Приклади до теми

1. Маємо 10 лотерейних білетів. На кожний із них може випасти виграш із певною ймовірністю.

Побудувати простір елементарних подій (множину Ώ) — числа білетів, на які випаде виграш, а також такі випадкові події: А — із 10 білетів виграють не більш як три; В — із 10 білетів виграють не менш як п’ять. Обчислити Р (А), Р (В), .

Відповідь. ;

; .

2. Задано дві множини цілих чисел: Ώ₁ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Ώ₂ = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Із кожної множини навмання беруть по одному числу. Побудувати простір елементарних подій для цього експерименту і такі випадкові події: А — сума цифр буде кратною 3; В — сума цифр буде кратною 7.

Обчислити: Р (А), Р (В), .

Відповідь. ;;.

3. Гральний кубик підкидається один раз, а монета чотири рази. Побудувати простір таких елементарних подій — поява числа на гральному кубику і поява герба на монеті, а також випадкові події:

А— на гральному кубику з’явиться число, кратне двом, і герб при цьому випаде не менш як двічі;

В — на гральному кубику з’явиться число, кратне трьом, і герб при цьому випаде не більш як тричі. Обчислити: Р (А), Р (В), .

Відповідь. ;;.

4. В електромережу ввімкнено 15 електролампочок. Кожна з них може перегоріти із певною ймовірністю. Визначити простір елементарних подій (множину Ώ) — числа електролампочок, що не вийдуть із ладу, і такі випадкові події:

А — число електролампочок, що не вийдуть із ладу, буде не більшим від чотирьох;

В — від трьох до шести. Обчислити: Р (А), Р (В), .

Відповідь. ;;.

5. Відомо, що Р (А) = 0,9. Чому дорівнює , якщоА  Ώ, АВ  .

6. В якому разі ?

7. Відомо, що А  Ώ, В  Ώ. Чому дорівнює

?

8. В якому разі ,?

9. Відомі значення ,,. Знайти.

10. Відомі значення ,,. З’ясувати, чи сумісні випадкові події А і В? Чому дорівнює?

11. В якому разі А \ В = А?

12. В якому разі ?

13. В якому разі ?

14. Відомо, що А_і  Ώ (і = 1, …, n). Чому дорівнює ?

15. Відомо, що А_і  Ώ (і = 1, n). Чому дорівнює ?

16. Відомі значення ;; . Знайти .

17. Відомо, що А_1, А₄, А₃, А₄ є між собою несумісними і утворюють повну групу. Знайти значення Р(А₁), Р(А₂), Р(А₃), Р(А₄), якщо:

Р(А₁) = 0,5Р(А₂) + 0,8Р(А₃);

Р(А₂) = 0,8Р(А₃) + 0,2Р(А₄);

Р(А₃) = 0,8Р(А₄).

18. Монета підкидається 20 раз. Яка ймовірність того, що при цьому герб з’явиться 7 або 17 раз?

Відповідь. .

19. На кожній із п’яти однакових карток написана одна із цифр 1, 2, 3, 4, 5. Навмання картки розкладають в один рядок. Обчислити ймовірність таких випадкових подій:

1) А — цифри на картках утворюють зростаючу послідовність;

2) В — спадну послідовність;

3) С — цифри 1, 2 розміщуватимуться в такій послідовності на початку рядка;

4) D — цифра 1 стоятиме на першому місці, а 5 — на останньому.

Відповідь. ;;;

.

20. Виконується переставлення чисел 1, 2, 3 ... 10. Знайти ймовір­ність того, що числа 1) 1, 2; 2) 1, 2, 3, 4 будуть розміщені в наведеному порядку.

Відповідь. 1) ; 2).

21. Задано множину цілих чисел Ώ = 1, 2, 3, 4, 5. Числа навмання розміщують у рядок. Яка ймовірність того, що при цьому утвориться парне п’ятицифрове число?

Відповідь. .

22. Маємо тринадцять однакових карток:

^,

які навмання розкладають у рядок. Яка ймовірність того, що при цьому дістанемо слово «паралелепіпед».

Відповідь. .

23. Задана множина цілих чисел Ώ = 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9. Яка ймовірність того, що навмання взяті чотири числа, розміщені в рядок, утворять число 1936?

Відповідь. .

24. Числа 1, 2, 3, 4, 5 написані на п’яти однакових картках. Навмання послідовно по одній вибирають три картки й розкладають їх у рядок. Яка ймовірність того, що при цьому утвориться парне трицифрове число?

Відповідь. .

25. Дев’ять пасажирів навмання розміщуються у трьох вагонах. Обчислити ймовірність таких випадкових подій: 1) А— у кожному вагоні виявиться по три пасажири; 2)В— у першому вагоні виявиться 4 пасажири, у другому — 3 і в третьому — 2 пасажири.

Відповідь. ;

.

26. В урні міститься 4 червоних, 5 синіх і 6 зелених кульок. Навмання із урни беруть три кульки. Яка ймовірність того, що вони виявляться одного кольору або всі три будуть мати різні кольори?

Відповідь. .

27. В урні міститься 20 кульок, пронумерованих відповідно від 1 до 20. Кульки із урни виймають по одній із поверненням. Таким способом кульки виймалися 10 раз. Яка ймовірність того, що номери кульок утворять зростаючу послідовність?

Відповідь. .

28. Підкидається n штук гральних кубиків. Обчислити ймовірність таких випадкових подій: 1) А — сума випадкових цифр дорівнюватиме n ; 2) В — сума цифр, що випали, дорівнюватиме n + 1.

Відповідь. 1) ; 2).

29. 20 студентів, серед яких 10 чоловічої статі, а решта — жіночої, навмання групуються в пари. Яка ймовірність того, що кожна пара складається зі студентів різної статі?

Відповідь. .

30. У бригаді робітників 5 чоловіків і 10 жінок. Яка ймовірність того, що навмання розбиваючи їх на 5 груп по три чоловіки, у кожній із них виявиться один чоловік.

Відповідь. 15 робітників можна розбити на 5 трійок так: ; 10 жінок можна розбити на 5 груп, по дві жінки в кожній групі так:; 5 чоловіків мож­на розмістити в 5 групах 5! способами.

Отже, .

31. Задано множину Ώ = 0  х  , 0  у  1. Яка ймовірність того, що навмання взяті два числа x, y утворять координати точки, яка належить області А = 0  х  , 0  у .

Відповідь. Р (А) = 0,5.

32. У мішень, яка має вигляд кола, вписано квадрат. По ній здійснюється один постріл. Вважається при цьому, що влучення в коло мішені є подією вірогідною. Яка ймовірність того, що куля влучить у квадрат.

Відповідь. .

30