- •Теория вероятностей (для студентов специальности «Информатика») Тема 2. Повторные независимые испытания
- •§1. Формула Бернулли.
- •§2. Формула Пуассона.
- •§3. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- •Тема 3. Случайные величины
- •§8. Закон равномерного распределения вероятностей.
- •§9. Определение показательного распределения.
- •§10. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины.
- •§12. Числовые характеристики показательного распределения.
- •§11. Геометрические вероятности
- •§12. Предмет метода Монте − Карло
- •§13. Понятие о законе больших чисел.
- •§14. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы
- •Тема 4. Выборочный метод
- •§1. Статистическое распределение выборки
- •§2. Эмпирическая функция распределения
- •§3. Полигон и гистограмма
- •Тема 5. Статистические оценки параметров распределения
- •§1. Точечные оценки
- •§2. Метод моментов
- •§3. Метод наибольшего правдоподобия
- •§4. Интервальные оценки
- •Тема 6. Оценка независимой вероятности событий по частоте
- •§1. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона
- •§2. Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности
- •§3. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по биномиальному закону
- •§4. Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности
- •§5. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона
- •§6. Понятие о простейших случайных процессах
Теория вероятностей (для студентов специальности «Информатика») Тема 2. Повторные независимые испытания
§1. Формула Бернулли.
Простейшим классом повторных независимых испытаний является последовательность независимых испытаний с двумя исходами: событие А осуществилось и не осуществилось , причем вероятность этих исходов не меняется от испытания к испытанию. Вероятность наступления событияА в каждом испытании обозначим через р, т.е. Р(А) = р. Тогда Р()= 1 – р = q. Пусть m – число (частота) наступления события А в n испытаниях. Обозначим через Рm, n – вероятность того, что частота появления события А равна именно m . Эта вероятность может быть посчитана по формуле Бернулли
(1)
Числа Рm,n также интерпретируется как вероятность иметь ровно m осуществлений события А в n независимых испытаниях с двумя исходами. Вероятность того, что частота m появления события А в n испытаниях примет значение из промежутка [m1, m2] (m1 m m2) равна
(2)
Вероятность того, что событие А хотя бы один раз наступит в n испытаниях вычисляется по формуле
Р n (m 1) = 1 – Р 0,n = qn
§2. Формула Пуассона.
Нередко приходится рассматривать эксперименты с большим числом испытаний. Нетрудно видеть, что для больших n и m вычисление вероятностей по формуле Бернулли представляется значительные затруднения, становятся очень громоздкими. В этом случае применяются приближенные формулы, позволяющие с достаточной степенью точности найти эти вероятности. Если число испытаний достаточно велико, а р мало и при этом произведение np – не больше 10, то вероятность Рm, n можно найти по формуле Пуассона
(3)
Вычисления по формуле (3) существенно упрощаются, если используются специальные таблицы.
Замечание. Вероятность того, что в испытаниях событие наступит: а) менее k раз ; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз, – находят соответственно по формулам:
а) Р0, n + Р1, n + … + Р k–1, n.
б) Рk+1, n + Р k+2, n + … + Рn, n.
в) Рk, n + Рk+1, n + … + Рn, n.
г) Р0, n + Р1, n + … + Рk, n.
§3. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
Рассмотрим вопрос о вычислении вероятности наступления события А ровно m раз в n независимых испытаниях, когда m и n достаточно велики и выполняется условие npq 20.
Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность Рm, n того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз, находится по формуле
(4)
где (q = 1 – p)
а функция f(x) определяется равенством
(5)
Формула (4) называется локальной формулой Муавра-Лапласа. С возрастание n относительная точность значений вероятностей Р, получаемых по ней, возрастает. Значения функции f(x), заданной формулой (5), находят по таблице. Следует также иметь в виду:
Функция f(x) является четной, т.е. f(–x) = f(x). Поэтому в таблице приведены значения функции (5) лишь для положительных значений аргумента.
Функция f(x) монотонно убывает при положительных значениях x, а предел ее при x равен нулю.
Если x 5, то можно считать приближенно, что f(x) = 0.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях число наступлений события А окажется заключенным в границах от m1 до m2 включительно (m1 m2), находится по формуле
Pn (m1 m m2) = Ф(x2) – Ф(x1) (6)
где ,
а (7)
и называется функцией Лапласа, значение которой находится по таблице.
Формула (6) называется интегральной формулой Муавра-Лапласа.. Функция Лапласа Ф(x) обладает следующими свойствами:
Функция Ф(x) – нечетная, т.е. Ф(–x) = – Ф(x).
Функция Ф(x) – монотонно возрастающая.
Предел функции Ф(x) при x равен единице.
Для всех значений x 5 можно считать приближенно Ф(x) = 1.
Из интегральной теоремы Муавра-Лапласа вытекает важное для приложений следующее следствие:
Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях абсолютная величина отклонения числа m наступлений события А от произведения np не превзойдет положительного числа , находится по формуле
(8)
Из формулы (8) в свою очередь можно получить формулу оценки отклонения частоты m/n появления события А в n испытаниях от вероятностей р:
(9)