Методы оценки погрешностей
Пусть - точное значение какой-либо величины, которое, как правило, неизвестно, и - её приближенное значение, найденное каким-либо способом.
Абсолютной погрешностью приближенного значения называется абсолютная величина разности между соответствующим точным значением и его приближенным значением , то есть .
Предельная абсолютная погрешность является верхней оценкой абсолютной погрешности приближенного значения , т.е. . В дальнейшем значение принимается в качестве абсолютной погрешности приближенного значения . В этом случае истинное значение находится в интервале .
Относительной погрешностью приближенного значения величины называется отношение абсолютной погрешности этого значения к модулю соответствующего точного значения (): , так как чаще всего неизвестно, то .
Значащей цифрой числа считается любая цифра в его десятичной записи, отличная от нуля и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного разряда.
Под верной цифрой числа, понимается его значащая цифра, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит данная значащая цифра.
Правила округления:
Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все его цифры, стоящие справа от n-й значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями.
При этом:
-
если первая из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняются без изменения;
-
если первая из отброшенных цифр больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляется единица;
-
если первая из отброшенных цифр равна 5 и среди остальных отброшенных цифр имеются ненулевые, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу;
-
если первая из отброшенных цифр равна 5 и все остальные отброшенные цифры являются нулями, то последняя оставшаяся цифра сохраняется неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная.
Оценка погрешностей результатов при выполнении операций над приближенными числами:
-
Абсолютная погрешность суммы приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей этих чисел:
;
-
Абсолютная погрешность разности приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого:
;
-
Относительная погрешность частного не превышает суммы относительных погрешностей делимого и делителя:
;
-
Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел:
;
-
Относительная погрешность m-й степени числа в m раз больше относительной погрешности самого числа:
;
-
Относительная погрешность корня m-й степени неотрицательного числа в m раз меньше предельной относительной погрешности подкоренного числа:
.
Лабораторная работа №1
Задания:
-
Округляя точное значение A до трех значащих цифр, определить абсолютную и относительную погрешности полученного приближенного значения.
-
Определить абсолютную погрешность приближенного значения по его относительной погрешности .
-
Решить задачу: при измерении длины с точностью до 5 м получено км, а при определении другой длины с точностью до 0,5 см, получено м. Какое измерение по своему качеству лучше?
-
Определить количество верных знаков n в числе , если известна его предельная абсолютная погрешность х.
-
Определить количество верных знаков в числе а, если известна его предельная относительная погрешность .
-
Найти сумму приближенных значений (=1, 2, 3), считая все знаки (=1, 2, 3) верными, т.е. абсолютная погрешность каждого слагаемого не превосходит половины единицы младшего разряда этого слагаемого. Определить предельные абсолютную и относительную погрешности суммы.
Правило: Чтобы сложить числа, имеющие различные абсолютные погрешности, и найти погрешность суммы, следует:
-
выделить наименее точные числа, т.е. числа с наибольшей абсолютной погрешностью;
-
остальные числа округлять, сохраняя один запасной десятичный знак по сравнению с ранее выделенными наименее точными слагаемыми;
-
сложить числа, учитывая все сохраненные знаки;
-
полученные результаты округлить на один знак;
-
полную абсолютную погрешность суммы складывать из трех компонент:
а) суммы предельных абсолютных погрешностей исходных чисел;
б) абсолютной величины суммы ошибок округления слагаемых
(с учетом знаков ошибок округления) из п.2;
в) заключительной погрешности округления результата из п.4.
-
Найти абсолютную и относительную погрешности при вычислении объема цилиндра, если числовые значения высоты h и радиуса основания R имеют все верные знаки.