Основы финансовых вычислений

233

Содержание

Тема 1. Простые проценты
Тема 2. Сложные проценты
Тема 3. Финансовые потоки
Тема 4. Анализ инвестиционных проектов
Тема 5. Облигации
Тема 6. Риски финансовых операций
Тема 7. Портфельный анализ

Введение

При изучении курса «Основы финансовых вычислений» студентами бакалавриата, обучающимися по направлению 080100.62 «Экономика», профили «Финансы и кредит» и «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», предусмотрено выполнение практических занятий.

Цели практических занятий – усвоение теоретических основ курса, выработка навыков в решении задач, соответствующих рабочей программе дисциплины, овладение методами финансовых вычислений с использованием стандартных и прикладных компьютерных программ.

Тема 1. Простые проценты

Методические указания.

Обозначения:

S – наращенная (будущая ) сумма;

P – первоначальная сумма;

i – ставка простых процентов за период ( в долях );

n – число периодов начисления по ставке i за период.

Если n исчисляется в годах, то i – ставка простых процентов годовых ( в долях ).

Если срок начисления t не кратен шагу, то n = t/K , где К – длина шага в днях.

Наращенная (будущая ) сумма платежа Р вычисляется по формуле:

где I = Pni – сумма процентных денег.

Приведение будущей суммы к более раннему моменту времени называется дисконтированием.

Формула математического дисконтирования имеет вид:

Второй сомножитель в правой части называется дисконтным множителем (коэффициентом дисконтирования).

Величина D = S – P называется дисконтом.

При банковском расчете процентов применяется учетная ставка:

Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен D = S∙n∙d , откуда

Описание постановки и примеров решения задач по теме можно найти в литературе

Примеры решения задач:

Пример 1.1. Кредит в объеме 90 тыс. руб. выдан на срок 2,5 года при ставке простых процентов, равной 12% годовых. Определить единовременную сумму погашения кредита и величину накопленных процентов.

Решение:

Накопленная сумма процентов

I = P∙n∙i = 90∙2,5∙0,12 = 27 тыс. руб.

Наращенная сумма кредита

S = P + I = 90 + 27 = 117 тыс. руб.

Пример 1.2. Кредит в объеме 90 тыс. руб. выдан на срок с 25 февраля 2013 до 9 апреля 2013 года при ставке простых процентов, равной 12% годовых.

1. Рассчитать точные проценты с точным числом дней займа;

2. Рассчитать обыкновенные проценты с точным числом дней займа;

3. Рассчитать обыкновенные проценты с приближенным числом дней займа.

Решение:

Для расчетов используют формулу

I = P•(t/K)• i ,

1. I = P∙n∙i = 90∙(44/365)∙0,12 = 1301,92 руб.

2. I = P∙n∙i = 90∙(44/360)∙0,12 = 1320,00 руб.

3. I = P∙n∙i = 90∙(43/360)∙0,12 = 1290,00 руб. ( продолжительность марта – 30 дней).

Вычисление отношения t/K можно автоматизировать с помощью функции Excel ДОЛЯГОДА(нач_дата;кон_дата;базис), находящейся в категории функций «Дата и время». Значения параметра «базис» приведены в таблице 1.

Таблица1. Значение базиса для функции ДОЛЯГОДА

Базис	Способ вычислении доли
0 или опущен	американский (NASD) 30/360
1	фактический / фактический
2	фактический / 360
3	фактический / 365
4	европейский 30/360

Пример 1.3. Известно, что через 150 дней должник по договору уплатит 200 000 руб. Кредит выдан под 15% годовых (проценты обыкновенные). Рассчитать первоначальную сумму кредита и дисконт.

Решение:

P = S/ (1+ni) = 200000/ (1+ 150/360•0.15) = 188  235,3 ,

D = S – P = 200000 – 188235.3 = 11764,71 руб.

Пример 1.4. Известно, что через 150 дней предприятие должно получить по векселю 200 000 руб. Банк приобрел вексель с дисконтом и учел его по учетной ставке 15% годовых (год равен 360 дням). Рассчитать полученную предприятием сумму P и дисконт D.

Решение:

D = S∙n∙d = 200000∙(150/360)∙ 0,15 = 12500 руб.

P = S – D = 200000 – 12500 = 187500,0 руб.

Пример 1.5. По договору предприятие должно уплатить через 15 0 дней 4 млн. руб. с процентами, начисляемыми по ставке простых процентов i=15 % годовых, было учтено банком за 6 0 дней до срока погашения по учетной ставке d =11%. Требуется най ти сумму, полученную при учете. (В этом примере одновременно используется наращение по ставке i и дисконтирование по учетной ставке d)

Решение:

P = S(1+n₁∙i)∙ (1- n₂∙d) = 4∙( 1 + 150/365∙0,15)∙( 1 – 60/ 360∙ 0,11= 4,168721 млн. руб.

Пример 1.6. Три платежа S₁ = 2 млн. руб., S₂ = 3 млн. руб., S₃ = 4 млн руб. со сроками уплаты соответственно через 80 , 100 и 150 дней заменяются одним со сроком уплаты через 120 дней при простой ставке 15%. Найти сумму консолидированного платежа (год принять равным 360 дней).

Правила консолидации платежей:

1. если все сроки выплат меньше срока консолидации, то суммы выплат наращиваются к сроку консолидации;

2. если все сроки выплат больше срока консолидации, то суммы выплат дисконтируются к сроку консолидации;

3. если часть платежей должна осуществляется ранее срока консолидации, а часть – позднее, то платежи со сроком выплат расположенные левее срока консолидации – наращиваются к сроку консолидации, а лежащие правее - дисконтируются.

Обобщенная формула имеет вид:

где n0 – дата консолидации; n_j – сроки более ранних выплат (n_j < n₀); n_к – сроки более поздних выплат (n_к < n₀).

Решение:

За базовую дату примем день выплаты консолидированного платежа S₀ = 120 дней . Т.к. срок объединяемых платежей S₁ и S₂ меньше срока приведения, то их приведение к моменту выплаты консолидированного платежа будет выполняться с помощью операции наращения, а платеж S₃ со сроком большим срока консолидации, будет дисконтироваться:

Задача 1.7.

Фирма, в погашение задолженности банку за предоставленный кредит под 30% годовых, должна произвести 2 платежа в сроки 13.06.2013 (164-й день), 1.10.2013 (274-й день) суммами S₁ = 1,5 млн. руб. и S₂ = 4,5 млн. руб. Фирма договорилась объединить оба платежа в один суммой S₀ = 7 млн. руб. с продлением срока выплаты.

Найти срок выплаты консолидированного платежа. (В скобках указан порядковый номер даты платежа).

Решение:

Задача решается в два шага.

Сначала определяется современная стоимость консолидируемых платежей:

Затем рассчитывается срок выплаты консолидированного платежа по формуле:

Задача 1.8. Начальный капитал 10 млн. руб. Найти наращенную сумму через 8 месяцев по

1. ежегодной ставке 15 %;

2. ежемесячной ставке 2 %;

3. квартальной ставке 6 %.

Решение:

В любом варианте время начисления согласуется с с шагом начисления процентов:

1. S = 10∙( 1 + 8/12∙0,15 ) = 11 млн. руб.;

2. S = 10∙( 1 + 8∙0,02 ) = 11,6 млн. руб.;

3. S = 10∙( 1 + 8/3∙0,06 ) = 11,6 млн. руб.

Задача 1.9. Векселедержатель предъявил для учета вексель на 8 млн.руб. со сроком погашения 30.09.13. Вексель предъявлен 10.09.13. Какую сумму получит векселедержатель, если:

1) вексель погашается по учетной ставке d = 0,4;

2) вексель погашается по процентной ставке i = 0,4.

Решение:

1) P = S( 1 – n∙d) = 8(1 – 20/360∙0,4 ) = 7,822 млн. руб.;

2) P = S / ( 1 + n∙i) = 8 / (1 + 20/360∙0,4 ) = 7,826 млн. руб.;

1) по учетной ставке К = S(1 - nd) = 5(1 -  0,75) = 4,844 млн.руб.

2. по процентной ставке К =S/(1+ni) = 5/(1+15∙0,75/360) = 4,848 млн.руб.

Вексель выгоднее учитывать по процентной ставке, в этом случае векселедержатель получает большую сумму.

Задача 1.10. Предприятие получило кредит на 1 год в размере 50 млн. с условием возврата 70 млн.

Найти доходность операции для кредитора в виде процентной и дисконтной (учетной) ставок. P = 50 млн., S = 70 млн.

В формулах наращения по процентной и учетной ставке со сроком n, то получим, формулы доходности или эффективности по простой ставке процентов и учетной ставке соответственно:

Решение:

Дисконтная ставка всегда дает меньшую доходность , чем процентная, ибо она учитывает изменение стоимости денег во времени

Задача 1.11. Кредитор и заемщик договорились, что из суммы кредита, выданного на 250 дней, сразу удерживается дисконт в размере 20% указанной суммы. Требуется определить цену кредита в виде простой годовой учетной ставки d и годовой простой ставки i. Год полагать равным 365 дней.

В данном контракте дисконт фиксируется от суммы конечной суммы независимо от срока займа. Таким образом, уровень процентной ставки задается в неявном виде.

Пусть S- размер погасительного платежа (сумма ссуды к концу срока), d_n – доля этого платежа, определяющая величину дисконта за весь срок ссуды.

Р = S(1 – d_n) – реально выдаваемая ссуда в момент заключения договора.

Решение:

Задачи по теме 1

Задача 1. Банк дает кредиты под ставку 10% годовых. Рассчитать месячную ставку простых процентов.

Задача 2. Ссуда размером 250 тысяч руб. выдана на 5 лет по 12% простых процентов годовых. Определить наращенную сумму.

Задача 3. Ссуда размером 250 тысяч руб. выдана на 5 лет по 12% простых процентов годовых. Определить , во сколько раз изменится наращенная сумма, если ставку уменьшить на 1,5%.

Задача 4. По какой ставке простых процентов годовых необходимо отдать в рост капитал, чтоб первоначальный капитал в размере 180 тыс. руб. за 182 дня увеличился в 1,1 раза.

Задача 5. Цена актива равняется 1000 рублям. Его годовая доходность составила 15%. Определить, по какой цене был куплен актив.

Задача 6. Через 60 дней после подписания договора должник уплатит 2 000 000 руб. Кредит выдан на условиях 12% годовых (проценты простые).

Какова первоначальная сумма займа. Рассчитать дисконт.

Задача 7. Через 60 дней предприятие должно получить по векселю 2 000 000 руб. Банк приобрел вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 12% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Задача 8. Три платежа S₁ =5 млн. руб., S₂ =1 млн. руб., S₃ =4 млн. руб. со сроками уплаты соответственно через 80, 140 и 120 дней заменяются одним сроком уплаты через 180 дней при простой ставке 20%. Найти сумму консолидированного платежа (год принять равным 360 дней).

Задача 9. Фирма, в погашение задолженности банку за предоставленный кредит под 30% годовых, должна произвести 2 платежа в сроки 2.05 (122-й день),20.08 (232-й день) суммами S₁ = 3 млн. руб. и S₂ = 2 млн. руб. Фирма договорилась объединить оба платежа в один суммой S₀= 5 млн. руб. с продлением срока выплаты. Найти срок выплаты консолидированного платежа. (В скобках указан порядковый номер даты платежа).

Задача 10. Две суммы10 и 12 млн. руб. должны быть выплачены 29.08.13 (241) и 1.01.14 (1). Стороны договорились пересмотреть условия контракта: должник 1.12.13 (335) выплачивает 10 млн. руб., остаток долга гасится 1.04.14 (91). Найти эту сумму при условии, что пересчет осуществляется по ставке простых процентов, равной 12% (год равен 365 дней).

Задача 11. Покупатель приобрел телевизор по цене 2000 руб., в кредит, уплатив сразу 5000 руб. и обязавшись уплатить остальное в течение 12 месяцев, делая ежемесячные равные платежи. Какую сумму он должен выплачивать, если продавец требует за кредит 4% простых в год?

Задача 12. Финансовая компания дает ссуду 500 000 руб. на 3 года под простой процент, равный 6% в год. Какую сумму получит клиент в момент получения ссуды?

Методические указания: при расчетах использовать схему простого дисконта.

Задача 13. Фирма берет в банке ссуду размером 50 000 руб. на 3 месяца под 8% простого дисконта . Какую сумму она должна вернуть через три месяца?

Методические указания: при расчетах использовать схему простого дисконта.

Задача 14. Фирма обещалась заплатить за полученное от города помещение 1 200 т.руб. через 5 лет и еще 500 т.руб. через 8 лет относительно момента заключения договора. В силу сложившихся обстоятельств, фирма решила пересмотреть условия сделки: 700 т.руб. выплатить через 3 года, а остальной долг погасить через 6 лет. Какая сумма должна быть выплачена через 6 лет при условии начисления 8% простых годовых.

Задача 15. Транспортная компания собирается приобрести станок стоимостью 550 000 руб. У компании есть два варианта схемы финансирования: либо выплатить цену станка в течение 5 лет по 110 000 руб. в конце каждого года, либо в момент покупки заплатить 150 000 руб., а затем выплачивать по в течение четырех лет по 100 000 руб. Выяснить, какой вариант выгоднее, при условии, что стоимость капитала составляет 14% простых годовых.

Задача 16. Банк дает кредиты под ставку 15% годовых. Рассчитать месячную ставку простых процентов.

Задача 17. Ссуда размером 150 тысяч руб. выдана на 6 лет по 10% простых процентов годовых. Определить наращенную сумму.

Задача 18. Ссуда размером 200 тысяч руб. выдана на 7 лет по 15% простых процентов годовых. Определить , во сколько раз изменится наращенная сумма, если ставку уменьшить на 1,5%.

Задача 19. По какой ставке простых процентов годовых необходимо отдать в рост капитал, чтоб первоначальный капитал в размере 300 тыс. руб. за 224 дня увеличился в 1,2 раза.

Задача20. Цена актива равняется 15 000 рублям. Его годовая доходность составила 12%. Определить, по какой цене был куплен актив.

Задача 21. Через 60 дней после подписания договора должник уплатит 1500 000 руб. Кредит выдан на условиях 11% годовых (проценты простые).

Какова первоначальная сумма займа. Рассчитать дисконт.

Задача 22. Через 120 дней предприятие должно получить по векселю 1 000 000 руб. Банк приобрел вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 14% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Задача 23. Три платежа S₁ =4 млн. руб., S₂ =2 млн. руб., S₃ =3 млн. руб. со сроками уплаты соответственно через 70, 120 и 140 дней заменяются одним сроком уплаты через 200 дней при простой ставке18%. Найти сумму консолидированного платежа (год принять равным 360 дней).

Задача 24. Фирма, в погашение задолженности банку за предоставленный кредит под 25% годовых, должна произвести 2 платежа в сроки 2.05 (122-й день), 18.08 (230-й день) суммами S₁ = 4 млн. руб. и S₂ = 1 млн. руб. Фирма договорилась объединить оба платежа в один суммой S₀= 5 млн. руб. с продлением срока выплаты. Найти срок выплаты консолидированного платежа. (В скобках указан порядковый номер даты платежа).

Задача 25. Две суммы12 и 10 млн. руб. должны быть выплачены 23.08.13 (235) и 11.01.14 (11). Стороны договорились пересмотреть условия контракта: должник 6.12.13 (340) выплачивает 12 млн. руб., остаток долга гасится 1.04.14 (91). Найти эту сумму при условии, что пересчет осуществляется по ставке простых процентов, равной 12% (год равен 365 дней).

Задача 26. Покупатель приобрел телевизор по цене 3000 руб., в кредит, уплатив сразу 6000 руб. и обязавшись уплатить остальное в течение 12 месяцев, делая ежемесячные равные платежи. Какую сумму он должен выплачивать, если продавец требует за кредит 6% простых в год?

Задача 27. Финансовая компания дает ссуду 800 000 руб. на 4 года под простой процент, равный 8% в год. Какую сумму получит клиент в момент получения ссуды?

Методические указания: при расчетах использовать схему простого дисконта.

Задача 28. Фирма берет в банке ссуду размером 800 000 руб. на 4 месяца под 10% простого дисконта . Какую сумму она должна вернуть через три месяца?

Методические указания: при расчетах использовать схему простого дисконта.

Задача 29. Фирма обещалась заплатить за полученное от города помещение 1 500 т.руб. сегодня и еще 500 т.руб. через 8 лет относительно момента заключения договора. В силу сложившихся обстоятельств, фирма решила пересмотреть условия сделки: 300 т.руб. выплатить через 3 года, а остальной долг погасить через 6 лет. Какая сумма должна быть выплачена через 6 лет при условии начисления 8% простых годовых.

Задача 30. Транспортная компания собирается приобрести станок стоимостью 800 000 руб. У компании есть два варианта схемы финансирования: либо выплатить цену станка в течение 5 лет по 160 000 руб. в конце каждого года, либо в момент покупки заплатить 200 000 руб., а затем выплачивать в течение четырех лет по 150 000 руб. Выяснить, какой вариант выгоднее, при условии, что стоимость капитала составляет 12% простых годовых.