FA Арсеньев Функ.Ан

M, òî

Теорема 4.2.2.

Из включения

M Cl(M)

следует включение

(Cl(M))? M?:

Пусть

x 2 M? ; yn 2 M ; yn ! y0 2 Cl(M):

Тогда

< x ; y0 >= lim < x ; yn >= 0;

n!1

поэтому

x 2 (Cl(M))? ; M? (Cl(M))?:

Лемма доказана.

Следующая теорема называется теоремой Леви о проекции.

Åñëè H0 -замкнутое линейное подпространство в гильбертовом пространстве H, то все пространство есть прямая сумма

H = H0 H0?:

(4.18)

Доказательство. Пусть x 2 H. Множество

M = fx y j y 2 H0g

есть замкнутое выпуклое множество. Пусть (x y0) -элемент с наименьшей нормой в множестве M. Согласно теореме 4.2.1 такой элемент существует и он единственен. Так как элемент (x y0) имеет наименьшую норму среди всех элементов множества

(w

H0) :

d

x

y0 + zw

2

= 0;

d k

8

2

H0) :

k

2

= 0:

(w

x y0 + izw

dz

z=0

z=0

8

2

k

k

dz

Вычисляя производные, мы получаем:

8(w 2 H0) : < x y0 ; w > + < x y0 ; w > = 0; 8(w 2 H0) : < x y0 ; w > < x y0 ; w > = 0:

Следовательно,

(x y0) 2 H0?:

Теперь осталось заметить, что

x = y0 + x y0:

279

Единственность разложения (4.18) следует из того факта, что

\

8H0 : H0 H0? = 0:

Теорема доказана.

Заметим, что пространство H0? может быть отождествлено с факторпространством пространства H по пространству H0.

Следующая теорема следует из теоремы Леви и называется теоремой Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве.

Теорема 4.2.3. Если H -гильбертово пространство, то для любого линейного непрерывного функционала l 2 H? существует такой вектор y(l) 2 H, ÷òî

8(x 2 H) : l(x) =< y(l) ; x > :

(4.19)

Удовлетворяющий условию (4.19) вектор y(l) единственен.

Доказательство. Единственность представления (4.19) следует из невырожденности скалярного произведения:

åñëè 8x : l(x) =< y(l) ; x >=< y1(l) ; x > ; òî y(l) = y1(l):

Докажем существование представления (4.19). Множество Ker(l) есть замкнутое линейное подпространство в гильбертовом пространстве H. Åñëè Ker(l) = H, то теорема доказана: можно положить y(l) = 0. Åñëè

Ker(l) 6= H, òî

9z : z 2 Ker(l)? ; z 6= 0:

Òàê êàê

8(x 2 H) : l(l(x)z l(z)x) = l(x)l(z) l(z)l(x) = 0;

òî

8(x 2 H) : (l(x)z l(z)x) 2 Ker(l);

следовательно

8(x 2 H) : < z ; l(x)z l(z)x >= 0;

позтому

< z ; z > l(x) = l(z) < z ; x >;

è

8x : l(x) =< y(l) ; x > ; y(l) = l (z)kzk 2z:

(4.20)

Теорема доказана.

280

Лемма 4.2.2. Определяемое формулой (4.20) отображение

I : H? 7!H ; H? 3 l 7!I(l) = y(l) 2 H

антилинейно:

I( l1 + l2) = I(l1) + I(l2);

обратимо:

I 1(y)(x) =< y ; x > :

и сохраняет норму

kI(l) j Hk = kl j H?k:

(4.21)

Последнее утверждение вытекает из (4.6).

Определение 4.2.2. Функция

B : H H 7!C1

называется полулинейной (или косо линейной, или полуторалинейной, или сопряженно-линейной, или иногда просто билинейной, если ясно, о чем идет речь) формой, если

8(x 2 H ; y 2 H ; z 2 H) : B(x ; y + z) = B(x ; y) + B(x ; z); B( x + y ; z) = B(x ; z) + B(y ; z):

Определение 4.2.3. Билинейная форма B(x ; y) называется кососимметричной (или эрмитовой) если

8(x 2 H ; y 2 H) : B(x ; y) = B(y ; x) :

(4.22)

Прямым вычислением проверяется, что для кососиметричной билинейной формы справедливо поляризационное тождество:

B(x ; y) =	1	(B(x + y ; x + y) B(x y ; x y)+
	4
iB(x iy ; x iy) iB(x + iy ; x + iy)):			(4.23)

Следовательно, кососимметричная билинейная форма однозначно определяется своими значениями на диагонали: квадратичной формой B(x ; x).

Лемма 4.2.3. Если в комплексном гильбертовом пространстве билинейная форма на диагонали принимает действительные значения:

8(x 2 H) : B(x ; x) 2 R1;

то она кососимметрична:

B(x ; y) = B(y ; x) :

281

Доказательство. Равенство

Im B(x + y ; x + y) = 0

äàåò:

Im B(x ; y) = Im B(y ; x):

Сделав в последнем равенстве замену

y ! iy;

мы получаем:

Re B(x ; y) = Re B(y ; x):

Лемма доказана.

Следствием теоремы Рисса является теорема Лакса-Мильграма-Вишика (или теорема Лакса-Мильграма, или теорема Лакса):

Теорема 4.2.4. 1. Если билинейная форма B удовлетворяет неравенству

9(C < 1) ; 8(x 2 H ; y 2 H) : jB(x ; y)j < Ckxk kyk;	(4.24)
то существует такой оператор A 2 L(H 7!H), что
8(x 2 H ; y 2 H) : B(x ; y) =< x ; Ay > :	(4.25)
2. Если билинейная форма B удовлетворяет условию (4.24) и условию
коэрцитивности:
9(m > 0) ; 8(x 2 H) : B(x ; x) > mkxk2;	(4.26)
то входящий в представление (4.25) оператор A обратим и удовлетво-
ряет неравенству:
kA 1k 1=m:	(4.27)

Доказательство. Из условия (4.24) следует, что при каждом фиксированном x 2 H линейный функционал

y 7!B(y ; x)

непрерывен. Поэтому существует такой вектор A(x) 2 H, ÷òî

8(y 2 H) : B(y ; x) =< y ; A(x) > :

282

Из линейности формы B по первому аргументу следует, что оператор A

линеен и

kA(x)k supfjB(y ; x)j j kyk 1g Ckxk:

Поэтому оператор A непрерывен и

B(x ; y) =< x ; Ay > :

Первое утверждение теоремы доказано. Из (4.26) следует, что

Ker(A) = 0:

Докажем, что из условия коэрцитивности следует равенство

Im(A) = H:

Во-первых, заметим, что из условия коэрцитивности следует, что билинейная форма B(x ; y) на диагонали принимает действительные зна- чения и поэтому кососимметрична. Следовательно, билинейная форма B(x ; y) задает на пространстве H скалярное произведение, причем ин-

дуцированная этим скалярным произведением норма эквивалентна исходной норме. Применяя теорему Рисса к гильбертовому пространству

H со скалярным произведением B(x ; y), мы получаем, что существует

такой оператор Ae 2 L(H 7!H), ÷òî

8(x 2 H ; y 2 H) : < x ; y >= B(x ; Aye ) =< x ; AAye > :

Следовательно,

Im(A) = H:

Òàê êàê

Ker(A) = 0 ; Im(A) = H;

то из теоремы Банаха о существовании обратного оператора отсюда следует, что существует оператор A 1 2 L(H 7!H).

Далее имеем:

jB(A 1x ; A 1x)j = j < A 1x ; x > j mkA 1xk2:

Поэтому в силу неравенства Коши-Буняковского

8(kxk = 1) : kA 1xk mkA 1xk2:

Отсюда и вытекает неравенство (4.27). Теорема доказана.

283

Ясно, что устанавливаемое формулой (4.25) соответствие между удовлетворяющими условию (4.24) билинейными формами и операторами

A 2 L(H 7!H) взаимно однозначно. В дальнейшем нам часто будет

удобно задавать операторы их билинейными формами (подобно тому, как в линейной алгебре операторы задаются матрицами).

Если билинейная форма кососимметрична, то входящий в представление (4.25) оператор A удовлетворяет тождеству

8(x 2 H ; y 2 H) : < x ; Ay >=< Ax ; y > :

4.3Понятие гильбертова сопряжения и ограниченные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве.

Пусть i = 1 ; 2 ; Hi -гильбертовы пространства со скалярным произведением < ; >i ; A 2 L(H1 7!H2).

Определение 4.3.1. Оператор

A 2 L(H2 7!H1)

называется гильбертово сопряженным к оператору A, åñëè

8(x 2 H1 ; y 2 H2) : < A y ; x >1=< y ; Ax >2 :

(4.28)

Гильбертово сопряженный оператор (обозначение: A ) и ранее веден- ный сопряженный оператор (обозначение: A?) действуют в разных про-

странствах: гильбертово сопряженный оператор действует в пространстве H2, а сопряженный оператор в пространстве H2?. Гильбертово со- пряженный оператор и сопряженнй оператор связаны равенством

A = I1A?I2 1	;	(4.29)
ãäå
Ii : Hi? 7!Hi

-определенные ранее операторы вложения.

Лемма 4.3.1. Операция гильбертова сопряжения в пространстве L(H1 7! H2) удовлетворяет равенствам

( A1 + A2) = A1 + A2:
(A ) = A:	(4.30)
kA k = kAk:	(4.31)

284

Доказательство. Первое свойство очевидно. Для доказательства второго заметим, что

8(x 2 H1 ; y 2 H2) : < y ; Ax >2=< A y ; x >1= < x ; A y >1=< (A ) x ; y >2=< y ; (A ) x >2 :

Равенство (4.30) доказано. Из (4.29) следует, что

kA k kA?k = kAk:

Делая в этом неравенстве замену A ! A , мы получаем равенство (4.31). Лемма доказана.

Определение 4.3.2. Оператор A 2 L(H 7!H) называется самосопряженным, если

8(x 2 H ; y 2 H) : < x ; Ay >=< Ax ; y > :

(4.32)

Определение 4.3.3. Ограниченный самосопряженный оператор A называется неотрицательным, если

8(x 2 H) : < x ; Ax > 0:

(4.33)

Определение 4.3.4. Åñëè A è B -ограниченные самосопряженные операторы, то

A B;

åñëè

A B 0:

Очевидно, что если A è B -неотрицательные ограниченные самосопряженные операторы, то при > 0 операторы A ; A+B -неотрицательны.

Лемма 4.3.2. Если A -ограниченный неотрицательный самосопряженный оператор, то

8(x 2 H ; y 2 H) : j < x ; Ay > j < x ; Ax >1=2< y ; Ay >1=2 : (4.34)

Доказательство. Рассмотрим неравенство

< (zx z 1y) ; A(zx z 1y) >=

jzj2 < x ; Ax > +jzj 2 < y ; Ay > 2Re (exp( 2i arg(z)) < x ; Ay >) 0:

Åñëè < x ; Ax >= 0, то мы должны иметь:

< x ; Ay >= 0;

285

иначе это неравенство станет противоречивым при замене x ! tx и соответствующем выборе параметра t. Åñëè < x ; Ax >6= 0, то мы можем положить

z =	< y ; Ay >		1=4
			exp(i arg(< x ; Ay > =2))
	< x ; Ax >

и получим нужное неравенство. Лемма доказана.

Положим

m = inff< x ; Ax >j kxk = 1g;
m+ = supf< x ; Ax >j kxk = 1g:	(4.35)

Теорема 4.3.1. Если оператор A самосопряжен, то (A) [m ; m+] ; m 2

(A).

Доказательство. Если оператор A самосопряжен, то квадратичная

форма

x 7!< x ; Ax >

принимает действительные значения и

8(x 2 H ; 2 R1) : k(A + i id)xk2 = kAxk2 + 2kxk2 2kxk2: (4.36)

Докажем, что отсюда вытекает

Лемма 4.3.3. Спектр самосопряженного ограниченного оператора лежит на действительной оси.

Замечание 4.3.1. Позже мы докажем, что спектр любого самосопряженного оператора лежит на деЙсвительной оси.

Доказательство. Сдвиг

A ! A + iaid ; a 2 R1

переводит любой самосопряженный оператор в самомопряженный, поэтому достаточно доказать, что при 2 R1 ; 6= 0 оператор (A + i id)

обратим.

Пусть

6= 0 ; H0 = Im(A + i id):

Докажем, что множество H0 замкнуто. Пусть

yn 2 H0 ; yn ! y0 ; n ! 1:

286

Отсюда вытекает, что последовательность

Тогда

yn = (A + i id)xn ; ky(n+m) ynk2 2kx(n+m) xnk2: xn сходится:

xn ! x0 è y0 = (A + i id)x0 2 H0:

Замкнутость множества Теперь докажем, что

Следовательно,

H0 доказана.

H0 = H. Пусть H0 6= H. Тогда

9z : z 2 H0? ; kzk = 1:

< z ; (A + i id)z >=< z ; Az > +i kzk2 = 0;

поэтому

Im < z ; (A + i id)z > = kzk2 = 0:

Получили противоречие. Итак, мы имеем:

8( 6= 0) : (A + i id) 2 L(H ! H) ; Im(A + i id) = H ; Ker(A + i id) = 0:

По теореме Банаха о существовании обратного оператора отсюда следу-

åò, ÷òî

8( 6= 0) : (A + i id) 1 2 L(H ! H):

Лемма доказана.

Вернемся к доказательству теоремы. Пусть

2 R1 ; > m+:

Тогда

< x ; ( id A)x > ( m+)kxk2;

поэтому билинейная форма

B(x ; y) =< x ; ( id A)y >

коэрцитивна и оператор ( id A) имеет обратный. Аналогично доказывается, что при < m оператор ( id A) имеет обратный. Нам осталось доказать, что m 2 (A).

Пусть последовательность fxng удовлетворяет условию kxnk = 1 ; < xn ; Axn >! m :

287

Оператор

B = A m id

неотрицателен.

Применим неравенство (4.34) к

x = xn ; y = (A m id)xn ; A = B:

Получим неравенство

k(A m id)xnk4 j < xn ; (A m id)xn > jk(A m id)k3 ! 0 ; n ! 1:

Отсюда вытекает, что последовательность fxng есть последовательность Вейля (см. стр. 238) для оператора A и числа = m и поэтому m 2

(A).

Затем мы рассматриваем последовательность

fxng : kxnk = 1 ; < xn ; Axn >! m+

и оператор

B= m+id A;

àдалее рассуждаем аналогично.

Теорема доказана.

Следующая теорема называется теоремой Релея.

Лемма 4.3.4. Если оператор A самосопряжен, то справедливо равенство

kAk = supfj < x ; Ax > j j kxk = 1g:

(4.37)

Доказательство. Пусть

M = supfj < x ; Ax > j j kxk = 1g:

Из неравенства Коши-Буняковского следует, что

8(kxk 1) : j < x ; Ax > j kxk kAxk kAk;

поэтому

M kAk:

Далее имеем:

jRe < x ; Ay >j = 14 (< (x + y) ; A(x + y) > < (x y) ; A(x y) >) M4 kx + yk2 + kx yk2 = M2 kxk2 + kyk2 :

288