§16. Канторово множество

Вопросы для самостоятельного изучения:

1. Построение Канторова множества .

2. Свойства:

а) совершенное множество;

б) нигде не плотно в R;

в) .

§17. Мера ограниченного открытого множества на r Определение меры ограниченного открытого множества

Определение 1. Мерой интервала (a,b), a<b,называется его длина, то есть числоm=m(0,1)=a-b.

Из определения следует, что m(a,b)>0.

Всякое открытое множество является объединением конечного числа или счетного множества попарно непересекающихся интервалов, концы которых не принадлежат G(составляющих интервалов). ПустьG– ограниченное открытое множество и=,. Так какG– ограниченное множество, то, мера которогоm=a-b. Очевидно, что. Итак, интервалыпопарно не пересекаются попарно и содержатся в интервале (a,b).

Рассмотрим два случая:

1. Пусть G– конечное объединение интервалов. Ясно, что(1) (сумма мер интервалов - положительное число).

2. Пусть G– счётное объединение интервалов. Рассмотрим ряд (2)- положительный числовой ряд. Рассмотрим частичные суммы ряда. Так как ряд (2) – положительный, то- возрастающая последовательность, на основании (1) она ограничена, следовательно,, тогда по определению ряд (2) сходится и его сумма есть неотрицательное число:

. (3)

Из (1) и (3) следует, что если G- открытое ограниченное множество, то сумма мер его составляющих интервалов неотрицательное число, не большее (b-a).

Определение 2. Мерой ограниченного открытого множества Gназывается сумма мер его составляющих интервалов, то есть если, то.

Ясно, что .

Свойства мер открытых ограниченных множеств

Теорема 1. Если ограниченное открытое множествоGявляется объединением конечного числа или счетного множества попарно непересекающихся открытых множествG_k, то мера множестваGравна сумме мер множествG_k, то есть.

Доказательство:

Возьмём ,. Тогда. В правой части последнего равенства не более чем счетное число интервалов. Так какне пересекаются попарно, то и интервалы в последнем равенстве попарно не пересекаются, следовательно, они являются составляющими интервалами для множестваG.По определению 2.

Теорема 2. Пусть- ограниченные открытые множества, такие что. Тогда.

Доказательство:

Пусть . Возьмем любой составляющий интервал множества, для него в силу условияобязательно существует такой составляющий интервал, что, тогда. Просуммируем все такие неравенства:. Таким образом,.

§18. Мера ограниченного замкнутого множества Определение меры ограниченного замкнутого множества

Определение 1. Мерой пустого множестваназывается число 0:т(Ø)=0.

Пусть F- ограниченное замкнутое множество. Тогда существует наименьший отрезок, содержащий множествоF. Рассмотрим множество. Оно ограничено, так как содержится в, и открыто как дополнение замкнутого множества. Следовательно, существует мера этого множества. Так както по теореме 2. Тогда.

Определение 2: Мерой ограниченного замкнутого множества Fназывается число, обозначаемоеmFи определяемое по формуле, где- наименьший отрезок, содержащий множествоF.

mF– неотрицательное число.