Приклад 1

1. У земних умовах вода, нагріта до температури 100 С, набуває стану кипіння.

2. Якщо в урні міститься 10 однакових кульок, пронумерованих від 1 до 10, то кулька, навмання взята із цієї урни, має номер, що міститься в межах від 1 до 10.

Подія називається неможливою, якщо в результаті експерименту, проведеного з додержанням певного комплексу умов, вона не настає ніколи. Неможлива подія позначається символом (порожня множина).

Приклад 2

1. В урні міститься 10 однакових кульок, пронумерованих від 1 до 10. Навмання береться одна кулька. Поява кульки з номером 12 буде подією неможливою.

2. Якщо на дослідній ділянці посіяти 100 зернин ячменю, то подія, котра полягає в тому, що на момент збирання врожаю на цій ділянці з’явиться колосок пшениці, є неможливою.

Подія називається випадковою, якщо за певного комплексу умов у результаті експерименту вона може настати або не настати залежно від дії численних дрібних факторів, урахувати які дослідник не в змозі.

Випадкові події позначають символами А, В, С, … або А₁, А₂, А₃,…, А_k; В₁, В₂, …, В_n.

Отже, випадкові події пов’язані експериментами, наслідки яких є неоднозначними.

Приклад 3

1. Монету підкидають один раз. (Тут і далі припускаємо, що падає монета на рівну і тверду підлогу.) Поява герба (цифри) — подія випадкова.

2. Якщо на дослідній ділянці в лабораторних умовах посіяно 100 зернин ячменю, то не можна передбачити наперед, скіль­ки зернин проросте. Отже, подія, яка полягає в тому, що проросте від 1 до 100 зернин, є випадковою.

1. Прості та складені випадкові події. Простір елементарних подій

Теорія ймовірностей як один із розділів математики досліджує певний вид математичних моделей — моделі випадкових подій, а не самі такі події.

Математичні моделі, як відомо, відбивають найістотніші властивості досліджуваних об’єктів, абстрагуючись від неістотних.

Для математичного опису випадкових подій — наслідків експерименту — застосовують такі точні поняття: прості (елементарні) та складені випадкові події, простір елементарних подій.

Подія, що може відбутися внаслідок проведення однієї і лише однієї спроби (експерименту), називається простою (елементарною) випадковою подією.

Елементарні події позначаються _і (і = 1, 2, 3,…) і в теорії ймовір­ностей, так само як, скажімо, точка в геометрії, не поділяються на простіші складові.

Приклад 1. Монету підкидають один раз. Визначити елементарні події цього експерименту.

Розв’язання. Можливі такі елементарні випадкові події:

₁ = г (монета випаде гербом);

₂ = ц (монета випаде цифрою).

Приклад 2. Монету підкидають тричі. Визначити елементарні події цього експерименту.

Розв’язання. Триразове підкидання монети — це одна спроба. Елементарними випадковими подіями будуть:

₁ = ггг (тричі випаде герб);

₂ = ццц (тричі випаде цифра);

₃ = ггц

₄ = гцг (герб випаде двічі);

₅ = цгг

₆ = гцц

₇ = цгц (герб випаде один раз).

₈ = ццг

Отже, цьому експерименту відповідають вісім елементарних подій.

Приклад 3. Задано дві множини цілих чисел ₁ = ,₂ = . Із кожної множини навмання беруть по одно­му числу. Визначити елементарні події цього експерименту — появу пари чисел.

₁ = 1; 1; ₅ = 2; 1; ₉ = 3; 1;

₂ = 1; 2; ₆ = 2; 2; ₁₀ = 3; 2;

₃ = 1; 3; ₇ = 2; 3; ₁₁ = 3; 3;

₄ = 1; 4; ₈ = 2; 4; ₁₂ = 3; 4.

Випадкова подія називається складеною, якщо її можна розкласти на прості (елементарні) події. Складені випадкові події позначаються латинськими великими літерами: A, B, C, D, … .

Приклад 4. Задано множину чисел  = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Навмання із цієї множини беруть одне число. Побудувати такі випадкові події: 1) з’явиться число, кратне 2; 2) число кратне 3; 3) число, кратне 5. Ці випадкові події будуть складеними. Позначимо їх відповідно А, В, С. Тоді А = = {2, 4, 6, 8, 10, 12}; В = {3, 6, 9, 12}; С = {5, 10,}.

Елементарні випадкові події _і  A, _j  B, _k  C, які належать відповідно складеним випадковим подіям А, В, С, тобто є елементами цих множин, називають елементарними подіями, які сприяють появі кожної із зазначених подій унаслідок проведення експерименту (_і сприяють появі події А, _j — події В, _k — події С).

Кожному експерименту (спробі) з випадковими результатами (наслідками) відповідає певна множина  елементарних подій _i, кожна з яких може відбутися (настати) внаслідок його проведення: _і  . Множину називають простором елементарних подій.

Приклад 5. Гральний кубик, кожна грань якого позначена певною цифрою від 1 до 6, підкидають один раз. При цьому на грані випадає одна із зазначених цифр. Побудувати простір елементарних подій для цього експерименту (множину Ώ) і такі випадкові події: 1) А — випаде число, кратне 2; 2) В — випаде число, кратне 3.

Розв’язання. Оскільки кубик має шість граней, то в результаті експерименту може випасти одна із цифр від 1 до 6.

Отже, Ώ = 1, 2, 3, 4, 5, 6; 1) А = 2, 4, 6; 2) В = 3, 6.

Приклад 6. Монету підкидають чотири рази. Побудувати простір елементарних подій для цього експерименту і такі випадкові події:

1) А — герб випаде двічі; 2) В — герб випаде не менш як тричі.

Розв’язання. Шуканий простір елементарних подій:

Ώ = гггг, гггц, ггцг, гцгг, ццгг, ггцц, гццг, гцгц, цгцг, ццгг, цггц, гццц, цгцц, ццгц, цццг, цццц;

1) А = ггцц, ццгг, гцгц, цгцг, гццг, цггц;

2) В = гггг, гггц, ггцг, гцгг, цггг).

Простір елементарних подій може бути як дискретним, так і неперервним. Якщо множина є зчисленною (зліченною), тобто всі її елементи можна перелічити або принаймні пронумерувати (кожній елементарній події поставити у відповідність один і тільки один елемент нескінченної послідовності натуральних чисел 1, 2, 3, …), то простір елементарних подій називають дискретним. Він може бути обмеженим і необмеженим.

У противному разі (тобто коли кожній елементарній події не мож­на поставити у взаємно однозначну відповідність певне натуральне число) простір елементарних подій називають неперервним.

У розглянутих раніше прикладах простори елементарних подій були дискретними.

Приклади неперервних (недискретних) просторів елементарних подій дістанемо, розглянувши:

1) розміри однотипних деталей (діаметр, довжина), що їх виготов­ляє робітник або верстат-автомат;

2) покази приладів, що вимірюють масу, силу струму, напругу, опір і т. ін.

Отже, поняття елементарної події, простору елементарних подій є основними в теорії ймовірностей, як точка та пряма в аксіоматично побудованій евклідовій геометрії. Сама природа елементарних подій у теорії ймовірностей при цьому неістотна.

Простір елементарних подій є математичною моделлю певного ідеалізованого експерименту в тому розумінні, що будь-який можливий його наслідок описується однією і лише однією елементарною подією — наслідком експерименту.

Мовою теорії множин випадкова подія А означується як довільна непорожня підмножина множини  (А  ).