- •Общие сведения
- •Требования к выполнению лабораторных работ
- •Форма отчета
- •Обработка результатов измерений Погрешности измерений физических величин
- •Классификация погрешностей измерений
- •Обработка результатов прямых измерений
- •Обработка результатов косвенных измерений
- •Действия с приближенными числами
- •Построение графиков
- •Вывод по графику (шаблон):
- •Измерительные приборы и учет их погрешностей
- •Библиографический список
- •Моделирование случайной величины и исследование ее распределения
- •Краткие теоретические сведения
- •Измерения и обработка результатов
- •Контрольное задание
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Проверка второго закона ньютона на машине атвуда
- •Общие сведения
- •Описание установки и метода измерений
- •Порядок выполнения работы
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Определение средней силы удара и коэффициента восстановления при соударении шара с плоской стенкой
- •Описание установки и метода измерений
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Исследование столкновения шаров
- •Описание установки и метода измерений
- •Проверить закон сохранения импульса
- •Определить среднюю силу удара
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Определение скорости пули
- •Определение скорости пули с помощью баллистического маятника Описание установки и метода измерений
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Определение скорости пули кинематическим методом
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Определение момента инерции маховика
- •Описание установки и метода измерений
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Определение момента инерции маятника максвелла
- •Описание установки и метода измерений
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Изучение законов вращательного движения и определение момента силы трения
- •Описание установки и метода измерений
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Проверка основного закона динамики вращательного движения твердого тела
- •Описание установки и метода измерений
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Определение моментов инерции твердых тел методом крутильных колебаний
- •Описание установки и метода измерений
- •Порядок выполнения работы.
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Определение ускорения свободного падения маятником-стержнем
- •Описание установки и метода измерения
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список.
- •Пружинный маятник
- •Краткая теория
- •Продифференцировав дважды функцию (2) по времени, получим
- •Описание установки и метода измерений
- •Порядок выполнения работы
- •Проверка закона Гука
- •Определение коэффициента упругости
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Определение ускорения свободного падения оборотным маятником
- •Теоретические сведения
- •Описание установки и метода измерений
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Изучение колебаний струны
- •Общие сведения
- •Описание установки
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Определение скорости звука в воздухе методом стоячей волны
- •Общие сведения
- •Описание установки
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Изучение механических затухающих колебаний
- •Общие сведения
- •Описание установки
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Определение отношения теплоемкости газа при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме
- •Краткие теоретические сведения.
- •Элементарная работа газа при равновесном расширении:
- •Описание установки и метода Клемана и Дезорма.
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Определение показателя адиабаты воздуха по скорости распространения звука
- •Общие сведения
- •Изменение давления при деформации:
- •В дифференциальной форме:
- •При адиабатическом процессе объем и давление газа связаны уравнением Пуассона:
- •Описание установки
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Определение коэффициента внутреннего трения для воздуха и средней длины свободного пробега молекул газа
- •Краткие теоретические сведения
- •Описание установки.
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Определение вязкости жидкости методом стокса
- •Краткие теоретические сведения
- •Описание установки
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Измерение теплопроводности газа
- •Краткие теоретические сведения
- •Описание установки
- •Порядок выполнения работы
- •Обработка результатов
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости по методу максимального давления в пузырьке
- •Краткие теоретические сведения
- •Описание установки
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Руководство по расчету случайной погрешности
- •Работа с калькулятором
- •Оглавление
Обработка результатов прямых измерений
Обычно в реальных измерениях присутствуют и случайные и систематические (аппаратурные) погрешности. Если вычисленная случайная погрешность прямых измерений равна нулю или меньше аппаратурной в два и большее число раз, то при вычислении погрешности косвенных измерений в расчет должна приниматься аппаратурная погрешность. Если эти погрешности отличаются меньше, чем в два раза, то абсолютная погрешность вычисляется по формуле
(1)
Случайная погрешность измерения обычно неизвестна, как неизвестно и истинное значение измеряемой величины. Поэтому задача элементарной обработки результатов измерений заключается в установлении интервала, внутри которого с заданной вероятностью находится истинное значение измеряемой физической величины.
Пусть в результате прямых измерений физической величины получен ряд ее значений: x1, x2, ..., xn.
Зная этот ряд чисел, нужно указать значение, наиболее близкое к истинному значению измеряемой величины, и найти величину случайной погрешности. Эту задачу решают на основе теории вероятностей, подробное изложение которой выходит за рамки нашего курса.
Наиболее вероятным значением измеряемой физической величины (близким к истинному) считают среднее арифметическое
(2)
Здесь xi - результат i-го измерения, n - число измерений. В случае малого n правильная оценка погрешности основана на использовании распределения Стьюдента (t – распределения). Случайная ошибка измерения может быть оценена величиной случайной абсолютной погрешности Dxсл., которую вычисляют по формуле
(3)
где t(a, n) - коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и доверительной вероятности a. Значение доверительной вероятности a задает сам экспериментатор.
Вероятностью случайного события называется отношение числа случаев, благоприятных для данного события, к общему числу равновозможных случаев. Вероятность достоверного события равна 1, а невозможного - 0.
Значение коэффициента Стьюдента, соответствующее заданной доверительной вероятности a и определенному числу измерений n, находят по табл. 1.
Из таблицы видно, что величина коэффициента Стьюдента и случайная погрешность измерения тем меньше, чем больше n и меньше a. Практически выбирают a = 0,95. Однако простое увеличение числа измерений не может свести общую погрешность к нулю, так как любой измерительный прибор дает погрешность.
Таблица 1
Число |
Доверительная вероятность a | |||
измерений n |
0,6 |
0,7 |
0,95 |
0,98 |
2 |
1,38 |
2,0 |
12,7 |
31,8 |
3 |
1,06 |
1,3 |
4,3 |
7,0 |
4 |
0,98 |
1,3 |
3,2 |
4,5 |
5 |
0,94 |
1,2 |
2,8 |
3,7 |
6 |
0,92 |
1,2 |
2,6 |
3,4 |
7 |
0,90 |
1,1 |
2,4 |
3,1 |
8 |
0,90 |
1,1 |
2,4 |
3,0 |
9 |
0,90 |
1,1 |
2,3 |
2,9 |
10 |
0,88 |
1,1 |
2,3 |
2,8 |
11 |
0,84 |
1,0 |
2,0 |
2,3 |
Поясним смысл терминов абсолютная погрешность Dx и доверительная вероятность a, используя числовую ось. Пусть среднее значение измеряемой величины <x> (рис. 1), а вычисленная абсолютная погрешность Dx. Отложим Dx от <x> справа и слева. Полученный числовой интервал от (<x> ─ Δx) до (<x> + Dx) называется доверительным интервалом. Внутри этого доверительного интервала находится истинное значение измеряемой величины x.
Рис. 1
Если измерения той же величины повторить теми же приборами в тех же условиях, то истинное значение измеряемой величины xист. попадет в этот же доверительный интервал, но попадание будет не достоверным, а с вероятностью a.
Вычислив величину абсолютной погрешности Dx по формуле (1), истинное значение x измеряемой физической величины можно записать в виде x = <x> ± Dx.
Величина абсолютной погрешности Δx результата измерений еще не определяет точности измерений. Для оценки точности измерения физической величины подсчитывают относительную погрешность, которую обычно выражают в процентах:
(4)
За меру точности измерения принимают величину 1/ε. Следовательно, чем меньше относительная погрешность ε, тем выше точность измерений.
Таким образом, при обработке результатов прямых измерений необходимо проделать следующее:
1. Провести измерения n раз (обычно 5).
2. Вычислить среднее арифметическое значение <x> по формуле (2).
3. Задать доверительную вероятность a (обычно берут a = 0,95).
4. По табл. 1 найти коэффициент Стьюдента, соответствующий заданной доверительной вероятности a и числу измерений n.
5. Вычислить абсолютную погрешность по формуле (3) и сравнить ее с аппаратурной погрешностью. Для дальнейших вычислений взять ту из них, которая больше (см. пример на с. 8).
6. По формуле (4) вычислить относительную ошибку e.
7. Записать окончательный результат
x = <x> ± Dx
с указанием относительной погрешности e и доверительной вероятности a.
Обычно кроме прямых измерений в лабораторной работе присутствуют косвенные измерения.