15!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Операции над векторами Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора на действительное числоназывается вектор, удовлетворяющий условиям:

1) длина вектора равна, т.е.;

2) векторы иколлинеарные;

3) векторы иодинаково направлены, если, и противоположно направлены, если.

Произведение нулевого вектора на любое число считается (по определению) нулевым вектором:; произведение любого вектора на число нуль также считается нулевым вектором:. Из определения произведения следует, что:

а) при умножении на единицу вектор не изменяется:;

б) при умножении вектора на получается противоположный вектор:;

в) деление вектора на отличное от нуля число сводится к его умножению на число, обратное.

г) при делении ненулевого вектора на его длину, т.е. при умножениина числополучаем единичный вектор, одинаково направленный с вектором.

Действительно, длина вектора равна единице:.

Вектор коллинеарен и одинаково направлен с вектором, так как;

д) при умножении единичного вектора на число получаем коллинеарный ему вектор, длина которого равна.

Сложение векторов

Пусть даны два вектора и. Приложим векторк точке(концу вектора) и получим вектор(рис.1.7,а; здесь и далее равные векторы отмечены одинаковыми засечками). Векторназываетсясуммой векторов ии обозначается. Это нахождение суммы называетсяправилом треугольника.

Сумму двух неколлинеарных векторов иможно найти поправилу параллелограмма. Для этого откладываем от любой точки векторыи, а затем строим параллелограмм(рис. 1.7,6). Диагональпараллелограмма определяет сумму:

Для нахождения суммы нескольких векторов можно построить ломаную из равных им векторов. Тогда замыкающий вектор, соединяющий начало первого вектора ломаной с концом последнего ее вектора, равен сумме всех векторов ломаной. На рис.1.7,в изображена сумма четырех векторов. Таким способом (правило ломаной) можно сложить любое конечное число векторов. Заметим, что сумма векторов не зависит от точек приложения слагаемых и от порядка суммирования. Например, "выстраивая цепочку" векторов для суммы в виде , получим вектор, равный вектору. Если ломаная получилась замкнутой, то сумма равна нулевому вектору.

16 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Определение линейной зависимости системы векторов

Система векторов A₁, A₂,...,A_n называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ_1, λ₂,...,λ_n, при котором линейная комбинация векторов λ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θимеет ненулевое решение. Набор чисел λ_1, λ₂,...,λ_n является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ_1, λ₂,...,λ_n отлично от нуля.

Определение линейной независимости системы векторов

Система векторов A₁, A₂,...,A_n называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторовλ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел λ_1, λ₂,...,λ_n, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ имеет единственное нулевое решение.