Еще один пример
Вероятность сдать экзамен равна 0,8. Найти наивероятнейшее число студентов, сдавших экзамен в группе из 30 человек.
Решение.
Вычисляем np + p = 30∙0,8 + 0,8 = 24,8.
Это не целое число, поэтому m0 = [24,8] = 24.
Полиномиальная схема
Определение
Полиномиальной схемой называется последовательность n независимых одинаковых испытаний, в каждом из которых
возможны k исходов |
k |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
A1, A2 , L , Ak , |
UAi , |
||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
||
при этом вероятность любого исхода в каждом |
|||||||
испытании постоянна, |
|
|
|
k |
|||
P Ai pi , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
i |
|
, |
pi 1 |
|
1,n |
1,k |
||||||
i 1
Полиномиальная формула
|
|
Pn m1, m2 ,...mk |
|
||
событие A |
произошло ровно m раз, |
||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
L |
|
|
P |
|
|
|
||
|
|
|
произошло ровно mk раз |
||
событие Ak |
|||||
|
|
n! |
|
p1m1 p2m2 L |
pkmk . |
|
|
||||
|
m1 ! m2 ! L mk ! |
||||
Пример
Человек с вероятностью 0,2 оказывается брюнетом, с вероятностью 0,4 —шатеном, с вероятностью 0,3 — блондином и с вероятностью 0,1—рыжим. Выбирается наугад группа из шести человек. Найти вероятность того, что в составе группы два брюнета, один шатен и три блондина.
|
P6 2,1,3,0 |
|
|
|
|
6! |
0, 22 0, 41 |
0,33 |
0,10. |
2! 1! 3! 0!! |
||||
Гипергеометрические испытания
Пусть из совокупности n предметов, среди которых n1 предметов первого вида и n2 предметов второго вида (n1 + n2 = n) производится выборка без возвращения m предметов, 1 m n.
Вероятность того, что в выборке будет m1 предметов первого вида и m2 предметов второго вида (m1 + m2 = m), согласно классическому определению вероятности, выражается формулой
Гипергеометрические вероятности
Cm1 Cm2
Pn1 ,n (m1, m) n1Cnm n2
Данные испытания являются зависимыми.
Пример
В урне 6 белых и 5 черных шаров.
Из урны вынимают наугад 5 шаров. Найти вероятность, что два из них будут белыми, а три – черными.
Решение:
2 |
3 |
|
C |
2 |
C |
3 |
|
n(A) CС |
5 |
P(A) |
|
|
. |
||
n C115 |
|
C115 |
|
||||
6 |
|
6 |
5 |
|
|||
Теорема
Пусть n и n1 так, что nn1 p, 0 p 1
Тогда
Pn1 ,n (m1, m) Pm (m1 ).
Доказательство
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pn ,n m1, m |
Cnm11 Cnm22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cnm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
m! n m ! |
|
|
n1! |
|
|
|
|
|
|
n2! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
m1! n1 m1 ! |
|
|
m2! n2 m2 ! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
n |
n |
1 |
|
n |
|
|
m 1 |
n |
|
n |
|
1 |
|
|
n |
|
m 1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
m! |
|
|
1 |
|
1 |
n |
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
n |
|
|
2 |
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
n |
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|||||||
|
m1!m2! |
|
|
|
|
|
|
n n |
|
1 |
|
n |
|
m 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m! |
n n |
|
n |
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pm1 1 |
p |
|
2 |
|
Pm m1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m !m ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предельные теоремы для схемы Бернулли 
При числе испытаний, превышающем 20, вычисление точного значения Pn(m) затруднительно. В этих случаях применяют приближенные формулы, вытекающие из предельных теорем.
Различают два случая:
когда р мало, используют приближение Пуассона,
когда р не мало (и не очень близко к единице), справедливо приближение Муавра –Лапласа.
Существует область, в которой возможно применение обоих приближений.