FA Арсеньев Функ.Ан

Доказательство. Невырожденность и однородность функции (4.2) оче- видны. Докажем неравенство треугольника. Имеем:

! < a + b ; a + b >=< a ; a > + < b ; b > +2Re < a ; b > < a ; a > + < b ; b > +2(< a ; a >< b ; b >)1=2 =

((< a ; a >)1=2 + (< b ; b >)1=2)2:

Следовательно,

ka + bk kak + kbk:

Утверждение доказано.

Определение 4.1.2. Унитарное пространство вместе с определенной на нем нормой

kak =< a ; a >1=2

(4.3)

называется предгильбертовым пространством.

Вычислением проверяется, что определенная равенством (4.3) норма удовлетворяет равенству параллелогамма:

8(x 2 H ; y 2 H) : kx + yk2 + kx yk2 = 2(kxk2 + kyk2):

(4.4)

В предгильбертовом пространстве неравенство (4.1) может быть записано в виде

j < a ; b > j kak kbk:

(4.5)

В действительном евклидовом пространстве это неравенство означает, что модуль косинуса угла меньше или равен единице.

Скалярное произведение в прямой сумме унитарных пространств порождает норму

XX

k ajk2 = kajk2:

jj

Из определения нормы в унитарном пространстве и неравенства КошиБуняковского вытекает очевидная

Лемма 4.1.1. Справедливо равенство

kxk = supfj < y ; x > j j kyk 1g:

(4.6)

Определение 4.1.3. Гильбертово пространство -это предгильбертово пространство, которое есть банахово пространство (т. е. полное нормированное простанство) относительно нормы (4.3).

269

Пусть L0 -предгильбертово пространство и пусть L -пополнение про- странства L0 как банахова пространства. Оператор вложения

J : L0 7!L

линеен, и это позволяет задать скалярное произведение на линейном многообразии J(L0) L, положив по определению

8(a 2 L0 ; b 2 L0) : < J(a) ; J(b) >:=< a ; b > :

По непрерывности это скалярное произведение можно распространить на все пространство L и превратить L в гильбертово пространство. Полученное гильбертово пространство называется пополнением предгиль- бертова пространства L0. Гильбертово пространство обычно обозначют символом H.

Скалярное произведение в гильбертовом пространстве H мы будем

обозначать символом < ; > . Рассмотрим примеры.

Пример 4.1.1. Пространство L2(D ; (dx)). Пусть D Rd è L2(D ; (dx))

определено как в 1.1.14 (см. стр. 44). Превратим пространство L2(D ; (dx)) в гильбертово пространство, положив по определению

8(f 2 L2(D ; (dx)) ; g 2 L2(D ; (dx))) :
< f ; g >= DZ	f (x)g(x) (dx):	(4.7)

Интеграл в (4.7) существует в силу неравенства

jf?(x)g(x)j jf(x)j2 + jg(x)j2:

Полнота пространства L2(D ; (dx)) есть следствие теоремы Рисса-Фишера 1.1.6 (см. стр. 43).

Пример 4.1.2. Пространство l2. Элементами пространства l2 являются такие числовые последовательности

a = faj j aj 2 C1 ; 1 j < 1g

÷òî

X

jajj2 < 1:

1 j<1

Пространство l2 можно рассматривать как частный случай пространства L2(D ; (dx)) ïðè D = R1, если считать, что носитель меры (dx) есть множество целых чисел Z.

270

Структура линейного пространства на l2 задается формулой

a + b = f aj + bjg:

Скалярное произведение на пространстве l2 задается формулой

	1 X1
< a ; b >=	aj bj:
	j<

Полнота пространства l2 есть следствие теоремы Рисса-Фишера 1.1.6 (см.

стр. 43), так как сумму можно рассматривать как интеграл по мере, носитель которой есть множество целых чисел.

4.1.2Ортонормированные системы.

Определение 4.1.4. Элементы f ; g гильбертова пространства H ортогональны (обозначение: f?g), åñëè

< f ; g >= 0:

Определение 4.1.5. Система элементов fej j j 2 Ig H гильбертова пространства H называется ортонормированной, если

< ei ; ej >= ji ; 8(i 6= j) : ji = 0 ; 8i : ii = 1:

Приведем примеры ортонормированных систем.

В пространстве l2 ортонормированную систему элементов ej ; j = 1 : : : составляют векторы, у которых координата с номером j равна единице, а все остальные координаты равны нулю:

ej = f0 ; 0 : : : 0 ; 1 ; 0 : : :g:

В пространстве L2([0 ; 1] ; dx) ортонормированную систему элементов составляют векторы

p p

e0(x) = 1 ; e2j(x) = 2 cos(2 jx) ; e2j+1(x) = 2 sin(2 jx) ; j = 1 : : :

Ортонормированная система не обязательно счетна.

Определение 4.1.6. Åñëè fej j j 2 Ig H -ортонормированная система элементов, то числа

< ej ; f >

называются коэффициентами Фурье элемента f 2 H по ортонормированной системе fejg.

271

Лемма 4.1.2. Пусть ffj j 1 j < 1g H -произвольная счетная система элементов гильбертова пространства H и

Ln = spanff1 ; : : : fng:

Тогда существует такая счетная ортонормированная система функций fej j 1 j < 1g, ÷òî

Ln spanfe1 ; : : : eng

Доказательство. Доказательство проводим индукцией по n. Достаточно рассмотреть случай, когда при каждом n система функций ff1 : : : ; fng линейно независима. Для n = 1 положим

e1 = f1=kf1k:

Åñëè

f(n+1) 62spanfe1 ; : : : eng;

то положим

e(n+1) = (f(n+1)	X
	< ej ; f(n+1) > ej):
	1 j n

Очевидно, что

8(j n) : < e(n+1) ; ej >= 0 ; e(n+1) 6= 0:

Параметр выберем из условия

			ke(n+1)k = 1:
Имеем:
1			X
f(n+1) =		e(n+1) +	< ej ; f(n+1) > ej 2 spanfe1 ; : : : e(n+1)g:
			1 j n

Лемма доказана.

Прямым вычислением доказывается

Лемма 4.1.3. Åñëè fej j 1 j < 1g -ортонормированная система элементов, то справедливо равенство

8 j : kf	X	X	X
	jejk2 = kfk2	j < ej ; f > j2 +	j j < ej ; f > j2:
	1 j n	1 j n	1 j n
			(4.8)

272

Из этого равенства вытекает

Следствие 4.1.1. Åñëè fej j 1 j < 1g -ортонормированная система элементов, то справедливы неравенства:

8 j : kf	X	X
	< ej ; f > ejk kf	jejk:	(4.9)
1 X1	1 j n	1 j n
j < ej ; f > j2 kfk2:			(4.10)

j<

Неравенство (4.10) называется неравенством Бесселя.

Из неравенства Бесселя следует, что для любой ортонормированной системы и любого f 2 H ðÿä

X

< ej ; f > ej

j

сходится по норме пространства H.

Определение 4.1.7. Ортонормированная система элементов fej j2 Ig называется полной, если не существует отличного от нуля вектора, который ортогонален всем векторам системы fej j2 Ig:

(8ej : < ej ; f >= 0) ) (f = 0):

Лемма 4.1.4. Если ортонормированная система счетна, то она полна в том и только том случае, если

8(f 2 H) : kfk2 =	1 X1
	j < ej ; f > j2:	(4.11)

j<

Доказательство. Если элемент f 2 H ортогонален всем элементам системы fej j 1 j < 1g, то из условия (4.11) следует, что f = 0, поэтому из (4.11) следует полнота системы fej j 1 j < 1g. Для любого f 2 H элемент

g = f	1 X1
	< ej ; f > ej
	j<

ортогонален всем элементам системы fej j 1 j < 1g. Если система fej j 1 j < 1g полна, то g = 0. Умножая равенство g = 0 скалярно на f, получим равенство

0 = kfk2	1 X1
	j < ej ; f > j2:
	j<

273

Теорема 4.1.3.

Лемма доказана.

Если ортонормированная система счетна, то положив в равенстве (4.11)

f! f + g

èприравняв слагаемые при одинаковых степенях , мы получим

Лемма 4.1.5. Счетная ортонормированная система fej j 1 j < 1g полна в том и только том случае, если

8(f 2 H ; g 2 H) : < f ; g >=	1 X1
	< f ; ej >< ej ; g > :	(4.12)

j<

Равенство (4.12) называется равенством Парсеваля.

Определение 4.1.8. Гильбертово пространство H сепарабельно, если в

нем существует счетное всюду плотное множество, т. е. такое множество ffj j 1 j < 1g, ÷òî

H = Cl(ffj j 1 j < 1g):

(4.13)

Гильбертово пространство сепарабельно в том и только том случае, если в нем существует счетная полная ортонормированная система элементов.

Доказательство. Пусть гильбертово пространство H сепарабельно, множество ffj j 1 j < 1g удовлетворяет условию (4.13) и ортонормированная система fej j 1 j < 1g удовлетворяет условию

8n : spanffj j 1 j ng spanfej j 1 j ng:

(4.14)

Для каждого элемента f 2 H существует такая последовательность fn(j) ; 1 j < 1, ÷òî

kf fn(j)k ! 0 ; j ! 1:

Пусть

	fn(j) =	X
			(n(j) ; i)ei:
	1 i n(j)
Из неравенства (4.9) следует, что
	X		< ei ; f > eik2
8(n > n(j)) : kf
	1 i n
kf	X (n(j) ; i)eik2 = kf fn(j)k2 ! 0 ; j ! 1:

1 i n(j)

274

Следовательно, удовлетворяющая условию (4.14) ортонормированная система полна. Теперь предположим, что в гильбертовом простанстве H

существует счетная полная ортонормированная система элементов fej j 1 j < 1g. Рассмотрим множество функций вида

X

(aj + ibj)ej ; aj ; bj рациональны; n = 1 : : :

1 j n

Это множество счетно и всюду плотно. Следовательно, гильбертово пространство H сепарабельно. Теорема доказана.

Определение 4.1.9. Оператор

U 2 L(H1 7!H2)

называется изометрическим, если

8(f 2 H1 ; g 2 H1) : < Uf ; Ug >2=< f ; g >1 :

Лемма 4.1.6. Оператор U есть изометрический оператор в том и только том случае, если

8(f 2 H1) : kUf j H2k2 = kf j H1k2:

Доказательство. Достаточно в равенстве

kU(f + g) j H2k2 = k(f + g) j H1k2

приравнять слагаемые с линейной и сопряженно-линейной по частью.

Определение 4.1.10. Изометрический оператор U называется унитарным, если он обратим:

9U 1 : UU 1 = U 1U = id:

Теорема 4.1.4. Если в гильбертовом пространстве H существует счет-

ная полная отртонормированная система элементов fej j 1 j < 1g,

то существует унитарное отображение этого пространства на пространство l2.

Доказательство. Отображение U строится по формуле

8(f 2 H) : Uf = f< ej ; f >j 1 j < 1g:

275

Обратное отображение вычисляется по формуле

U 1(f jg) = f =	1 X1
	jej:
	j<

Из доказанной теоремы следует, что все сепарабельные гильбертовы пространства, по-существу, одинаковы: как гильбертовы пространства они унитарно изоморфны пространству l2.

Пусть H0 ; H1 ; H2 -сепарабельные гильбертовы пространства, Ui -

унитарные отображения пространств Hi â H0, A 2 L(H1 7!H2) ; Ae - оператор, который делает коммутативной диаграмму:

A

H1 ! H2

??

??

U1y yU2

Ae

H0 ! H0

Ясно, что изучение оператора A можно свести к изучению оператора Ae, поэтому в случае сепарабельных гильбертовых пространств можно ограничиться изучением пространства L(H 7!H).

Приведем пример несепарабельного гильбертова пространства и несчетной ортонормированной системы.

Пусть L0 -линейное пространство функций вида

X

f 2 L0 : f(x) = aj exp(i jx) ; j 2 R1 ; 1 < x < 1; n = 1 : : :

1 j n

Определим на L0 скалярное произведение

8(f 2 L0 ; g 2 L0) : < f ; g >:= lim 1 Z a f (x)g(x)dx:

a!1 2a a

Пусть H -пополнение L0 относительно нормы, индуцированной этим ска-

лярным произведением. В полученном гильбертовом пространстве система элементов

e (x) = exp(i x) ; 2 R1

ортонормирована и несчетна, а само пространство H несепарабельно.

276

Теорема 4.2.1.

4.2Теорема Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве.

Напомним, что множество M в линейном пространстве называется выпуклым, если

8(a 2 M ; b 2 M ; 2 (0 ; 1)) : a + (1 )b 2 M:

Следующая теорема часто называется теоремой Леви.

В замкнутом выпуклом множестве гильбертова пространства существует элемент с наименьшей нормой и этот элемент единственен.

Доказательство. Пусть M -замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве H. Множество fkxk j x 2 Mg ограничено снизу, поэтому у этого множества существует точная нижняя грань d и существует такая последовательность fxng M, ÷òî

							nlim kxnk = d = inffkxk j x 2 Mg:																(4.15)
							!1
В силу равенства паралеллограма
								1									2		1				2
8(m > 0) :										(xn + x(n+m)) +										(xn x(n+m))			=
									2										2
1				xn		2	+						2				2				:		(4.16)
2			k		k			x(n+m)					k			!	d ; n
								k										! 1
Но в силу выпуклости множества M:
								1				(xn + x(n+m))						2 M;
											2
поэтому													1								2
							8(n ; m) :									(xn + x(n+m))						d2;
														2
и из (4.16) следует, что

supfkxn x(n+m)k j 1 m < 1g ! 0 ; n ! 1:

Мы доказали, что удовлетворяющая условию (4.15) последовательность фундаментальна. Пусть последовательность fxng удовлетворяет усло-

вию (4.15). Так как множество M замкнуто, то

9(x0 2 M) : xn ! x0 ; kx0k = d:

277

Пусть x00 -произвольный элемент, который удовлетворяет условию

(x00 2 M) ; kx00k = d:

Тогда должна существовать такая последовательность fx0ng M, ÷òî

x0n ! x00 ; n ! 1:

Последовательность

x1 ; x01 ; x2 ; x02 ; : : :

удовлетворяет условию (4.15) и поэтому фундаментальна. Следователь-

íî, x0 = x00	. Теорема доказана.
Пусть M -произвольное множество в гильбертовом пространстве H.
Определение 4.2.1. Множество
	M	? def	M) : < y ; x >= 0g	(4.17)
		= fx j 8(y 2

называется ортогональным дополнением множества M.

Лемма 4.2.1. Для любого множества M его ортогональное дополнение M? есть замкнутое линейное подпространство в H и (Cl(M))? = M?

Доказательство. Функция

x 7!< y ; x >

непрерывна, поэтому множество

fx j< y ; x >= 0g

замкнуто при любом y 2 H. Множество

\

M? = fx j< y ; x >= 0g

y2M

замкнуто как пересечение замкнутых множеств. Если x1 2 M? ; x2 2 M?, òî

8(y 2 M) : < x1 + x2 ; y >= < x1 ; y > + < x2 ; y >= 0;

поэтому

x1 + x2 2 M?:

Следовательно, M? -линейное подпространство.

278