Системы счисления

Система счисления– совокупность приемов и правил однозначного обозначения чисел с помощью особых символов:6, 110₂, XI.

Символы, при помощи которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность –алфавитомсистемы счисления.

Количество цифр, составляющих алфавит, называется его размерностью.

Исторически первой системой счисления является односимвольная– использовалась только одна цифра:

•

••

•••

Известны два типа систем счисления:

• непозиционная

• позиционная

В непозиционнойсистеме счисления значение каждой цифры в изображении числане зависитот ее положения (позиции) в нем. Примером такой системы счисления являетсяримскаясистема счисления, использующая следующие цифры:

I 1

V 5

X 10

L 50

C 100

D 500

M 1000

Римская система счисления является аддитивной – число в ней получается как результат сложения и вычитания базовых цифр:

VI 6

IV 4

В этих числах используются две цифры – IиV. Независимо от того, где они стоят в числах, они обозначают цифры1и5, только в первом случае они складываются, а во втором – вычитаются.

Недостатки непозиционных систем счисления:

• большое количество цифр для изображения числа: MCMXCIII–1993,

• сложность выполнения арифметических операций.

В позиционных системах счисления значение каждой цифры в изображении числа зависит от ее позиции в нем:

354 = 3×100 + 5×10 + 4×1

В этой записи 3,5и4являются цифрами десятичной системы счисления, а100,10и1– их веса в числе.

Количество цифр, используемых в конкретной системе счисления для изображения числа, называется основанием системы счисления.

В десятичной системе счисления, известной нам с детства, используется десять цифр, поэтому ее основание S=10:

354 = 3×10² + 5×10¹ + 4×10⁰

Вес цифры в числе можно представить как основание системы счисления в степени, равной номеру разряда числа:

10⁰вес разрядаединиц– номер разряда единиц всегда равеннулю!

10¹вес разрядадесятков,

10²вес разрядасотен, и так далее.

Нумерация разрядов в целых числах идет справа налево, начиная с нуля. Самый правый разряд называетсямладшимразрядом числа, а самый левый –старшим.

Представим веса разрядов в виде последовательности чисел, начиная с разряда единиц:

1, 10, 100, 1000, 10000,…

Такая последовательность чисел называется базисомсистемы счисления. В традиционных системах счисления базис образуют члены геометрической прогрессии. В нетрадиционных системах счисления базис может быть другим:

фибоначчиева:

алфавит – цифры 0, 1

базис – последовательность Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…

факториальная:

базис – последовательность факториалов натуральных чисел: 1!, 2!,3!,…

Двоичная система счисления

В ней для записи чисел используются только две цифры: 0и1.

Таким образом,

алфавитдвоичной системы счисления –0, 1

основание двоичной системы счисления S = 2

базис двоичной системы счисления образуют веса разрядов двоичных чисел – 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴,… или

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,…

Представим любое двоичное число через его цифры и веса разрядов:

1011₂ = 1×2⁰ + 1×2¹ + 0×2² + 1×2³ = 1 + 2 + 0 + 8 = 11₁₀

Этим же способом любое двоичное число переводится в десятичную систему счисления.

Обратный перевод – из десятичной в двоичную систему счисления – осуществляется последовательным деление десятичного числа на основание двоичной системы счисления 2и считыванием остатков от деления справа налево:

11/2 = 5, остаток1

5/2 =2, остаток1

2/2 =1, остаток0

1/2 = 0, остаток1, получаем1011₂.