (7) – это остаток рядаследовательно, (по т. 1) рядсходится.

2) d>1.

Зафиксируем .

Из (5) следует, что для выбранного выполнено

.

Тогда и, следовательно, (по необходимому условию сходимости) рядрасходится.

Заметим, что в случае d=1 ряд может как сходиться, так и расходиться.

Например, расходится,,

а ряд сходится,.

Пример.

Δ =

. Следовательно, данный ряд сходится. Δ

Теорема 10 (признак Коши). Пусть дан положительный ряд , и. (9)

Тогда: 1) если k<1, то ряд сходится (в том числе k=0);

2) если k>1, то ряд расходится (в том числе .

(В случае k=1 ряд может как сходиться, так и расходиться.)

Доказательство.

1) k<1.

Зафиксируем . Обозначим.

Из (9) следует, что для выбранного  выполнено

или .

Отсюда . То есть. (10)

Рассмотрим ряды (11) и(12). Ряд (12) сходится (геометрический ряд,). Тогда по общему признаку сравнения (т. 7) из (10) следует чтосходится. Следовательно, (по т. 1) сходится и ряд.

2) k>1.

Так как , то. Значит,. Поэтому. Следовательно, по необходимому условию сходимости, ряд (А) расходится.

Заметим, что в случае k=1 заключения о сходимости ряда сделать нельзя.

Например, ряд расходится,,

а ряд сходится,.

Пример. .

Δ

.

Следовательно, ряд сходится. Δ

В случае, когда признак Даламбера дает ответ на вопрос о сходимости ряда, ответ может быть получен и с помощью признака Коши. Но признак Коши сильнее, чем признак Даламбера. В тех случаях, когда признак Даламбера не работает (d=1), ответ может получиться с помощью признака Коши.

Теорема 11 (интегральный признак Маклорена-Коши). Пусть – положительный ряд. Если существует невозрастающая непрерывная неотрицательная функция, заданная при, такая, что, то для сходимости ряданеобходимо и достаточно существование несобственного интеграла.

Доказательство.

Возьмем . Рассмотримна.

Так как не возрастает, товыполнено

.

Проинтегрируем это неравенство по отрезку :

,

или .

Так как по условию , то.

Просуммируем последнее неравенство по :

Так как ,, то получаем

. (13)

Геометрическая интерпретация неравенства (13): площадь криволинейной трапеции, выражающаяся определенным интегралом , ограничена по величине между площадями вписанной и описанной ступенчатых фигур.

Площадь вписанной фигуры равна сумме площадей прямоугольников шириной 1 и высотой . То есть. Площадь описанной фигуры аналогично. Следовательно, получаем неравенство (13).

1) Необходимость.

Пусть сходится ряд . Тогда по теореме 6ограничена, и из (13) следует, что последовательность интеграловограничена. Так какиn возрастает, то эти интегралы образуют возрастающую числовую последовательность. Следовательно, существует предел этой последовательности интегралов . То есть существует несобственный интеграл.

2) Достаточность.

Пусть существует несобственный интеграл . Тогда последовательность интеграловвозрастает (так как) и ограничена сверху, например, своим пределом:

.

Из (13) ,

то есть последовательность ограничена сверху. По теореме 6 это означает, что рядсходится.

Замечание. Теорема 11 справедлива и для случая .

Пример. Исследовать на сходимость гармонический ряд .

Δ Функция неотрицательна, непрерывна, не возрастает на.

1) При 1 .

а) Если , то и, то есть интеграл сходится. Значит, гармонический ряд сходится.

б) Если , то , то есть интеграл расходится. Значит, рядрасходится.

2) При , получаем основной гармонический ряд .

интеграл расходится, ряд расходится.

Итак, сходится при

расходится при . Δ