График функции распределения ξ

Свойства функции распределения

1)Функция распределения F (x) не убывает: если x1<x2, то F (x1) F (x2);

2)Существуют пределы

lim F x 0	lim F x 1
x	x

3)Функция	распределения								непрерывна
слева:	0				x x 0					0
		0					x
F	x				lim	F			F	x
					0

Непрерывные распределения

Определение

Случайная величина имеет абсолютно

непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция f (x) такая, что для любого x0 R функция распределения

представима в виде

x
F x0 0	f x dt

При этом функция f (x) называется плотностью распределения случайной величины .

Геометрический смысл функции распределения

Свойства плотности

1.Почти		всюду		f	x		F		x.
2.Почти		всюду		f x 0.
	f x
3.			dx 1.
4. b	f	x	dx F b F a p a b .
a

Замечание

Термин для «почти всех» означает «для всех, кроме (возможно) x из некоторого множества нулевой меры (длины)». Заметьте, что стоящую под интегралом функцию можно изменить в одной точке (или на множестве нулевой длины), и интеграл от этого не изменится.

Иллюстрация свойства 4

Примеры непрерывных распределений

Равномерное распределение R [a, b]

		0,	x a,b
f	x	1
			, x a,b
		b a

	0,				x a
F x	x a			,	a x b
	b a				x b
		1,

График плотности распределения R[a,b]

График функции распределения R[a,b]