Логическое совпадение(эквивалентность)

Соединение двух простых высказываний АиВв одно сложное с использованием оборота“…тогда и только тогда, когда …”называетсяэквивалентностью.

В литературе операция импликации обозначается как ↔ или ~.

Пример: высказывание А=”Х – четное число”,

высказывание В=”Х делится без остатка на два”,

эквивалентность A↔ B=“ Х – четное число тогда и только тогда, когда Х делится без остатка на два ”.

ЭквивалентностьA↔ Bбудет истинна только тогда, когда истинны или ложны оба составляющие ее высказывания одновременно:

A	B	A↔ B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Эквивалентность можно представить через операции НЕ, И, ИЛИ:

A↔ B ≡ &+A&В

Логические функции И, ИЛИ, НЕобразуют полную систему функций илибазис– систему логических функций, позволяющую строить логические функции любой сложности.

Логические высказывания, объединенные логическими функциями, образуют переключательные функции– они, как и входящие в них аргументы, могут принимать только два значения –истина (1)илиложь (0).

Среди переключательных функций особое место занимают тавтологии– переключательные функции, значение которыхистиннодля любых значений входящих в них аргументов. Тавтологии выражают основныезаконы алгебры логики:

• закон исключенного третьего

• закон противоречия

• закон двойного отрицания

• закон де Моргана

• закон контрапозиции

• закон расширенной контрапозиции

• закон перестановки посылок

• закон силлогизма

Закон исключенного третьего

Этот закон выражается тавтологией:

А + ≡ 1

логическая сумма высказывания и его отрицания всегда истинна.

Закон исключенного третьего можно проверить таблицей истинности:

А		А+
0	1	1
1	0	1

Известна и латинская формулировка этого закона: “Tertium non datur”, что в переводе означает“Третьего не дано”.

Пример: высказывание А=”Сегодня пятница”,

высказывание =”Сегодня НЕ пятница”,

дизъюнкция этих высказываний А+=“ Сегодня пятница ИЛИ сегодня НЕ пятница ”.

“НЕ пятница” означает любой другой день недели, кроме пятницы. Значит, сложное высказывание А+говорит о том, что сегодня пятницаИЛИлюбой другой день недели – оновсегдаистинно. День недели – это или пятница, илиНЕпятница – третьего варианта не будет. Поэтому этот закон называется законом исключенного третьего.

Закон гласит о том, что любое событие либо состоится, либо его не будет, но какой-то из этих двух вариантов обязательно произойдет.

Закон противоречия

Этот закон выражается тавтологией:

А & ≡ 0

логическое произведение высказывания и его отрицания всегда ложно.

Закон противоречия третьего можно проверить таблицей истинности:

А		А&
0	1	0
1	0	0

Пример: высказывание А=”Сегодня пятница”,

высказывание =”Сегодня НЕ пятница”,

конъюнкция этих высказываний А&=“ Сегодня пятница И сегодня НЕ пятница ”.

Сложное высказывание А&всегдаложно– не может быть в один и тот же день и пятница, иНЕпятница, то есть любой другой день недели. Это абсурд, нонсенс, противоречие.