расчетка 3

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 20

5	25−x2
1. Вычислить повторный интеграл ∫dx	∫x( y + 2)dy .

00

2.Изменить порядок интегрирования ∫1 dx4−∫x2f (x, y)dy .

		0 2 x+1
3.	Вычислить ∫∫( y2 +2 y −3)dxdy , где областьD ограничена линиями
		D
	y2 = x ,	y2 = x −2 , y = 2 и осью OX .
4.	Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной
	линиями	x + y = 2 , x2 = 4(1 − y) .
5.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями x =1− z2 , y = x ,

y= −x .

6.Найти момент инерции относительно оси OX фигуры, ограниченной линиями y = −x2 +4 , 2x + y −4 = 0 .

7. Вычислить ∫2xdy + ydx вдоль параболы x = y2 от A(1;1) до B(4;2) .

L

8. Убедиться, что заданное выражение

x2 yy2 +1 −5 dx + 2 y + x2 yx2 +1 dy

есть полный дифференциал некоторой функции u = u(x, y) , и

восстановить её.

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 21

	0	4−y2
1.	Вычислить повторный интеграл ∫dy	∫(4x − y)dx .
	−2	−2−y
	2	4−y2
2.	Изменить порядок интегрирования ∫dy ∫ f (x, y)dx .
	0	4−2 y2
3.	Вычислить ∫∫xy3 dxdy , где область D ограничена линиями y = 4 ,
	D

y = 25 − x2 и осями координат.

4.Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной линией r = asin 3ϕ.

5.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями				y2 + z2 = 4ax ,
	y2 = ax , x = 3a (вне цилиндра).
6.	Найти момент инерции относительно оси OY фигуры, ограниченной
	линиями y = x2 , y = 4 .
	( 2, 4 )
7.	Вычислить интеграл ∫(2xy3 − 4)dx + (3x2 y2 + 2 y)dy .
	(1;2)
8.	Убедиться, что заданное выражение
		3x	2
	(6xln( y −1) + 4 y3 )dx +			+12xy2 dy
	y −1
	есть полный дифференциал некоторой функции				u = u(x, y) , и
	восстановить её.

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 22

1.	Вычислить повторный интеграл ∫3	dx ∫x (x − y)dy .
	1		x2
	Изменить порядок интегрирования ∫3		25−y2
2.			dy	∫ f (x, y)dx .
		0		9−y2
3.	Перейдя к полярным координатам, вычислить ∫∫ x2 + y2 dxdy , где
				D
	областьD ограничена окружностями		x2	+ y2 = 2x и x2 + y2 = 6x .

4.Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2x −5, y = 6x − x2 .

5. Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = x2 + y2 , y = x2 ,

y =1, z = 0 .

6. Найти массу фигуры, ограниченной линиями y = −x2 +4 ,

2x + y −4 = 0 , если ее плотность ρ = xy .

7. Вычислить ∫(x2 y + 2)dx + ydy , где L - отрезок AB от A(1;2) до

L

B(2;6) .

8. Убедиться, что заданное выражение

(sin 2 y − y sin 2x)dx +(x sin 2 y +cos2 x +3)dy

есть полный дифференциал некоторой функции u = u(x, y) , и

восстановить её.

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 23

			2	y2 +2
1.	Вычислить повторный интеграл		∫dy	∫(x + y)dx .
			0	y2
			4	25−x2
2.	Изменить порядок интегрирования ∫dx ∫ f (x, y)dy .
			0	0
3.	Вычислить ∫∫xy2 dxdy , где областьD ограничена линиями				x =	p		и
						2
		D
	y2 = 2 px ( p > 0 ).
4.	Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной
	линиями	y = 4 − x2 , y = 4 −2x2 ,	y = 0 .

5.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями z2					= (x −a)2 ,
	x2 + y2 = a2 .
6.	Найти массу фигуры, ограниченной линиями y = x2 ,					y = 4 , если
	плотность ρ = x + y .
7.	Вычислить ∫	y2 +1	dx −	x	dy , где L - отрезок AB от A(1;2) до
				2
	L	y		y

8. Убедиться, что заданное выражение

ydxx +( y3 +ln x +6)dy

есть полный дифференциал некоторой функции u = u(x, y) , и

восстановить её.

ее

B(2;4) .

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 24

π
1. Вычислить повторный интеграл ∫4	dx3∫x cos(2x + y)dy .

00

2.Изменить порядок интегрирования ∫2 dy2 ∫y f (x, y)dx .

		0 1 y2
	4
3. Вычислить ∫∫	dxdy	, где областьD ограничена линиями	y =	1	,
	2			2
D	1+ x

x= 2 y , x = 0 .

4.Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x3 , y = 0 , x + 2 y = 3.

5.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = x2 + y2 ,				x =1 ,
	x + y = 2 , x = 0 , y = 0 , z = 0 .
6.	Вычислить момент инерции площади, ограниченной линиями				x = 0 ,
	x = 2 , y = x2 , y = 2x2 относительно оси OX .
7.	Вычислить ∫xdy − ydx , где L - верхняя половина эллипса x = a cos t ,
	L
	y = bsin t и прямая y = 0 .
8.	Убедиться, что заданное выражение
	2x + y3	dx +	y2 −3x2	dy
	y3
			y4

есть полный дифференциал некоторой функции u = u(x, y) , и

восстановить её.

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 25

	2	x
1.	Вычислить повторный интеграл ∫dx ∫y ln xdy .
	1	1
		x
	4		2−y
2.	Изменить порядок интегрирования ∫dy ∫ f (x, y)dx .
	0		1	y+1
		2
3.	Вычислить ∫∫cos 3xdxdy , где областьD ограничена линией y = sin 2x
	D

и осью OX .

4.Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x2 + y2 =16x , x2 + y2 =16 y .

5. Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = 0 , y2 = 4x ,

y2 = x , x + 2z = 4 .

6.Найти полярный момент инерции фигуры, ограниченной линиями

x+ 4 y = 8, y = 0 , x = 0 .

7. Вычислить ∫x cos ydx − y sin xdy , вдоль прямой OA от O(0;0) до

L

A(4;2) .

8. Решить дифференциальное уравнение

	2x		1	y		1	x		x	2
		+						−
	y		2	dx +		2	y		y	2 dy =0 .
				x

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 26

							4 16−x2
1.	Вычислить повторный интеграл						∫dx	∫x2 dy .
							0	0
							2	4−y2
2.	Изменить порядок интегрирования ∫dy ∫ f (x, y)dx .
							0	3 y
3.	Вычислить ∫∫(x + 2)dxdy , где областьD ограничена линиями y = ln x ,
		D
	x = 4 и осью OX .
4.	Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной
	линией	r 2 = 4sin 2ϕ .
5.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями										z = 1 − y , y = x2 .
6.	Найти массу тела, ограниченного координатными плоскостями и
	плоскостью 2x +3y + 2z = 6 , если плотность в каждой его точке равна
	ординате	y этой точки.
7.	Вычислить ∫		ydx2	+ xdy2 , вдоль прямой AB от A(1;2) до B(3;6) .
		L	x	+ y
8.	Убедиться, что заданное выражение
					y − x2				x +3y
			ln y +			dx + ln x +					dy
					x				y
	есть полный дифференциал некоторой функции										u = u(x, y) , и
	восстановить её.

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 27

	π	π	−y
	4	4	∫(cos 2x +sin y)dx .
1.	Вычислить повторный интеграл ∫dy
	0		0
		1	4−y2
2.	Изменить порядок интегрирования	∫dy ∫ f (x, y)dx .
		0	3 y
3.	Вычислить ∫∫xydxdy , где область D ограничена линиями y = 2 − x ,
	D

y= 2x − x2 .

4.Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной

линиями y2 = x , y2 = 4x , y = ±2 .

5. Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = 0 , x = 0 , y = 0 ,

y + z =1, y2 = x −1.

6. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями x2 + y2 = z , z = 3 .

7.	Вычислить ∫	dx	−	dy	,	вдоль эллипса			x = acost,		, обходя его против
		y		x
	L								y = asin t,
	часовой стрелки.
8.	Убедиться, что заданное выражение
				(cos2		y +	2	)dx +( y − x sin 2 y)dy
							x2
	есть полный дифференциал некоторой функции									u = u(x, y) , и
	восстановить её.

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 28

1.	Вычислить повторный интеграл ∫1			dx∫x		dy	.
						2
			0	0 1+ y
				2		y2 +2
2.	Изменить порядок интегрирования ∫dy					∫ f (x, y)dx .
				0		y2
3.	Вычислить ∫∫		x2 + y2 dxdy , где областьD ограничена линией
		D
	y2 + x2 =8x .
4.	Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной
	линиями	y2	= 4x , y2 = x , x =1, 2 y = x .
5.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = x2 , x + y , y = 0 ,

z= 0 .

6.Найти момент инерции однородной пирамиды, ограниченной

координатными плоскостями и плоскостью x + y + z =1, относительно оси OZ .

7. Вычислить ∫3xdx + 2xydy от A(1;1) до B(2;4) вдоль параболы

L

y= x2 .

8.Убедиться, что заданное выражение

( y2 −2sin 2x)dx +(2xy + 4 y3 )dy

есть полный дифференциал некоторой функции u = u(x, y) , и

восстановить её.

ИрГУПС	Кафедра “Высшая математика”
10.4.7.	Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________
	Вариант 29
	0	2−y2
1.	Вычислить повторный интеграл ∫dy	∫xy2 dx .
	−1	−y
			3	y+4
	4	2
						∫ f (x, y)dx .
2.	Изменить порядок интегрирования ∫dy
	0		1		y+1
		2
3.	Перейти к полярным координатам и расставить пределы

интегрирования в ∫∫ f (x, y)dxdy , где область D ограничена линиями

					D
		y2	+ x2 =1 , x + y =1.
4.	Двойным интегралом вычислить площадь, ограниченную эллипсом
		x2	+	y2	=1.
	4
			36
5.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = 0 , z = 2 − x − y ,

y= x2 .

6.Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями

	z =1 − x2 − y2 , z = 0 .
7.	Вычислить	∫(2a − y)dx − (a − y)dy			вдоль циклоиды
		L
	x = a(t −sin t),		от A(0;0)	до B(2πa;0) .
	L :
	y = a(1 −cost),
8.	Убедиться, что заданное выражение				( y −sin x )dx +(x +1)dy

есть полный дифференциал некоторой функции u = u(x, y) , и

восстановить её.