13!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Собственные векторы и собственные значения

Пусть A – матрица некоторого линейного преобразования порядка n.  Определение. Многочлен n-ой степени

P()=det(A-Е)     (1.1)

называется характеристическим многочленом матрицы А, а его корни, которые могут быть как действительными, так и комплексными, называются характеристическими корнями этой матрицы.  Определение. Ненулевой вектор x линейного пространства V, удовлетворяющий условию

А(х)=х,      (1.2)

называется собственным вектором преобразования A. Число называется собственным значением.  Замечание. Если в пространстве V задан базис, то это условие можно переписать следующим образом:

Ах=х,     (1.3)

где A – матрица преобразования, x – координатный столбец.  Определение. Алгебраической кратностью собственного значения _jназывается кратность корня _j характеристического многочлена.  Определение. Совокупность всех собственных значений называетсяспектром матрицы. 

Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов

1. Найти собственные значения матрицы:

• записать характеристическое уравнение:

det(A-Е)=0;        (1.4)

• найти его корни  _j, j=1,...,n и их кратности.

Найти собственные векторы матрицы:

• для каждого  _j решить уравнение

(A- _jE)x=0;       (1.5)

• найденный вектор х и будет собственным вектором, отвечающим собственному значению  _j.

14 !!!!!!!! Линейная модель многоотраслевой экономики Леонтьева

 Каждая отрасль многоотраслевого хозяйства с одной стороны является производите-лем определенной продукции, а с другой – потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует, чтобы соблюдался баланс по производству и потреблению между отдельными отраслями. Балансовый принцип связи различных отраслей состоит в том, что валовой выпуск i-й отрасли должен быть равен сумме объемов потребления. В простейшей форме балансовые соотношения имеют вид x_i=x_i1 + x_i2 + … + x_in + y_i , i=1, 2, …, n. где x_i – общий объем выпускаемой продукции i–й отрасли; x_ij – объем продукции i–й отрасли, потребляемый j –й отраслью при производстве объема продукции x_j; y_i – объем продукции i–й отрасли конечного потребления (для реализации а непро-изводственной сфере). Для производства продукции j –й отрасли объемом xi нужно использовать продукцию i –й отрасли объемом a_ijx_i , где а_ij – постоянное число, характеризующее прямые затраты. Это допущение позволяет представить модель многоотраслевой экономики в виде системы линейных уравнений, которая в матричной форме имеет вид ,

где  x- вектор валового выпуска;

       y- вектор объема продукции конечного потребления;

    A - матрица коэффициентов прямых затрат. Приведенная система уравнений может быть представлена в виде, где E – единичная матрица. Если существует обратная матрица(матрица полных затрат), то существует единственное решение системы. Из экономической теории известно несколько критериев продуктивности матрицы А:

1) матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и ее элементы неотрицательны;

2) матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не больше единицы, при чем хотя бы для одного столбца (строки) строго меньше единицы.