курсач ЭП

U

R i

d 1

;

1

1

1

dt

d 1

R1 i1

U1

;

dt

(4.35)

d 2d

U

R'

i

;

2d

2

2d

dt

d 2q

U

R'

i

,

2q

2

2q

dt

где R1 и R2 – активные сопротивления фазы статора и фазы ротора.

1
ось		i1

U 1

эл

	d
сь	2

эл

q

d

d

ось 1

U1 i1

сь 2

Рис. 4.15. Модель ОЭМ в осях 1 – 1 , 2d – 2q

51

Потокосцепления обмоток определяются результирующим действием токов всех обмоток ОЭМ:

	1	L1 ,1 i1 L1 ,1 i1 L1 ,2d i2d L1 ,2q i2q ;
	1	L1 ,1 i1			L1 ,1 i1 L1 ,2d i2d L1 ,2q i2q ;
					(4.36)
	2d L2d ,1 i1				L2d ,1 i1 L2d ,2d i2d L2d ,2q i2q ;
	2q L2q ,1 i1				L2q ,1 i1 L2q ,2d i2d L2q ,2q i2q ,
где L1 ,1 L1 ,1 L1 – собственные индуктивности обмоток статора.
L2d ,2d	L2q ,2q		L2	– собственные индуктивности обмоток ротора.
L1 ,1	L1 ,1		0 ;	L2d ,2q L2q ,2d 0 – взаимоиндуктивности обмоток

статора и ротора, сдвинутых в пространстве на угол 90 электрических градусов.

Взаимные индуктивности обмоток статора и ротора:

L1 ,2d L2d ,1 L12 сos эл ;

L1 ,2q L2q,1 L12 сos( эл 90 ) L12 sin эл ;

L1 ,2q L2q,1 L12 сos эл ;

L1 ,2d L2d ,1 L12 сos( эл 90 ) L12 sin эл ,

где L12 – наибольшее значение взаимной индуктивности, которое имеет место при совмещении осей обмоток.

Электромагнитный момент ОЭМ определяется как частная производ-

ная от запаса электромагнитной энергии машины по углу поворота между осями статора и ротора.

			М	Wэм	,	(4.37)
2q			ЭЛ – механический угол поворота ротора.
где WЭМ	1	ii i ;
i 1 2			pП

Тогда электромагнитный момент ОЭМ, выраженный через токи обмоток:

52

		2q	2q
М	1	ii		Li , j	ij .	(4.38)
	2 i 1		j 1

После подстановки выражений для собственных и взаимных индуктив-

ностей обмоток уравнение электромагнитного момента ОЭМ примет вид

М рП L12 (i1 i2d i1 i2q ) сos эл (i1 i2q i1 i2d ) sin эл , (4.39)

4.3.2. Координатные преобразования уравнений обобщенной элек-

трической машины

Система уравнений, описывающих процессы преобразования энергии ОЭМ, включающая в себя уравнения электрического равновесия (4.35) и

электромагнитного момента (4.39) в осях α-β, d-q, представляет собой систе-

му нелинейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффици-

ентами, что представляет большие трудности для ее решения.

Для упрощения математического описания, которое заключается в за-

мене периодических коэффициентов на постоянные, то есть устранения зави-

симости взаимоиндуктивностей обмоток ОЭМ от угла поворота ротора, осу-

ществляется переходом от действительных переменных в осях α,β и d,q, свя-

занных со статором и ротором, к новым переменным в системе координат

U,V, вращающихся в пространстве со скоростью ωк (координатные преобра-

зования). При координатных преобразованиях должно соблюдаться условие постоянства (инвариантности) мощности в исходной и преобразованной системах.

Представим каждую обмоточную переменную – напряжение, ток, по-

токосцепление в виде вектора, направление которого связано с соответст-

вующей данной обмотке осью координат, а модуль изменяется во времени в соответствии с изменениями изображаемой переменной.

На рис. 4.16 показаны обмоточные переменные статорных цепей ОЭМ,

связанные с осями α,β, в общем виде обозначены буквой x1 и оси U,V, повер-

нутые относительно статора на угол к к t .

53

		U
		k
	k
	X1U
	X 1
	X 1
	X 1
	X1V

V

Рис. 4.16. Переменные статорной цепи ОЭМ в системах координат α, β и U, V

Аналогично для роторных цепей в осях d,q , но в функции угла к эл .

Для перехода от осей α,β и d,q к осям U,V воспользуемся формулами преобразования декартовых координат при повороте осей [3].

Формулы прямого преобразования при переходе от осей α,β и d,q к

осям U,V

х1U x1 сos кt x1 sin кt

х1V

x1 sin кt x1 сos кt

(4.40)

х2U

x2d сos( кt эл ) x2q sin( кt эл )

.

х

2V

x

2d

sin(

t

эл

) x

2q

сos(

t

эл

)

к

к

Формулы обратного преобразования при переходе от осей U,V к осям

α,β и d,q

х1 х1 х2d х2q

x1U

x1U

x2U

x2U

cos кt x1V sin кt
sin кt x1V cos кt
								.	(4.41)
cos( кt эл ) x2V sin( кt эл )
sin(	t	эл	) x	2V	cos(	t	эл	)
к					к

54

Формулы прямого и обратного преобразований (4.40, 4.41) координат ОЭМ используются при построении управляющих вычислительных уст-

ройств для регулируемых электроприводов переменного тока.

В результате координатных преобразований приходим к модели ОЭМ в осях U,V на рис. 4.17.

U	e1U	к
		~
к	i	U1U
	1U

e2U

	~		V
		U2U
		i2U
			~ e1V
i2V	~		i1V
		e2V
U2V		U	1V

Рис. 4.17. Модель ОЭМ в осях U,V

Как видно из рис. 4.17 переход к осям U,V соответствует переходу к взаимонеподвижным обмоткам, вращающимся со скоростью K. Поэтому в осях U,V потокосцепление каждой обмотки определяется собственной индук-

тивностью L1 или L2 и взаимной индуктивностью L12 c другой обмоткой, рас-

положенной на той же оси. Взаимодействие с токами других обмоток отсут-

ствует, так как их оси сдвинуты на 90 электрических градусов.

Выражение для потокосцеплений в осях U,V примут вид

55

1U

1V

2U

2V

L	i	L	i
1	1U	12	2U
L1 i1V L12 i2V					(4.42)
				.
L2 i2U L12 i1U

L2 i2V L12 i1V

При подстановке в уравнения электрического равновесия (4.35) и элек-

тромагнитного момента (4.39) обмоточных переменных ОЭМ U, I и ψ, выра-

женных с помощью формул прямого преобразования (4.40), получим уравне-

ния электрического равновесия и электромагнитного момента в осях U,V [3].

U

i

R

d 1U

1U

к

1V

1U

1

dt

d 1V

U

i

R

1V

2V

1

dt

к

1U

d 2U

U2U i2U R2

( к эл )

dt

2V

d

U2V

i2V

R2

2V

( к эл )

(4.43)

dt

2U

M pП L12 (i1V i2U i1U i2V )

.

M pП ( 1U i1V 1V

i1U )

L12

M p

(

i

i )

П

L2

1V

2U

1U

2V

M p

L12

(

i

i )

П

L2

2U

1V

2V 1U

В уравнениях электрического равновесия (4.43) первый член в правой части является падением напряжения на активных сопротивлениях, второй член обусловлен изменением тока в обмотках и называется трансформатор-

ной ЭДС, включающей в себя ЭДС само- и взаимоиндукции. Третья состав-

ляющая ЭДС вращения, связана с вращением системы координат U,V отно-

сительно исходных систем координат α,β и d,q.

Условие инвариантности мощности при координатных преобразовани-

ях выполняется [3].

Координатные преобразования упрощают математическое описание процессов электромеханического преобразования энергии в ОЭМ за счет

56

устранения зависимости взаимоиндуктивностей и электромагнитного момен-

та от механической координаты угла поворота ротора относительно статора φ.

4.3.3. Варианты выбора скорости вращения координатных осей U,V

На практике широко используются следующие варианты выбора скорости K.

Выбор K = 0 обеспечивает преобразование реальных переменных ро-

тора в осях d,q к неподвижным осям α,β, связанным со статором машины.

При этом напряжения и токи обмоток ОЭМ остаются переменными, но име-

ют одинаковую частоту, равную частоте тока статора.

Выбор K = ЭЛ соответствует преобразованию реальных переменных ОЭМ к осям d,q связанными с ротором машины. Напряжения и токи здесь также переменные, но имеют как в роторной, так и статорной цепях частоту тока ротора.

Выбор K = 0ЭЛ обеспечивает преобразование в осях x,y. Пусть к ре-

альным обмоткам статора ОЭМ приложена симметричная двухфазная систе-

ма напряжений:

U1 U1max сos оэлt ; U1 U1max sin оэлt ,

где U1max – амплитудное значение напряжения.

С помощью формул прямого преобразования (4.40), положив K = 0ЭЛ

преобразует напряжения U1 ,U1 в напряжения U1x ;U1y :

U1x U1max сos2 оэлt U1max sin2 оэлt U1max

U1y U1max сos оэлt sin оэлt U1max sin оэлt cos оэлt 0 .

Таким образом, в осях x,y реальные переменные напряжения преобра-

зуются в постоянное напряжение U1max , приложенное к обмотке по оси х. Во многих случаях, при исследовании динамики и построения систем управле-

ния, возможность замены синусоидальных переменных постоянными дости-

гается преобразованием к осям x,y.

57

Уравнения электромеханического преобразования энергии для корот-

козамкнутого АД примут вид

U

i

R

d 1x

1x

оэл

1у

1x

1

dt

U

i

R

d 1у

1у

2 у

оэл

1х

1

dt

0 i

/

R /

d 2 х

(

)

2 х

оэл

эл

2

dt

0 i

/

R /

d 2 у

(

)

2 у

оэл

эл

2

dt

M pП ( 1х i1у 1у i1х )

M pП ( i1у i1х )

M p

L12

(

i

i

)

П

2 х

2 у

L2

1у

1х

2 у

2 х

. (4.44)

4.3.4. Фазные преобразования переменных

Реальные двигатели переменного тока чаще всего имеют трехфазную обмотку статора, поэтому возникает необходимость преобразования пере-

менных трехфазной машины к переменным двухфазной модели и наоборот.

Также как и при координатных преобразованиях должны выполняться усло-

вия инвариантности мощности.

Согласно [3] при переходе от параметров трехфазной к параметрам двухфазной машины

X				3				X
	1		2						1a
													,	(4.45)
			1
X								( X			X		)
	1									1b		1c
			2

где Х1а , Х1b , Х1с – реальные переменные статора трехфазной машины;

Х1α , Х1β – реальные переменные статора двухфазной машины.

При переходе от параметров двухфазной машины к трехфазной

58

Х1а						2		X1
						3
						2				1					3
X1b								(			X1							X1 )			(4.46)
						3				2					2					.
						2		(		1	X				3			X
X																				)
	1c											1							1
						3				2					2

Количественные соотношения между амплитудами переменных двух-

фазной и трехфазной машин:

X		(2ф)			3			X		(3ф)
	1max				2				1max
										.	(4.47)
		(3ф)			2			X
X										(2ф)
	1max				3				1max

4.3.5. Разомкнутые системы скалярного частотно-токового управления

В разомкнутых системах частотно-токового уравнения (ЧТУ) АД управляющими величинами (рис. 4.18) являются частота f1 и величина тока I1

статора.

Согласно [3] выражения для расчета статической механической харак-

теристики M=f(S) токов I2/ и Iμ и жесткости механической характеристики на линейном участке (S<Sк) для двухфазной модели АД имеют вид

M

2 M к1

;

S

S

(4.48)

к1

S

Sк1

I

2

X

2

н

M к1

1max

,

(4.49)

( Х

Х

/

2

он

н

2н )

где Sк1			R/ 2		.
	X	н	Х /	2н

59

I /

I

X н

;

1

2

/

2

2

R2

X н Х /

2н

S

(4.50)

a

I I1

R / 2

/ S

a

2 X /

2н 2

,

R / 2

/ S

a

2

X

н

Х / 2н 2

где Sa

о

– абсолютное скольжение;

он

I

I1

max

– действующее значение тока статора.

1

2

U З f1

U ЗТ I1

~

ЗИ
U	U yf
		1
			ПЧ
t			(ИН)
	U yI	1
РТ

I1

АД M

Рис. 4.18. Функциональная схема разомкнутой системы ЧТУ При рассмотрении трехфазной машины

		3					I 2	X 2 н
М к 1							1						,	(4.51)
		2					( Х				Х /
			2			он			н			2 н )

где I1 ( 3ф ) I1 max ( 2ф ) . 3

60