Интегральная предельная теорема Муавра –Лапласа

При n и постоянном р, не равном 0 или 1,

m

np

lim p x

x

n

1

npq

2

1

x2

x2

x e

2 dx x2 x1 ,

2

1

		1		x		t 2	x
x				e		2 dt t dt
		2

Доказательство

np

p x m

x

1

npq

2

p x1

np

np m x2

npq

npq

x2

np

xm x2

npq

pn m

pn m

m x1

npq

np

xm x1

xm

m

np

npq

По локальной предельной теореме

x x		1		x x		x2
m 2 pn m				m 2	e
						2
xm x1		2 xm x1

npq1 1 n In An

		1		x	x		x2
In					m 2	e
							2
		2
				xm x1

	1		x	x		1
				m 2				xm
	npq					npq
			xm x1

xm m

np

, xm m

1

np

m

np

1

npq

npq

npq

npq

xm x2	x2
In xm xm x dx
xm x1	x
	1

xm x2
An xm xm n
xm x1
x x
An m 2 xm xm n C		In
xm x1	n

		при n			An 0
			nlim→∞		p(x1≤ m√−npqnp ≤x2)=
					¿ lim (I n+An )=
					n →∞
					x2
					¿ ϕ(x ) dx=
					∫
			x		x1
	1			2	− x2

√2 π ∫x1 e 2 dx=Φ (x2 )−Φ(x1 ).

Интегральная приближенная формула Муавра –Лапласа

			m	np				x2 x1 ,
	lim p x1					x2
	n			npq

		1		x		t 2	x
x				e		2 dt t dt
		2

Интегральную приближенную формулу Муавра –

Лапласа	применяют	при
n > 30, 0.1 p 0.9, nрq > 9.

Следствия

b np			a np
p a m b
	npq			npq

m

2

p

n

1

p

n

p

1

2

n

pq

pq

m

n

n

p 1

p 2

2

1

n

pq

pq

Свойства функции (x)

x		x
0			1		0.3989
			2
lim	x 0
x

4 0.001

Свойства функции Ф(x)

x x 1

lim x 0

x

lim x 1

x

0 21

3.8 0.99993.8 0.0001

1

2