ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВЯТСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет строительства и архитектуры

Кафедра теоретической

и строительной механики

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ

МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Методические указания и задания

для выполнения расчетно-графической

работы по строительной механике для

студентов специальностей 290300, 290500

КИРОВ 2007

ОПИСАНИЕ ЗАДАНИЯ

Задание на расчетную работу представляет собой набор двадцати четырех статически неопределимых рам (с. 4-7, “расчетные схемы”) и двух таблиц исходных данных (с. 2, 3). Сосредоточенные силы на расчетных схемах считаются приложенными в серединах соответствующих стержней. Исходные данные и номер расчетной схемы для выполнения расчетной работы выбираются в соответствии со списочным номером студента и номером группы.

Для каждой из расчетных схем требуется:

1. Подсчитать степень кинематической неопределимости (СКН), выбрать основную систему (ОС) метода перемещений и записать канонические уравнения.

2. Определить коэффициенты при неизвестных и свободные члены канонических уравнений.

3. Определить из канонических уравнений неизвестные перемещения и построить эпюры внутренних сил.

4. Произвести проверку правильности построения эпюр.

Таблица 1

Группа cхемы c	EIр : EIст	Нагрузка
С-41	5 : 6	q1 , q2 , P7 , P8
С-42	3 : 4	q3 , q4 , P5 , P6
С-43	1 : 3	q1 , q4 , P6 , P7
С-44	2 : 3	q2 , q3 , P5 , P8
С-45	3 : 2	q1 , q3 , P6 , P8
ГСХ-41	2 : 1	q2 , q4 , P5 , P7
ГСХ-42	4 : 5	q1 , q4 , P5 , P8

N схемы cхемы c	q1 [кН/м]	q2 [кН/м]	q3 [кН/м]	q4 [кН/м]	P5 [кН]	P6 [кН]	P7 [кН]	P8 [кН]	L [м]	h [м]
1	12	14	9	11	25	36	42	34	5,0	4,6
2	13	8	7	10	33	41	52	36	4,1	3,8
3	15	6	14	17	30	35	56	45	3,5	6,5
4	9	7	6	5	41	46	39	64	3,2	5,8
5	12	11	13	14	65	39	48	50	2,9	5,4
6	7	8	4	9	54	43	37	52	3,7	3,4
7	15	16	20	19	49	56	62	38	3,9	3,6
8	10	11	18	17	63	54	39	35	4,0	3,7
9	8	7	14	16	61	34	33	47	4,5	4,1
10	9	15	17	18	44	42	31	53	2,7	4,9
11	14	19	5	8	51	28	36	46	4,9	4,5
12	5	6	7	9	56	42	47	34	5,1	4,7
13	10	7	8	13	53	68	37	45	3,6	3,3
14	14	13	12	11	56	44	39	48	4,1	3,8
15	19	20	15	16	45	64	39	42	5,2	4,8
16	18	6	7	9	38	62	56	49	4,7	4,3
17	14	13	11	12	47	33	34	61	4,6	4,2
18	10	9	8	7	53	31	42	44	4,3	3,9
19	12	5	15	19	56	55	49	42	4,4	4,0
20	9	10	7	14	44	35	50	54	3,2	2,9
21	8	11	12	15	49	25	34	38	3,3	3,0
22	5	6	9	17	42	32	55	58	4,8	4,4
23	8	7	14	18	53	45	56	67	3,4	3,1
24	16	13	9	12	67	78	45	23	3,	3,2

Таблица 2

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ

В методе перемещений в качестве неизвестных принимаются перемещения узлов системы: углы поворота узлов и их линейные перемещения. Общее число неизвестных метода перемещений называется степенью кинематической неопределимости (СКН ) и определяется как сумма неизвестных углов поворота n_У и неизвестных линейных перемещений узлов n_Л : СКН= n_У + n_Л.

Число неизвестных углов поворота равно числу жестких узлов. При определении числа линейных перемещений узлов вводится гипотеза о том, что длины хорд упругих линий прямых стержней рамы после их деформации остаются равными первоначальным длинам этих стержней, т.е. не учитывается сближение концов прямого стержня при его изгибе и действии продольной силы. В результате этого число независимых линейных перемещений узлов заданной системы будет равно степени свободы шарнирной схемы, полученной из заданной системы введением шарниров во все узлы, включая и опорные. При этом все статически определимые консоли, если они имеются в заданной системе, должны быть отброшены.

После определения числа неизвестных осуществляется переход от заданной системы к основной системе (ОС) метода перемещений, которая получается путем введения в узлы заданной системы дополнительных связей, препятствующих их перемещениям. В соответствии с принятыми неизвестными вводятся дополнительные связи двух типов: связи, препятствующие повороту жестких узлов (заделки), и связи, препятствующие линейным перемещениям всех узлов (опорные стержни). Заделки, вводимые в основную систему метода перемещений, отличаются от обычной жесткой заделки тем, что препятствуют только повороту узла, но не лишают его линейной подвижности. Общее число дополнительных связей в основной системе метода перемещений должно быть равно числу неизвестных перемещений.

На рис.1 показан пример образования основной системы метода перемещений для рамы, имеющей три неизвестных узловых перемещения: два угла поворота и одно линейное перемещение. В качестве дополнительных связей введены две заделки, препятствующие повороту жестких узлов, и один опорный стержень, препятствующий перемещению этих узлов в горизонтальном направлении.

Неизвестные перемещения определяются из канонических уравнений метода перемещений:

Эти уравнения означают, что суммарная реакция каждой дополнительной связи, возникающая в ОС от неизвестных перемещений и нагрузки, равна нулю, так как в заданной системе эти связи отсутствуют. Коэффициенты при неизвестных представляют реакции i-ой дополнительной связи от перемещений и называются коэффициентами жесткости. Свободные члены канонических уравнений представляют реакцию i-ой дополнительной связи от нагрузки. Положительные направления и соответствуют направлению перемещения . Коэффициенты жесткости , стоящие на главной диагонали системы канонических уравнений, всегда положительны, так как они состоят только из положительных слагаемых. Матрица, составленная из коэффициентов (матрица жесткости), является симметричной относительно главной диагонали, т.е. .

Для определения коэффициентов при неизвестных и свободных членов канонических уравнений в основной системе строятся эпюры изгибающих моментов от перемещений и эпюра от заданной нагрузки. Основная система метода перемещений представляет совокупность независимых типовых элементов - однопролетных статически неопределимых балок (рис.1). Поэтому построение эпюр и сводится к определению изгибающих моментов в этих типовых элементах от единичных перемещений их концов и от нагрузки с помощью справочных данных (некоторые из этих данных приведены в таблице 3 методических указаний).

Таблица 3

Продолжение таблицы 3

После построения единичных эпюр и грузовой эпюры определяются коэффициенты жесткости и свободные члены канонических уравнений. При этом могут быть использованы два способа: статический способ и способ перемножения эпюр.

Статический способ является основным в методе перемещений. В соответствии с этим способом коэффициенты при неизвестных и свободные члены канонических уравнений определяются из условия равновесия узлов или некоторых частей ОС (в некоторых случаях и всей ОС), содержащих дополнительные связи. Реакции этих связей, возникающие от единичных неизвестных перемещений представляют, как уже отмечалось выше, коэффициенты , а реакции дополнительных связей, возникающие от нагрузки, представляют свободные члены .

Cпособ перемножения эпюр целесообразно применять при расчете рам с наклонными стержнями, когда применение статического способа усложняется. Коэффициенты при неизвестных в этом способе определяются перемножением соответствующих единичных эпюр:

Свободные члены канонических уравнений определяются по формуле

где - эпюра моментов от нагрузки, построенная в любой статически определимой системе, полученной из заданной.

После определения неизвестных перемещений единичные эпюры умножаются на соответствующие перемещения и в основной системе строятся эпюры . Окончательная эпюра изгибающих моментов строится в заданной системе на основании выражения

_.

Поперечные силы в стержнях определяются по эпюре на основании дифференциальной зависимости . Для участков, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой (рис.2), эта зависимость дает следующие формулы:

Значения _, и в эти формулы подставляются с соответствующими знаками (на рис.2 показаны в положительных направлениях). Из дифференциальной зависимости следует, что поперечная сила на участке АВ меняется линейно. При поперечная сила на участке АВ постоянна и определяется по формуле:

Продольные силы в стержнях определяются по известным поперечным силам из условия равновесия узлов.

Правильность построения эпюр определяется проверкой равновесия всей системы. Необходимые для этого реакции опор определяются из условий равновесия узлов, содержащих опорные связи или непосредственно по эпюрам .

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

Исходные данные:

l=3,8 м;

h=5,6 м;

EI_р : EI_ст = 3 : 5;

^q₁ = 5 кН/м;

^q₃ = 8 кН/м;

P₅ = 24 кН;

P₈ = 33 кН.

Построить эпюры M, Q, N.

Проверить правильность построения эпюр.

1. Определение скн и

переход к ОС

Заданная рама имеет два жестких узла и одно линейное перемещение. Поэтому СКН= n_У + n_Л = 2 + 1 = 3. Заменяем заданную систему основной путем введения трех дополнительных связей (рис. 4). Неизвестные перемещения Z₁, Z₂, Z₃ определяются из канонических уравнений:

2. Определение коэффициентов при неизвестных и

свободных членов

канонических уравнений

Cтроим в основной системе эпюры изгибающих моментов от единичных неизвестных перемещений и от заданной нагрузки (риc. 5). Коэффициенты при неизвестных и свободные члены канонических уравнений определяем статическим способом. Берем . Рассматривая равновесие жестких узлов и верхней части ОС (рис. 6) , получаем:

3. Определение неизвестных перемещений.

Построение эпюр внутренних сил

Подставляя коэффициенты при неизвестных и свободные члены в канонические уравнения и решая их, получаем:

Эпюру изгибающих моментов в заданной раме (рис. 8а) строим путем суммирования эпюр и , построенных в ОС (рис. 7). Построив эпюру , проверяем равновесие моментов в жестких узлах (рис. 8б). Поперечные силы на каждом участке определяем по изгибающим моментам.

Участок AB:

Участок CD:

Участок EF:

Участок FK:

Участок BD:

Участок DK:

Строим эпюру Q (рис. 8в).Продольные силы в стержнях рамы определяем из равновесия узлов (рис. 9). Поперечные силы прикладываем к узлам в действительных направлениях в соответствии с полученными знаками.

Узел B:

Узел D:

Узел K:

Строим эпюру (рис. 8г).

Из равновесия опорных узлов (рис. 10), определяем реакции опор:

X_A = 18,688 кН; X_C = 32,723 кН; X_E = 33,589 кН;

Y_A = 6,055 кН; Y_C = 29,363 кН; Y_E = 7,092 кН;

M_C =101,782 кН^.м ; M_E = 95,700 кН^.м.

4. Проверка правильности построения эпюр

Правильность построения эпюр проверяется равновесием всей системы. Изображаем заданную раму с приложенными к ней нагрузкой и реакциями опор (рис. 11). Проверяем выполнение условий равновесия:

ЛИТЕРАТУРА

1. Дарков А.В.. Шапошников Н.Н. Строительная механика.-М.: Высшая школа. 1986 г.

2. Смирнов В.А., Иванов С.А.,Тихонов М.А. Строительная механика.-М.: Строй- издат , 1984 г.

3. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики (статически определимые и статически неопределимые системы), под общей редакцией Г.К.Клейна.-М.: Высшая школа, 1973 г.

УДК 531.1(075)

Т33

Составитель: к.т.н., доцент В.М.Шишкин

Рецензент: к.т.н., доцент каф. СК В.Ф. Буравлев

Авторская редакция

Подп. в печ. Усл.печ.л. 1,6 Бумага овсетная Печать матричная

Заказ Тираж 50.

Текст напечатан с оригинал-макета, представленного составителем.

___________________________________________________________________________

610000, г. Киров, ул. Дрелевского 55

Изготовление - ООО “Фирма “Полекс”.

17