2. Основные постулаты квантовой механики

Полное описание состояния классической физической системы осуществляется заданием уравнений движения и начальных значений координат и скоростей. Используя эти данные, всегда можно полностью определить поведение системы во времени. Начальные значения координат и скоростей необходимо измерить, и здесь возникает коренное различие между классической и квантовой механикой. Классическая механика допускает возможность неограниченного уточнения любого измерения. В квантовой механике измерение какого-либо свойства микрочастицы неизбежно вызывает изменение ее состояния. Эта особенность описания микрочастиц сформулирована Гейзенбергом в принципе неопределенности (x · p_x  h, y · p_y  h, z · p_z  h, E · t  h и пр.): нельзя со сколь угодно высокой точностью одновременно измерить координату и импульс микрочастицы, а также, например, измерить изменение энергии и момент времени, когда это изменение произошло. Другими словами, локализация частицы в какой-либо малой области пространства требует физических условий, неблагоприятных для измерения ее количества движения; и наоборот, условия, необходимые для точного измерения количества движения частицы, исключают возможность локализации ее в достаточно малой области пространства. Уточнение одной из физических величин всегда увеличивает неопределенность другой. В результате описание микрообъектов осуществляется меньшим числом величин, т.е. является менее подробным. Поэтому квантовая механика не может делать строго определенных предсказаний относительно будущего поведения микрообъекта. Ее задача состоит лишь в определении вероятности получения того или иного результата при измерении. Для описания системы частиц в квантовой механике используется некая волновая функция, свойства которой отражены в следующих постулатах.

Постулат 1. Состояние частицы (или системы частиц) задано, если известна волновая функция Ψ(q). Квадрат модуля волновой функции |Ψ(q)|²dq.определяет распределение вероятностей значений координат частицы (или системы частиц).

Волновая функция должна удовлетворять следующим требованиям:

• функция должна быть непрерывной;

• функция должна быть однозначной;

• квадрат ее модуля должен быть интегрируемым, т.е. должен существовать интеграл ;

• функция должна быть нормированной, т.е. этот интеграл должен быть равен единице: .

Функция Ψ(q) зависит от координат q всех частиц исследуемой системы и может быть как действительной, так и комплексной.

Постулат 2. Волновые функции подчиняются принципу суперпозиции: если в состоянии с волновой функцией Ψ₁(q) некоторое измерение приводит к результату Х₁, а в состоянии Ψ₂(q) – к результату Х₂, то всякая функция вида Ψ = с₁Ψ₁(q) + с₂Ψ₂(q) описывает такое состояние, в котором измерение дает либо результат Х₁, либо Х₂.

Постулат 3. Всякой физической величине G в квантовой механике сопоставлен линейный самосопряженный оператор Ĝ. Единственно возможными величинами, которые может иметь эта физическая величина, являются собственные значения g операторного уравнения Ĝ Ψ = g Ψ.

Постулат 4. Возможная волновая функция состояния системы получается при решении стационарного дифференциального уравнения Шрёдингера

где – оператор Гамильтона,представляющий собой сумму операторов кинетической и потенциальной энергии ,Е – энергия системы, которая может принимать как дискретные, так и непрерывные значения, являющиеся собственными значениями оператора Гамильтона.

Постулат 5. Если произвести многократные измерения какой-либо динамической переменной g системы, находящейся в состоянии Ψ, то на основании результатов этих измерений можно определить ее среднюю величину. Эта средняя величина вычисляется по формуле