расчетка 3

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 10

	π	sin x
1.	Вычислить повторный интеграл ∫dx ∫		(2 + y2 )dy .
	0	0
			16−x2
2.	Изменить порядок интегрирования ∫4 dx		∫2		f (x, y)dy .
		0	2−	1	x
			2
3.	Вычислить ∫∫xydydx , где область D ограничена линиями y = cos x ,
	D

2 y = x , x = 0 , x = π4 .

4.Двойным интегралом вычислить площадь, ограниченную линией

ρ= 3sin 2ϕ .

5. Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = 9 − x2 , x2 + y2 = 9 , z = 0 .

6.Найти центр тяжести площади, ограниченной параболами y2 = x ,

x2 = y

7.	Вычислить криволинейный интеграл			∫(xy − x2 )dx + xdy вдоль линии
				L
	L : y = 2x2 от A(0,0) до B(1;2) .
8.	Убедиться, что заданное выражение
	(	y	+ln y + 2x)dx +(ln x +		x	−8)dy
					y
		x

есть полный дифференциал некоторой функции u = u(x, y) , и

восстановить её.

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 11

		2			y+3
	Вычислить повторный интеграл ∫3
1.				dy ∫(x − y )dx .
	0				2 y2
	Изменить порядок интегрирования ∫4				25−y2
2.					dy ∫ f (x, y)dx .
				0	0
3.	Перейдя к полярным координатам, вычислить ∫∫xy2 dxdy , если область
					D

D ограничена окружностью x2 + y2 = 4 y .

4.Двойным интегралом вычислить площадь, ограниченную линиями xy = 4 и x + y = 5.

5.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = y ,					z	= 0 , x = 0 ,
	y = 4 − x , y =	1	x −	1	.
				2
	2
6.	Найти центр тяжести площади, ограниченной линиями y2					= 2 px ,
	x = 2 p .
7.	Вычислить ∫xdy + ydx , где С- окружность радиуса r =1						с центром
	C

вначале координат.

8.Убедиться, что заданное выражение

	(	1		−	y	)dx −(	x	−	1		−2 y)dy
		y −1			(x −1)2		( y −1)2		x −1

есть полный дифференциал некоторой функции u = u(x, y) , и

восстановить её.

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 12

1.	Вычислить повторный интеграл ∫3	dx∫6	dy .
	1	3	x + y
		2	4−x2
2.	Изменить порядок интегрирования ∫dx		∫ f (x, y)dy .
		0	4−2 x2
3.	Вычислить ∫∫y ln xdxdy , где область D ограничена линиями y = x ,
	D

y = 0 , x =1 , x = 2 .

4.Двойным интегралом вычислить площадь, ограниченную линиями y = sin 4x , y = cos 4x , x ≥ 0 .

5.	Найти объем тела, ограниченного линиями z								= y ,		y	= 4 − x , z = 0 ,
	y =	1	x −	1	.
				2
	2
6.	Найти центр тяжести четверти эллипса					x2	+	y2		=1,	x	≥ 0 , y ≥ 0 .
						25
							4
				(3,6)
7.	Вычислить интеграл ∫(3x2 y +1)dx + (x3						− 4)dy .
				(1, 2 )

8. Убедиться, что заданное выражение

( x 1−1 + cosy −1x)dx +1( y−−sin1)x2 dy

есть полный дифференциал некоторой функции u = u(x, y) , и

восстановить её.

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 13

1. Вычислить повторный интеграл	2∫πdx∫a		y2 sin 2 xdy .
	0	0

2. Изменить порядок интегрирования ∫4 dx7−∫x f (x, y)dy .

0	1	x+1
	2

3. Вычислить ∫∫sin 2ϕdρdϕ , если область D ограничена кривой

D

ρ= 2 cos2 ϕ , −π2 ≤ϕ ≤ π2 .

4.Двойным интегралом вычислить площадь, ограниченную кривыми

x = 4 − y2 , x = 3y .

5.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями z =8 −2 y2 ,
	x +3y = 6 ,	z = 0 , y = 0 , x = 0 .
6.	Найти момент инерции относительно оси OX фигуры, ограниченной
	линиями x	+ y −5 = 0 , xy = 4 .
7.	Вычислить ∫sin ydx + sin xdy вдоль прямой AB от A(0;π) до B(π;0) .

8. Решить с помощью криволинейного интеграла дифференциальное

	уравнение (	y2	− 2xy2 +1)dx + (2 y ln x − 2x2 y)dy =0 .
		x

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 14

1.	Вычислить повторный интеграл				∫1	dx ∫x (xy2 + y)dy .
					0	x2
						2	x2 +3
2.	Изменить порядок интегрирования ∫dx						∫ f (x, y)dy .
						0	x
3.	Вычислить ∫∫(x − y)dxdy , где область D ограничена линиями y = x3 ,
		D
	y = x , x = 3.
4.	Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной
	линиями xy = 6 , 2 y = x , y = 0 ,				x = −6 .
5.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = 0 , z = 2 − x − y ,
	y = x2 , y = 0 .
6.	Найти момент инерции относительно оси OY фигуры, ограниченной
	линиями x	+ y −5 = 0 , xy = 4 .
7.	Вычислить	∫	y	dx + xdy вдоль кривой y = ln x от A(1;0) до B(e;1) .
			x

8. Убедиться, что заданное выражение

−x

2

1

e

−

dx + sin 3y −

dy

3

2

x

x

y

2

y

есть полный дифференциал некоторой функции u = u(x, y) , и

восстановить её.

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 15

2

1

1.

Вычислить повторный интеграл ∫1

dxx∫

(

xy2

−2 y)dy .

0

x3

4

8−

1

y2

4

2

2.

Изменить порядок интегрирования ∫dy

∫ f (x, y)dx .

0

2−

1

y

2

3.

Вычислить ∫∫

dxdy

, где область D ограничена линиями

y = −1,

x + 2 y

D

x + y = 2 , x =1, x = 2 .

4.

Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной

линией r = 25cos 2ϕ .

5.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями x =1− z2 , y = 3x −3 ,

x = 0 , y = 0 .

6.

Найти статический момент относительно оси OX фигуры,

ограниченной линиями x

+ y = 5 ,

y =

4

.

x

7.

Вычислить ∫xdy − ydx вдоль циклоиды

x = a(t −sin t)

от

y = a(1 −cos t)

A(2πa;0) до B(0;0) .

8.

Убедиться, что заданное выражение

1

1

+ 2x +1 dx +

−3 dy

x + y

x + y

есть полный дифференциал некоторой функции u = u(x, y) , и восстановить её.

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 16

1.	Вычислить повторный интеграл			2∫πdx∫a		y cos2 xdy .
				0	0
						3 +	1		x 2
					4	2
2.	Изменить порядок интегрирования ∫dx					∫ f (x, y)dy .
					0	2 −		1		x
						2
3.	Вычислить ∫∫	dxdy	, где область D ограничена линиями y − x =1,
	D x +3

y= 3 − x2 .

4.Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной линией r =5(1 + cosϕ) .

5.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями								z2 = 4 − x ,
	x2 + y2 = 4x .
6.	Найти момент инерции площади эллипса 4x2							+ y2	= 4 в первой четверти
	относительно оси OX .
7.	Вычислить ∫(x2 + y)dx +( y2		+ x)dy от A(1;2)						до B(3;5) вдоль
	L
	ломаной, состоящей из отрезков линий					x =1, y = 5.
8.	Убедиться, что заданное выражение
		cos x cos y			sin y
	3sin x +			dx +				−cos y dy
		sin 2 x
					sin x
	есть полный дифференциал некоторой функции								u = u(x, y) , и
	восстановить её.

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________
Вариант 17
3	9−x2
1. Вычислить повторный интеграл ∫dx	∫(2 y +1)dy .

00

2.Изменить порядок интегрирования ∫2 dx2+∫x2f (x, y)dy .

	0 x2
3.	Вычислить ∫∫(x + y +1)dxdy , где область D ограничена линиями
	D
	x = 3y , x = 4 − y2 , x = 0 (x ≥ 0) .
4.	Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной
	линиями xy = 9 , y = x , y = 9 , x = 0 .
5.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями z2 = 4 − x2 − y2 , z = 0 .

6.Найти центр тяжести площади, ограниченной линиями y2 = 6x , x = 6 .

7.Вычислить ∫xdy − ydx вдоль треугольника ABC , обходя его против

часовой стрелки : A(−1;0) B(1;0) С(0;1) .

8.Убедиться, что заданное выражение

1− y dx +1 −2x dy

x2 y xy2

есть полный дифференциал некоторой функции u = u(x, y) , и

восстановить её.

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 18

3+

1

y2

4

2

1.

Вычислить повторный интеграл ∫dy

∫( y2 + x)dx .

0

4−y

2

4 25−x2

2.

Изменить порядок интегрирования ∫dx

∫ f (x, y)dy .

0

3

x

2

3.

Перейдя к полярным координатам, вычислить ∫∫xy2 dxdy , если область

D

D ограничена окружностью x2 + y2 = 4 .

4.

Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной

линиями y2

= 4 −2x , y = 2 + x .

5.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями z =

1

y2 , z = 0 ,

2

2x − y = 0 , x + y = 9 .

6.

Найти полярный момент инерции фигуры, ограниченной линиями

x

+

y

=1, x = 0 , y = 0 .

4

3

7.

Вычислить ∫

ydx2

− xdy2 , где L- окружность

x = Rcost,

(обход против

L

x

+ y

y = Rsin t,

часовой стрелки).

8. Убедиться, что заданное выражение

( y2 exy2 +3x)dx +(2xyexy2 −1)dy

есть полный дифференциал некоторой функции u = u(x, y) , и

восстановить её.

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 19

2	8−x2
1. Вычислить повторный интеграл ∫dx	∫xydy .
0	1 x2
	2

		3+	1		y2
	4
		2
2.	Изменить порядок интегрирования ∫dy	∫ f (x, y)dx .
	0	2−		1		y
		2
3.	Вычислить ∫∫x( y −1)dxdy , где областьD ограничена линиями x = y2 +1,
	D
	y =1, x = 0 , y = 0 .
4.	Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной
	линией x2 + y2 = 3y .
5.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями						z = x2 , z = 0 ,
	x −2 y + 2 = 0 , x + y = 7 .
6.	Найти статический момент инерции относительно оси OY фигуры,
	ограниченной линиями x + y −5 = 0 , xy = 4 .
7.	Вычислить ∫xex3 dy + ydx вдоль параболы y = x2						от A(0;0) до B(1;1) .

8. Убедиться, что заданное выражение

ydx					x
				+ y +					dy
1 − x	2	y	2		1 − x	2	y	2

есть полный дифференциал некоторой функции u = u(x, y) , и

восстановить её.