FA Арсеньев Функ.Ан

3.10.1Теорема Хилле-Филлипса-Иосиды.

Следующая теорема является основной в теории полугрупп класса C0.

Теорема 3.10.2. Оператор A есть инфинитезимальный оператор полугруппы класса C0 в банаховом пространстве B тогда и только тогда, если оператор A удовлетворяет следующим условиям.

1. Область определения оператора A плотна в B:

Cl(Dom(A)) = B:

2.Оператор A замкнут.

3.Существуют такие константы M < 1 ; ! < 1, что полуплос-

кость Re > ! принадлежит резольвентному множеству оператора A и резольвента R( ; A) удовлетворяет оценке

8(n > 0 ; > !) : kR( ; A)nk Mj !j n:

(3.257)

Доказательство этой теоремы мы получим как следствие нескольких лемм.

Сначала мы будем доказывать необходимость условий теоремы Хилле- Филлипса-Иосиды и ниже мы предполагаем, что T (t) -полугруппа класс-

ñà C0.

На пространстве B определим оператор

1 Z t

Mtx = t 0 T ( )xd :

Это определение корректно, так как функция t 7!T (t)x неперерывна.

Лемма 3.10.4. Если T (t) полугруппа класса C0, òî

8(x 2 B) : lim Mtx = x:

t!0

Доказательство. Фиксируем x 2 B. Из определения полугруппы клас- ñà C0 следует, что

8( > 0) ; 9 ( ) > 0 ; 8(t < ( )) : kT (t)x xk < :

Поэтому

8(t < ( )) : kMtx xk < t Z0		t
		kT ( )x xkd < :
1

Лемма доказана.

249

Лемма 3.10.5. Справедливо равенство

AhMt = AtMh:

Это утверждение доказывается прямым вычислением:

Z t Z t

htAhMtx = (T (h) id) T ( )xd = (T (h + ) T ( )) xd =

00

Z t+h Z t Z h

T ( )xd T ( )xd = T ( ) (T (t) id) xd = htAtMh:

h 0 0

Из лемм 3.10.4 и 3.10.5 следует

Лемма 3.10.6. Справедливы утверждения:

8(t > 0) : Im(Mt) Dom(A) ; Cl(Dom(A)) = B;

8(x 2 B) : AMtx = Atx:

Итак, мы доказали, что область определения инфинитезимального оператора полугруппы класса C0 плотна в том пространстве, где действует полугруппа. Теперь докажем лемму

Лемма 3.10.7. Инфинитезимальный оператор полугруппы класса C0 замкнут.

Доказательство. Пусть

xn Axn 2 Gr(A) ; xn Axn ! fx0 ; y0g:

Нам нужно доказать, что

x0 y0 2 Gr(A):

Из леммы 3.10.3 следует, что справедливо равенство

Z t

8(t > 0) : T (t)xn xn = T ( )Axnd :

0

Переходя в этом равенстве к пределу n ! 1, мы получаем:

Z t

8(t > 0) : T (t)x0 x0 = T ( )y0d :

0

Разделив обе части этого равенства на t и переходя к пределу t ! 0, мы получим:

x0 2 Dom(A) ; Ax0 = y0:

Лемма доказана.

250

Лемма 3.10.8.

Пусть T (t) -полугруппа класса C0 и константы M ; ! удовлетворяют оценке (3.254). Тогда полуплоскость Re > ! принадлежит резольвентному множеству инфинитезимального оператора A и при Re > ! резольвента инфинитезимального оператора может быть вычислена по формуле

Z 1

R( ; A)x = exp( t)T (t)xdt: (3.258)

0

Доказательство. Из оценки (3.254) следует, что интергал в правой части равенства (3.258) сходится. Докажем, что оператор в левой части равенства (3.258) есть резольвента инфинитезимального оператора. Ни-

же мы предполагаем, что оператор R( ; A) определен как правая часть равенства (3.258). Имеем:

a

8(

x

A

R

; A

A

x

lim

exp( t)T (t)(id

A)xdt =

2 Dom( )) :

(

)( id

)

= a!1 Z0

lim

a d

t

T t

xdt

x:

a!1 Z0

dt exp(

)

( )

=

Далее:

8(x 2 B) : AhR( ; A)x = Ah Z0					1 exp( t)T (t)xdt =
	exp(	h	1		1			h
		) 1	Zh	exp( t)T (t)xdt			Z0	exp( t)T (t)xdt !
		h				h

Z1

exp( t)T (t)xdt x ; h ! 0:

0

Следовательно,

8(x 2 B) : R( ; A)x 2 Dom(A) ; ( id A)R( ; A)x = x:

Лемма доказана.

Лемма 3.10.9. Если A -инфинитезимальный оператор полугруппы клас- ñà C0, то его резольвента удовлетворяет оценке (3.257).

Доказательство. Из тождества Гильберта и леммы 3.10.8 следует, что

R( ; A)n+1x = ( 1)n dn Z 1 exp( t)T (t)xdt = n! d n 0

1 Z exp( t)tnT (t)xdt: n!

251

Исползуя оценку (3.254), мы получаем:

8( > !): kR( ; A)n+1xk M Z 1 exp( t + !t)tndtkxk = n! 0

Mj !j (n+1)kxk:

Лемма доказана.

Мы доказали необходимость условий теоремы Хилле-Филлипса-Иосиды. Переходим к доказательству достаточности этих условий.

Ниже мы будем считать, что ! < < 1.

Пусть A -оператор, удовлетворяющий условиям теоремы Хилле-Филлипса- Иосиды и R( ; A) -его резольвента.

Лемма 3.10.10. Если выполнены условия теоремы Хилле-Филлипса- Иосиды, то

8(x 2 B) : R( ; A)x ! x ; ! 1:

(3.259)

Доказательство. Справедливо равенство

8(x 2 Dom(A)) : R( ; A)x x = R( ; A)Ax:

Поэтому

8(x 2 Dom(A)) : k R( ; A)x xk
Mj !j 1kAxk ! 0 ; ! 1:	(3.260)

Так как множество Dom(A) плотно в B, то из (3.260), оценки (3.257)

и теоремы Банаха-Штейнгауза 3.3.4 (см. стр. 161) следует утверждение леммы.

Положим

8( > !) : V ( )x = (id R( ; A))x:

Лемма 3.10.11. Справедливо утверждение

8(x 2 Dom(A)) : kV ( )x Axk ! 0 ; ! 1:

(3.261)

Доказательство. Это утверждение следует из леммы 3.10.10 и равенства

V ( )x = R( ; A)Ax:

Положим

8( > !): S( ; t) = exp(tV ( )):

252

Лемма 3.10.12. Справедлива оценка:

8(t > 0 ; > !) : kS( ; t)k M exp		!t		:
		!

Доказательство. При > ! справедливо равенство

S( ; t) = exp( t) X n1! 2t n R( ; A)n:

0 n<1

Так как резольвента удовлетворяет оценке (3.257), то

0 X1	1			n	kR( ; A)nk
kS( ; t)k exp( t)	n! 2t

n<

	1					n
	0 X1						j !j n =
M exp( t)			n!	2t
	n<
M exp t +		2t		= M exp					!t		:
		!							!

Лемма доказана.

Лемма 3.10.13. Существут предел

def
8(x 2 B ; t > 0) ; 9 T (t): T (t) =	lim S( ; t)x:
	!1

Доказательство. Справедливо равенство

8(x 2 Dom(A)) : S( ; t)x S( ; t)x =

Z t

d S( ; t )S( ; )x d =

0 d

Z t

S( ; t )S( ; )(V ( ) V ( ))xd

0

const:k(V ( ) V ( ))xk ! 0 ; x 2 Dom(A) ; ; ! 1:

(3.262)

(3.263)

(На последнем этапе мы воспользовались леммой 3.10.11.)

Множество Dom(A) плотно в B, а норма оператора S( ; t) ограниче- на равномерно по в силу леммы 3.10.12 , поэтому утверждение леммы

следует из теоремы Банаха-Штейнгауза 3.3.4. Лемма доказана.

Лемма 3.10.14. Заданный равенством (3.263) оператор T (t) есть полугруппа класса C0 с инфинитезимальным оператором A.

253

Доказательство. Справедливы равенства

8(x 2 B ; t1 2 R1 ; t2 2 R1) : S( ; t1)S( ; t2)x = S( ; t1 + t2)x;

Z t

8(x 2 Dom(A)) : S( ; t)x x = S( ; )V ( )xd :

0

Переходя в зтих равенствах к пределу ! 1, мы получаем:

8(x 2 B ; t1 2 R1 ; t2 2 R1) : T (t1)T (t2)x = T (t1 + t2)x;

8(x 2 Dom(A)) : T (t)x x = Z0t	T ( )Axd :	(3.264)
Отсюда следует, что заданная формулой (3.263) функция		t åñòü ïîëó-
группа и
8(x 2 Dom(A)) : kT (t)x xk ! 0 ; t ! 0:

Опять воспользовавшись теоремой Банаха-Штейнгауза 3.3.4, мы полу- чаем:

8(x 2 B) : kT (t)x xk ! 0 ; t ! 0:

Следовательно, T (t) -полугруппа класса C0. Пусть Ae-инфинитезимальный оператор полугруппы T (t). Умножим обе части равенства (3.264) на exp( t) и проинтегрируем по t îò 0 äî 1. Получим:

8(x 2 Dom(A)) : R( ; A)( id A)x = x:		(3.265)
В уравнении (3.265) сделаем замену x e R( ; A)x. Получим:
Òàê êàê Dom(A)8	!
	плотно в B, то отсюдаeследует, что
	(x 2 Dom(A)) : R( ; A)x = R( ; A)x:	(3.266)

R( ; Ae) = R( ; A);

Отсюда в силу леммы 3.9.4 следует, что

Ae = A:

Итак, мы доказали теорему Хилле-Филлипса-Иосиды.

Переходя к пределу ! 1 (3.262), мы получаем следующее уточнение теоремы Хилле-Филипса-Иосиды:

Лемма 3.10.15. Если M и ! -константы, которые входят в оценку (3.257), то для порожденной инфинитезимальным оператором A полугруппы T (t) справедлива оценка

kT (t)k M exp(!t):

(3.267)

254

Определение 3.10.3. Полугруппа T (t) называется сжимающей, если

8(t > 0) : kT (t)k 1:

Лемма 3.10.16. Полугруппа T (t) сжимающая в том и только том

случае, если резольвента ее инфинитезимального оператора удовлетворяет оценке

8( > 0) : kR( ; A)k 1= :

(3.268)

Доказательство. Необходимость условия следует из формулы (3.258). Для доказательства достаточности условия (3.268) заметим, что при его выполнении

kR( ; A)nk kR( ; A)kn Re n;

поэтому в оценке (3.267) мы можем положить M = 1 ; ! = 0. Заметим, что заменой

T (t) ! exp( !t)T (t)

можно добиться того, что рассматриваемая полугруппа будет сжимающей.

Теорема 3.10.3. Åñëè A0 -инфинитезимальный оператор полугруппы класса C0 в банаховом пространстве B и b 2 L(B ! B) то оператор A0 + b есть инфинитезимальный оператор полугруппы класса C0.

Доказательство. Пусть T0(t) -полугруппа класса C0, которая порож- дена инфинитезимальным оператором A0 и пусть

kT0(t)k M exp(!t):

Выберем число > 0 так, чтобы выполнялось неравенство

:= kbkM exp(! ) < 1:

Пусть C([0 ; ] ; B) -банахово пространство всех непрерывных функций от t 2 [0 ; ] со значениями в B. Фиксируем x 2 B и в пространстве C([0 ; ] ; B) рассмотрим оператор

W : C([0 ; ] ; B) ! C([0 ; ] ; B);

Z t

W z(t) = T0(t)x + T0(t )bz( )d ; 0 < t < :

0

255

Этот оператор сжимающий. Пусть z0(t ; x) -его неподвижная точка. Для [0 < t < ] определим оператор

U(t) : x 7!z0(t ; x):

Оператор U(t) -линейный ограниченный оператор:

8(t < ) : kU(t)x j Bk (1 ) 1 kbkM exp(! )kx j Bk;

причем из определения пространства C([0 ; ] ; B) следует, что

8(x 2 B) : kU(t)x x j Bk ! 0 ; t ! +0:

Пусть t1 + t2 < . Тогда

z0(t1 + t2 ; x) = T0(t2)(T0(t1)x + Z t1	T0(t1 )bz0( ; x)d )+
0
Z t2
T0(t2 )bz0(t1 + ; x)d :
0

Так как оператор W при каждом x 2 B имеет единственную неподвижную точку, то отсюда следует равенство

z(t1 + t2 ; x) = z(t2 ; z(t1 ; x));

поэтому

8(t1 + t2 < ) ; : U(t1)U(t2) = U(t1 + t2):

Пусть

t = n2 + ; 0 < 2:

Положим
def
T (t) = U(		)nU( ):	(3.269)
	2

Это равенство определяет полугруппу класса C0 с инфинитезимальным

оператором A = A0 + b. Теорема доказана.

Рассмотрим пример. В пространстве B = L2(R1 ; dx) на области

Dom(A) = ff j f(x) 2 L2(R1 ; dx) ; x2f(x) 2 L2(R1 ; dx)g

определим оператор

Af(x) = x2f(x):

Легко видеть, что все условия теоремы Хилле-Филлипса-Иосиды выполнены и оператор A порождает сжимающую полугруппу

T (t)f(x) = exp( x2t)f(x):

256

3.10.2Абстрактная задача Коши.

Пусть A -линейный (не обязательно непрерывный) оператор с областью определения Dom(A):

A : B Dom(A) 7!B:

Определение 3.10.4. Функция

			R+1 3 t 7!y(t ; y0) 2 Dom(A)					(3.270)
называется решением абстрактной задачи Коши
	dy(t ; y0)		= Ay(t ; y0) ; 0 < t < 1 ; y(+0 ; y0) = y0				;	(3.271)
	dt
если выполнены условия:
			1: 8(t > 0) : 9	dy(t ; y0)		2 B:
				dt

2: 8(t > 0) : y(t ; y0) 2 Dom(A) 3: ky(t ; y0) y0k ! 0 ; t ! +0

и равенство (3.271).

Теорема 3.10.4. Если оператор A есть инфинитезимальный опера-

тор полугруппы класса C0 ; y0 2 Dom(A), то абстрактная задача Коши (3.271) имеет единственное решение:

y(t ; y0) = T (t)y0;

где T (t) -полугруппа, порожденная инфинитезимальным оператором A.

В доказательстве нуждается только единственность решения. Пусть z(t) -решение абстрактной задачи Коши:

dz(t)

dt

= Az(t) ; t > 0 ; z(+0) = 0:

Справедливо равенство

8(0 < < t) : dd T (t )z( ) = AT (t )z( ) + AT (t )z( ) 0:

Следовательно,

8t > 0 : T (0)z(t) = z(t) = T (t)z(0) = 0:

Теорема доказана.

257

3.10.3Некоторые равенства, связанные с теорией полугрупп.

Выведем некоторые полезные и часто используемые равенства, которые связаны с теорией полугрупп. Для удобства вывода нужных нам равенств мы будем считать все встречающиеся операторы ограниченными. В приложенях область применимости этих равенств исследуется в каждом случае отдельно.

Формула Троттера.

Лемма 3.10.17. a ; b 2 L(B 7!B), то справедливо равенство

exp(t(a + b)) = nlim (exp(ta=n) exp(tb=n))n :						(3.272)
!1
Доказательство. Справедливы равенства
(exp(ta=n) exp(tb=n))n =				exp(t(a + b)) ; n
(id + ta=n + tb=n + O((1=n)2))		n				:
(id + ta=n + O((1=n)2))(id + tb=n + O((1=n)2)) n =
			!		! 1

Формула (3.272) называется формулой Троттера.

Формула Дюамеля.

Лемма 3.10.18. Пусть функция

R1+ 3 t 7!a(t) 2 L(B 7!B)

непрерывна. Пусть U(t ; ) -решение уравнения:

	dU(t ; )	= a(t)U(t ; ) ; 0 < < t < 1 ; U( ; ) = id:
	dt
Тогда решение задачи
			dy(t)		= a(t)y(t) + f(t) ; y(0) = y0
			dt

дается формулой

Z t

y(t) = U(t ; 0)y0 + U(t ; )f( )d :

0

(3.273)

(3.274)

(3.275)

258