ГЛАВА 1

ГРАВИТАЦИЯ И ФИГУРА ЗЕМЛИ

ЗЕМ ЛЯ И ДРУГИЕ ПЛАНЕТЫ

СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ

Земля — космическое тело. Как уже было отмечено, ее происхож­ дение и эволюция связаны с происхождением и эволюцией Солнеч­ ной системы, Галактики и Вселенной.

Рассмотрим некоторые основные параметры нашей планеты как космического тела и сравним их с аналогичными параметрами других планет.

Под планетами понимают космические тела, масса которых из­ меняется в пределах 1017-1026 т. Вещество в планетах находится

в конденсированном состоянии и эволюционирует за счет процес­ са гравитационной дифференциации, радиогенной энергии и т.д. Те­ ла с массами ниже 1017 т не эволюционируют, так как время их

эволюции порядка времени образования (аккумуляции). В косми­ ческих телах с М >1026 т начинают протекать термоядерные реак­

ции, свойственные звездам.

К настоящему времени в Солнечной системе обнаружено 9 пла­ нет, 32 спутника, более 150 тыс. астероидов, около 100 комет. Все планеты движутся вокруг Солнца в одном направлении: в направле­ нии вращения Солнца, по эллиптическим, близким к круговым орби­ там, почти в одной плоскости — плоскости эклиптики. Большинство спутников планет также обращается в плоскости эклиптики. В том же направлении происходит вращение планет, кроме Венеры и Урана. Положение практически всех планет и спутников в одной плоскос­ ти — тонком диске — дало основание предполагать, что все они образовались из газа (или газопылевого облака), сконденсировавше­ гося в такой диск. Фактически вращение происходит вокруг общего центра масс всей Солнечной системы.

Ось вращения Солнца составляет 7 к нормали к эклиптике. На­ клоны осей вращения планет (см. табл. 1) предположительно объ­

ясняются воздействием на них космических тел. В частности, на­ клон оси Земли на 23,5° связывается с падением на нее тела диа­ метром примерно 1000 км и массой 1018 т. Подобными же причи­

нами объясняются наклоны осей и обратное вращение Венеры и Урана.

Планеты делятся на две группы: внутренние (Меркурий, Венера, Земля, Марс) и внешние (Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон). Внутренние планеты подобны Земле: имеют сравнительно небольшие

размеры и высокие плотности за счет содержания тяжелых оксидов и наличия железистого ядра. Для этих планет характерны повышенная концентрация углерода, азота и кислорода и недостаток водорода и гелия. Внешние планеты в свою очередь делятся на две подгруппы: планеты-гиганты Юпитер и Сатурн (их радиусы соответственно 11 и

9 земных), состоящие в основном из смеси водорода и гелия, и пла­ неты Уран, Нептун и Плутон, состоящие из водорода в соединении с углеродом, азотом и кислородом (в основном вода в жидком и льди­ стом состоянии). Между внутренними и внешними планетами распо­ лагается пояс каменных астероидов (малых планет), число которых превосходит 3 тыс. Средний период обращения астероидов 4,7 года. Самая большая из малых планет — Церера, 770 км в диаметре, масса около 1/8000 массы Земли. Самые малые имеют диаметр около 1 км. Ближе, чем Меркурий, подходит к Солнцу Икар, к Сатурну ближе всего подходит Гидальго.

ФИГУРА ЗЕМ ЛИ И СИЛА ТЯЖ ЕСТИ

Приступая к изучению явлений, происходящих на Земле и в ef недрах, естественно прежде всего рассмотреть вопрос о том, каков общий вид, или фигура, Земли. Мысль о том, что Земля имеет фор­ му шара, была высказана Пифагором еще в 530 г. до н.э. Эратосфен в 200 г. до н.э. сделал первую попытку определить размеры земно­ го шара. Измерив на поверхности некоторую дугу Ъ большого круга и соответствующий ей центральный угол <р, Эратосфен определил радиус R Земли из соотношения

b = R<p.

(1.1)

Только в конце XVII столетия форма и размеры Земли стали рассматриваться не только как геометрическая, но и как физическая проблема. Ньютон в “Математических началах натуральной фило­ софии” изложил теорию фигуры Земли на основе закона всемирно­ го тяготения. Он был первым, кто показал, что из-за вращения Землй должна быть не сферой, а эллипсоидом вращения, полярный ра­ диус R п которого меньше экваториального R э, т.е. Земля сплюсну­

та по оси вращения. Ньютон впервые вычислил сжатие Земли по

формуле
* = (R 3 - R n)/ R 3-	(1.2)
Рассмотрим однородную пластичную модель Земли,	которая

не вращается вокруг оси. В этом случае сила тяжести, действую­ щая на единицу массы на поверхности, была бы направлена к цент­

s			s
Рис. 1.1. Модель круглой вращаю­		Рис. 1.2.	Модель эллипсоидальной враща­
щейся Земли. МА — сила тяжести,		ющейся Земли. МА — сила тяготения, М А1У
/ ц — центробежная сила, /	— гори­	М А2 —	ее вертикальная и горизонтальная
зонтальная проекция / ,	направ­	проекции, / ц, Д , / 2 — центробежная сила и ее

вертикальная и горизонтальная проекции

ленная к экватору

ру. Обозначим эту силу вектором МА. Земля в этом случае име­ ла бы форму шара с радиусом R = ОМ (рис. 1.1). В результате вра­

щения появляется центробежная сила f ll = a>2R	cos <р’. Под вли­
янием двух сил МА и / однородный пластичный	шар должен при­

нять такую форму, которая в каждой точке нормальна к резуль­ тирующей силе МЛр являющейся векторной суммой сил МА и / .

Такой формой будет эллипсоид вращения. В случае эллипсоида нор­ мально к поверхности будет направление М АХ (рис. 1.2). Каж­

дую из двух сил МА и /	можно разложить на составляющие, ори­
ентированные по МАу и	по перпендикулярному к М АХ направле­

ниям. Для того чтобы единичная масса в точке М была в равнове­ сии, необходимо, чтобы составляющая силы тяготения МА2 была равна составляющей центробежной силы / 2 или

МА sin у = со2 R cos <р' sin <р.

Если это равенство не выполнено, то возникнет сила, стремящаяся сместить единичную массу к экватору или к полюсу. В направлении по нормали на единичную массу будет действовать сила

М А Х— f\ = МА cos у —со2R cos <р' cos <р,

которая и определяет ускорение свободного падения g. При условии, что <р~ <р’, получаем

g = МА cos у — а>2 R cos2 <р.

( 1. 3)

17

Всвязи с тем что перпендикулярная к М А j составляющая цент­

робежной силы в случае сплющенной Земли уравновешивается со­ ответствующей составляющей силы тяжести, мы, находясь на по­ верхности вращающейся Земли, не ощущаем ее вращения. В случае круглой Земли на единичную массу в точке М действовала бы сила /

(см. рис. 1.1), направленная к экватору. Разность нормальных со­ ставляющих силы тяготения и центробежной силы на реальной Зем­ ле является силой тяжести (1.3), зависящей от географической ши­ роты.

Все сказанное справедливо для модели однородной Земли. На са­ мом деле плотность в Земле возрастает к центру и задача усложня­ ется. Решение для слоев с различной плотностью получено Клеро

в1743 г.

Вдействительности вопрос еще более сложен. Если для значитель­

ной толщи Земли можно установить некоторый закон изменения плотности, то для верхней части — земной коры — это сделать невозможно. Поэтому поверхность Земли нельзя описать ни одной из известных аналитических поверхностей. Поверхность Земли опи­ сывается индивидуальной фигурой — геоидом (Листинг), под кото­ рым понимается уровневая поверхность силы тяжести и центробеж­ ной силы, совпадающая со спокойной поверхностью воды в океа­ нах и в мысленно прорезывающих все континенты бесконечно узких каналах, соединяющих океаны. Расхождение между поверхностями геоида и эллипсоида (референц-эллипсоид, сфероид) не превосходит нескольких десятков метров, в то время как разность Яэ и R n сос­

тавляет 21,385 км. По современным измерениям /?э = 6378,142 км, R n = 6356,757 км; сжатие геоида а = ( Яэ — Rn )/R 3 = 1/298,255, что

составляет 0,3%, у Юпитера — 6 %. Спутниковые измерения показа­

ли, что Южный полюс на 30 м ближе к центру Земли, чем Северный. Средний радиус Земли находится из соотношения (4/3)л:Я3р = = (4/3)л R ^ R n, т.е. приравнивается эллипсоид к равновеликому ша­

ру. Получаем

/?гп = 6371,032 км.

Из этих данных можно определить площадь поверхности Земли: 510 069 000 км2, из них 29,2% — суша и 70,8% — водная поверх­ ность. Объем Земли 1,1*1027 см3, масса 6 1 027 г, что составляет 3* 10_6 массы Солнца. Средняя плотность Земли 5,5 г/см3.

Как следует из уравнения (1.3), сила тяжести является резуль­ тирующей сил притяжения и центробежной силы и зависит от широ­ ты места. Введем в рассмотрение потенциал силы тяжести W, ко-

торый слагается из потенциалов	притяжения	V и центробежных
сил £/, т.е.
W = V	+ U.	(1.4)

Рассмотрим потенциал V. По закону Ньютона притяжение единицы массы элементом массы dm на расстоянии г равно

F = G

,

(1.5)

Г*

где G = 6,666 *10-8 г-1 • см? • с-2 — постоянная тяготения. Тогда

потенциал притяжения некоторым телом в точке вне его будет равен

	V= G	dm
		( 1. 6)

Решение этого уравнения представляет собой бесконечный ряд, ко­ эффициентами которого являются полиномы Лежандра Р (cos у):

Рп (cos у) = —	d	(cos2у - I f .
2 п\	tf(cosy)

Если бы Земля была точной сферой со сферически-симметричным распределением плотности, то

(1.7)

где М — масса Земли. Реальная Земля на ~ 1/300 отклоняется от

сферы, поэтому основная часть гравитационного поля задается урав­ нением (1.7). Хотя отклонение реального потенциала от сферическо­ го невелико — порядка 1/300, оно заслуживает рассмотрения, так как, во-первых, определяет внешнее поле Земли, что важно для расчета траекторий спутников, и, во-вторых, дает информацию о флуктуации плотности в недрах, разностях моментов инерции Земли относительно ее главных осей и о состоянии гидростатического равно­ весия.

Еще до запусков искусственных спутников Земли за счет назем­ ных измерений удалось определить первый поправочный член к вы­ ражению (1.7):

Я.	( 1 . 8 )
W « e ) ] ;

здесь

(1.9)

где R — расстояние от центра Земли, А и С — моменты инерции относительно R3 и Rn соответственно. Угол & = я/2 — <р. Значе-

ние / 2 = 1082,65* 10 6, т.е. эта величина порядка сжатия Земли

(1/300).

Для проблемы внутреннего строения Земли большое значение имеет величина / среднего момента инерции

(1.10)

которая совместно со значением средней плотности р 0 = ЪМ/4K R2R U

и данными сейсмологии позволяет определить распределение плот­ ности в недрах Земли.

В случае планеты постоянной плотности ее безразмерный момент

инерции равен
/* = i/M R 2 = 0,4.	( 1. 11)

Если с глубиной плотность увеличивается, то /*<0,4, если умень­

шается, то /*>0,4. Согласно наблюдениям значение /* = 0,3315, что соответствует существенному увеличению плотности внутри Земли.

У Луны /* = 0,392, что близко к 0,4 и свидетельствует о почти постоянной плотности Луны, что объясняется небольшими давления­ ми (~ 5* 104 атм) в лунных недрах.

Полный потенциал силы тяжести равен сумме

W=V+ и У			( 1. 12)
где U — потенциал центробежных сил, равный
			(1.13)
3	?	1	3	71
Учитывая, что Р2 (cos 0 ) = ^ cos	0 - ^	j sm	Ф ~ 2 ’ П0ЛУЧИМ вы_

ражение для потенциала сфероида

GMR2

Ускорение силы тяжести находится так:

( d W \2	2	V2
	_1	(1.15)
8 =	I
. Ы	[rdf]

На основании уравнений (1.14) и (1.15) можно установить связь между g и сжатием Земли а:

1 +	5w2R l	— а sin2^>	(1.16)
	2GM
где
GM	3	“>2*1 ^	(1.17)
8э	1 + f
Яэ	\

Уравнение (1.16) впервые было получено Клеро в 1743 г. Его

можно записать более просто:
8 = 5Э( 1 + Р sin2 <р} ,	(1.18)

где ft —(5/i) q —а , д = со2 R j g3 — отношение центробежной силы

к силе тяжести на экваторе.

Таким образом, сила тяжести в любой точке земного шара обус­ ловлена следующими факторами:

1) действием всего земного сфероида и действием центробежной

силы в случае равномерного наслоения вещества; 2) влиянием рельефа местности, окружающей точку наблюде­

ния, что приводит к отличным от нуля производным dw/ дх, dw/ ду;

3) неравномерным распределением масс в земной коре.

АНОМАЛИИ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ. ИЗОСТАЗИЯ

Расчеты фигуры Земли, начиная с Ньютона, производились при условии, что Земля находится в состоянии гидростатического равно­ весия, т.е. имеется только давление и отсутствуют касательные на­ пряжения. Гидростатическая гипотеза достаточно близко характери­ зует реальное состояние Земли. Отклонение реальной фигуры Зем­ ли (геоид) от поверхности сфероида (референц-эллипсоида) связано с Некоторым отклонением реального состояния Земли от гидростати­ ческого равновесия.

Выражение для потенциала V при наличии гидростатического

равновесия должно содержать только четные моменты / 2п, при­

чем по мере роста п они должны быстро уменьшаться по ве­

личине:

/ о \ П

				п=2	V . ( « e )	+
v	п (R	V
+ ^ I	7	/	Рп (cos ®)		(AnmcosmA + BnmsinmA) } ’ (1Л9)
п - 2 т = 1 \			4	7	\	>

где Лпт, Впт — гравитационные моменты, определяемые экспери­

ментально по траекториям искусственных спутников.

Однако измерения с помощью искусственных спутников Земли дали сенсационный результат. Оказалось, что все гравитационные

моменты	начиная с / 3 примерно одного порядка (10_6), т.е. все
моменты,	кроме / 2, оказались величинами порядка квадрата сжатия

{а2). При этом уменьшение моментов с ростом п происходит значи­

тельно медленнее, чем предполагалось.

Общий фундаментальный вывод из спутниковых данных состоит в том, что отклонение Земли от гидростатического равновесия имеет порядок величины квадрата сжатия. Легко подсчитать откло­

нение фигуры Земли от равновесной (a2R ^ 70 м).

В связи с тем что реальное гравитационное поле (и соответственно геопотенциал) состоит из слагаемых, различающихся по своей вели­ чине, оно разделяется на нормальное поле с потенциалом WQ и возмущенное (аномальное) поле с добавочным потенциалом Т. По­

тенциал сфероида (1.14), который рассматривался выше, определяет нормальное поле силы тяжести. Соответственно за нормальную фи­ гуру Земли выбирают эллипсоид вращения (сфероид, референц-зл- липсоид). поверхность которого является эквипотенциальной поверх­ ностью для нормального потенциала W . Сфероид представляет хоро­

шее приближение для геоида, отклонения высот геоида от сфероида не превышают a 2R —70 м. С помощью спутниковых данных построе­

ны карты высот геоида (ГЕОС-3 радарным альтиметром измерял непосредственно высоты в конце 70-х гг.).

Высоты геоида пропорциональны амплитудам гравитационных аномалий. Удивительно то, что аномалии не связаны с топографичес­ кими особенностями поверхности (горы, впадины и т.п.). Из этого ( it iver важнейший вывод: континентальные области изостатически скомпенсированы, т.е. материки плавают в подкоровом субстрате,

словно гигантские айсберги в полярных морях. Аномалии силы тя- >• ги вызваны какими-то флуктуациями плотности в коре и ман­

тии Земли,

Рис. 1.3. Изостатическое равновесие между корой и мантией (по В.Н. Жаркову, 1983)

Идея изостазии качественно была высказана в середине прошло­

го века, она объяснила тот удивительный факт, что наличие гор почти не сказывается на гравиметрических измерениях. Согласно принципу изостазии, легкая кора, состоящая из гранита и базальта, изостатически уравновешена на более тяжелой мантии, как показа­ но на рис. 1.3.

Получается так, что масса вещества на единицу площади, изме­ ренная вплоть до некоторой глубины, приблизительно одинакова для всей поверхности Земли.

Менее плотные, чем нижележащий субстрат, горы имеют в суб­ страте менее плотные корни. Наличие изостазии приводит к сущест­ венным особенностям строения наружных слоев Земли (рис. 1.3): земная кора как бы плавает в подстилающих мантийных породах. При реакции на короткопериодические колебания (секунды, часы, дни) мантия ведет себя, как твердое упругое тело, для медленных

движений (>104 лет) вещество мантии течет, как жидкость. Средняя вязкость мантии —1023 П.

ЗЕМ НЫ Е ПРИЛИВЫ

Приливы наблюдаются в океанах, атмосфере и в теле Земли. Именно приливы твердой Земли называются земными приливами. Из-за приливообразующей силы, которая действует со стороны Луны (и в меньшей мере Солнца), происходят периодические колебания гравитационного поля Земли и уровня земной поверхности. Амплиту­ да приливов зависит от распределения упругих свойств в недрах планеты. Сравнивая наблюдаемые амплитуды с теоретически рассчи­ танными, мы контролируем данные об упругих свойствах Земли,