Свойства мер ограниченных замкнутых множеств

Теорема 1. .

Доказательство:

Теорема 2: Пустьи- два непересекающихся отрезка, тогда мера их объединения равна сумме мер данных отрезков:

.

Доказательство:

Обозначим - замкнутое множество (как объединение двух замкнутых множеств). Пусть, тогда наименьший отрезок, содержащийF, есть отрезок. Тогда по определению 2

.

Теорема 3. ПустьF- ограниченное замкнутое множество, содержащееся в интервале, тогда

Доказательство:

Пусть - наименьший отрезок, содержащий множествоF. Тогда по определению 2

,_.

Запишем в виде:

.

Теорема 4. Пусть- ограниченные замкнутые множества, такие что. Тогда.

Доказательство:

Так как ограничено, то существует открытое множествоGтакое, что, тогда. Рассмотрим множестваи- ограниченные открытые множества. Покажем, что. Действительно, возьмём. По теореме 2(по теореме 3).

§19. Лемма Гейне-Бореля. Компактные множества

Пусть ,- метрическое пространство.

Лемма.ПустьF– замкнутое ограниченное множество,- система интервалов, покрывающая множествоF, то есть такая, что. Тогда существуют интервалытакие, что(то есть из бесконечной системы интервалов, покрывающих множествоF, можно выбрать конечную подсистему, покрывающуюF).

Доказательство:

Пусть ,- наименьший отрезок, содержащийF. Предположим, что из бесконечной системы интервалов нельзя выбрать конечную систему, покрывающуюF.

Делим отрезок на два равных отрезкаи. По предположению хотя бы один из этих отрезков нельзя покрыть конечным числом интервалов. Обозначим его.

Отрезок делим на два равных отрезка. Заобозначим тот из них, который нельзя покрыть конечным числом интервалов (если оба нельзя, то берём любой из них).

Процесс продолжим до бесконечности. Получим последовательность отрезков

,.

Для имеем:

1. нельзя покрыть конечным числом интервалов (по построению). Следовательно, всодержится бесконечное число точек множестваF;

2. - последовательность вложенных отрезков,при. Тогда по принципу вложенных отрезков,.

Покажем, что . Выберем любую последовательность точек. Это можно сделать по п.1. По теореме о пределе промежуточной последовательности, то естьявляется предельной точкой множестваF. Так какFзамкнуто, то. Тогда(принадлежит одному из покрывающих интервалов).

Так как при, а- фиксированный интервал, то, то естьпокрывается одним интервалом. Противоречие с предположением. Теорема доказана.

Определение 1.МножествоFназываетсякомпактным, если оно является замкнутым и ограниченным.

Определение 2.МножествоFназываетсякомпактным, если из любого бесконечного множества покрытий множестваFможно выделить конечное число подпокрытий множестваF.

7