- •Введение
- •1. Линейное программирование
- •1.1 Решение задачи 1.1
- •1.2 Решение задачи 1.2
- •1.3 Решение задачи 1.3
- •1.4 Выводы к Главе 1
- •2. Целочисленное программирование
- •2.1 Решение полностью целочисленных задач Решение задачи методом отсекающих плоскостей
- •Решение задачи методом ветвей и границ
- •2.2 Решение частично целочисленной задачи
- •Глава 3. Нелинейное программирование
- •1) Критерий Сильвестра.
- •2) Метод характеристических чисел.
- •3.2Квадратичный симплекс метод (метод Била)
- •3.3 Преобразование нелинейной модели к сепарабельному виду. Аппроксимация нелинейной сепарабельной функции кусочно-линейной функцией
- •3.4 Решение задачи сепарабельным симплекс-методом
- •3.5 Определение погрешности решения
- •3.6. Выводы к главе 3
1.3 Решение задачи 1.3
Максимизировать целевую функцию:
Y=-4x1-x2+3x3-2x4 → max
При ограничениях:
1x1+2x2+0x3+0x4 ≥ 3
-2x1+0x2+0x3+2x4 ≤ -9
-x1-x2+x3+2x4 ≤ -5
x1+0x2-2x3+x4 ≥ 2
x1,2,3,4 ≥ 0
Нужно привести систему ограничений к каноническому виду. Для этого следует добавить дополнительные переменные x5, x6, x7 и x8.
1x1+2x2+0x3+0x4 -1x5+0x6+0x7+0x8=3
2x1+0x2+0x3-2x4 +0x5-1x6+0x7+0x8=9
x1+x2-x3-2x4 +0x5+0x6-1x7+0x8=5
x1+0x2-2x3+x4 +0x5+0x6+0x7-1x8=2
Выразим допустимый базис в форме Таккера:
X5=-3-(-1x1-2x2+0x3+0x4)
X6=-9-(-2x1+0x2+0x3+2x4)
X7=-5-( -x1-x2+x3+2x4)
X8=-2-( -x1+0x2+2x3-x4)
Целевая функция в форме Таккера:
Y=0-(4x1+x2-3x3+2x4)
На основании целевой функции и полученных ограничений можно составить симплекс-таблицу (Таблица 1.10).
Таблица 1.10
|
БП |
СЧ |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X6 |
X7 |
X8 |
|
X5 |
-3 |
-1 |
-2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
X6 |
-9 |
-2 |
0 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
X7 |
-5 |
-1 |
-1 |
1 |
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
X8 |
-2 |
-1 |
0 |
2 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
Y |
0 |
4 |
1 |
-3 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Решение не оптимально, так как имеем в строке Y отрицательные элементы. Используем двойственный симплекс-метод. Вводим в базис X1, выводим из базиса X6. Результат отображен в таблице 1.11.
Таблица 1.11
|
БП |
СЧ |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X6 |
X7 |
X8 |
|
X5 |
3/2 |
0 |
-2 |
0 |
-1 |
1 |
-1/2 |
0 |
0 |
|
X1 |
9/2 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
-1/2 |
0 |
0 |
|
X7 |
-1/2 |
0 |
-1 |
1 |
1 |
0 |
-1/2 |
1 |
0 |
|
X8 |
5/2 |
0 |
0 |
2 |
-2 |
0 |
-1/2 |
0 |
1 |
|
Y |
-18 |
0 |
1 |
-3 |
6 |
0 |
2 |
0 |
0 |
Решение не оптимально, так как имеем в строке Y отрицательные элементы. Используем двойственный симплекс-метод. Вводим в базис X2, выводим из базиса X7. Результат отображен в таблице 1.12.
Таблица 1.12
|
БП |
СЧ |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X6 |
X7 |
X8 |
|
X5 |
5/2 |
0 |
0 |
-2 |
-3 |
1 |
1/2 |
-2 |
0 |
|
X1 |
9/2 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
-1/2 |
0 |
0 |
|
X2 |
1/2 |
0 |
1 |
-1 |
-1 |
0 |
1/2 |
-1 |
0 |
|
X8 |
5/2 |
0 |
0 |
2 |
-2 |
0 |
-1/2 |
0 |
1 |
|
Y |
-37/2 |
0 |
0 |
-2 |
7 |
0 |
3/2 |
1 |
0 |
Решение не оптимально, так как имеем в строке Y отрицательные элементы. Используем обычный симплекс-метод. Вводим в базис X3, выводим из базиса X8. Результат отображен в таблице 1.13.
Таблица 1.13
|
БП |
СЧ |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X6 |
X7 |
X8 |
|
X5 |
5 |
0 |
0 |
0 |
-5 |
1 |
0 |
-2 |
1 |
|
X1 |
9/2 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
-1/2 |
0 |
0 |
|
X2 |
7/4 |
0 |
1 |
0 |
-2 |
0 |
1/4 |
-1 |
1/2 |
|
X3 |
5/4 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
-1/4 |
0 |
1/2 |
|
Y |
-16 |
0 |
0 |
0 |
5 |
0 |
1 |
1 |
1 |
В столбце свободных членов и в строке коэффициентов отсутствуют отрицательные элементы, а следовательно, полученный план оптимален. Произведём проверку, подставив полученные значения для переменных в начальные условия и убедившись в их верности, выписываем ответ.
Ответ : Решение оптимально
Y=-16
X=(9/2;7/4;5/4;0;5;0;0;0)
Количество итераций=3