Библиографический список

1. Зайдель, А. Н. Ошибки измерений физических величин / А. Н. Зайдель. – СПб.: Лань, 2005. – с. 112.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

Моделирование случайной величины и исследование ее распределения

Цель работы: изучение статистических методов обработки опытных данных, подчиняющихся нормальному закону распределения случайных величин.

Оборудование: наручные часы с секундной стрелкой, электронный секундомер.

Краткие теоретические сведения

Случайной называется величина, изменяющаяся от опыта к опыту нерегулярно и, на первый взгляд, беспорядочно. Результат каждого отдельного измерения случайной величины практически непредсказуем. Однако совокупности результатов измерений подчиняются статистическим закономерностям, изучение которых служит одной из основ теории и практики физического и инженерного эксперимента. Существует множество законов распределения случайных величин. Одним из наиболее распространенных является нормальный закон распределения, описываемый функцией Гаусса:

, (1)

где ρ(t) – плотность нормального распределения случайной величины t, σ – среднеквадратичная ошибка или стандарт.

Закономерность распределения значений изучаемой случайной величины t становится наглядной, если построить гистограмму - ступенчатую диаграмму, показывающую, как часто при измерениях появляются значения, попадающие в тот или иной из равных интервалов t, лежащих между наименьшим и наибольшим из наблюдаемых значений величины t.

Гистограмму строят в следующих координатах (рис 1): ось абсцисс – измеряемая величина t; ось ординат – ΔN/NΔt. Здесь N - полное число измерений, ΔN - число результатов, попавших в интервал [t, t + Δt]. Частное ΔN/N - есть доля результатов, попавших в указанный интервал, и характеризует вероятность попадания в него результата отдельного измерения. Отношение этой величины к ширине интервала ΔN/NΔt называется "плотностью вероятности".

При очень большом числе измерений () вместо ступенчатой гистограммы получается плавная кривая зависимости

. (2)

Эту функцию называют плотностью вероятности или законом распределения по t. Чтобы сравнить наблюдаемое распределение с нормальным распределением (1), нужно найти по данным измерений параметры <t> и σ функции Гаусса (приближенно, поскольку число измерений ограничено). Параметр <t> есть среднее арифметическое случайной величины

.(3)

Параметр σ является средним квадратичным отклонением наблюдений от среднего <t>:

.(4)

Из анализа формулы (1) следует, что плотность нормального распределения имеет максимум

, (5)

при значении t = <t> и симметрична относительно t. Нетрудно сравнить “наибольшую высоту гистограммы” и максимальное значение функции Гаусса (5).

Для количественной проверки того, насколько хорошо полученные результаты соответствуют нормальному распределению, можно воспользоваться соотношением (6)

, (6)

в котором вероятность Р₁₂ попадания результата измерения в интервал (t₁, t₂) c одной стороны может быть вычислена как интеграл функции Гаусса в этих пределах, а с другой стороны - найдена как относительное число наблюдений N₁₂ , результаты которых попали в этот интервал. При сравнении наблюдаемого распределения с нормальным (1) можно воспользоваться известными значениями вероятности распределения случайной величины для наиболее употребительных в технике измерений пределов:

t(<t>-; <t>+), P_ = 0,68;

t(<t>-2; <t>+2), P_2 = 0,95;

t(<t>-3; <t>+3), P_3 = 0,997.