- •7. Резонансы в электрических цепях
- •7.1. Общие и методические замечания
- •7.2. Частотные характеристики реактивных двухполюсников
- •7.3. Резонанс напряжений в цепи r, l, с
- •7.4. Энергетические соотношения при резонансе
- •7.5. Добротность. Влияние добротности на резонансные кривые последовательного контура r ,l, с
- •7.6. Определение добротности по резонансной кривой
- •7.7. Резонанс в цепи с двумя параллельными ветвями
- •7.8. Резонансные кривые параллельного контура
- •Решение
- •Решение
- •Решение
7.7. Резонанс в цепи с двумя параллельными ветвями
На рис. 7.12 а (показана схема параллельного соединения двух ветвей R1, L и R2, С. В такой схеме возможен резонанс токов. На рис. 7.12 б показана векторная диаграмма данной схемы в режиме резонанса токов. На диаграмме отмечено, что вектор общего тока совпадает по направлению с вектором приложенного напряжения, т. е. эти векторы совпадают по фазе, что и свойственно режиму резонанса. Входная комплексная проводимость
.
При резонансе токов b = 0, т. е. .
Как видно из последней формулы, резонанс может быть достигнут изменением одной из величин ,L, С, R1, R2. Однако этот режим не всегда может быть получен, а именно, когда значение изменяемой величины (при заданных остальные четырех величинах) получается при решении последнего уравнения мнимым или комплексным. Для L и С могут быть получены и по два вещественных значения. В таком случае могут быть получены два резонансных режима.
Решая последнее уравнение относительно а, найдем следующее значение для резонансной частоты
Для получения вещественного значения необходимо, чтобы сопротивленияR1 и R2 были оба или меньше или оба больше, чем .
Если R1 = R2 = 0, то (идеальный контур).
Если , то резонанс будет иметь место при любой частоте, так как в этом случае получается неопределённость.
7.8. Резонансные кривые параллельного контура
Для идеального параллельного контура (когда R1 = R2 = 0) резонансная кривая показана на рис. 7.13. При этом и резонансная частота.
Входное сопротивление идеального параллельного контура при резонансе равно бесконечности, , поэтому при резонансной частоте общий ток равен нулю. Однако токи в ветвяхисуществуют, они одинаковые по модулю и противоположны по фазе (см. рис. 7.12б).
На рис. 7.14 приведена резонансная кривая реального контура. Эта кривая может быть рассчитала по формуле
А.
Пример 7.1. Для последовательного контура рис. 7.6 а найти: 1) резонансную частоту,
2) -значение тока при резонансе, 3) частоту , при которой будет ,
4) частоту , при которой будет , 5) значение , 6) значение ,
7) добротность контура - Q, 8) полосу пропускания .
Дано: R = 100 Ом, L = 0,2 Гн, C = 1 мкФ, U = 100 мВ.
Решение
Используем результаты § 7.3.
1. .
2. .
3. .
4. .
Находим максимальные значения напряжений на конденсаторе и катушке при частотах
и соответственно.
5.
В.
6.
В.
7. По определению добротность контура: .
8. Полосу пропускания найдем, если решим систему
После подстановки численных данных
Подставим это в предыдущее уравнение.
Откуда .
Получим .
Полоса пропускания
Пример 7.2. Для параллельного контура рис. 7.12 а дано:
R1 = 100 Ом; R2 = 200 Ом; L = 0,2 мГн; С = 1 мкФ; Е = 100 В.
Найти: 1) резонансную частоту; 2) реактивные сопротивления xL и xС;
3) токи в ветвях и общий ток при резонансной частоте.
Решение
В начале рассчитаем частоту резонанса по результатам
.
Реактивные сопротивления Ом;Ом
Полные сопротивления ветвей Ом;
Ом.
Токи ветвей А;
А.
Общий ток .
Реактивная составляющая общего тока при резонансе равна нулю.
Пример 7.3. Последовательно-параллельная схема рис. 7.15 находится в режиме резонанса напряжения. Известно, что входное сопротивление цепи на постоянном токе равно 200 Ом. Входное сопротивление цепи при резонансе равно 100 Ом.
1. Найти реактивные сопротивления хL и хC для резонансного режима.
2. Рассчитать комплексные значения всех токов при Е = 200 В.