Термех / Динамика_точки

Сила трения равна F = fN, нормальная реакция N = mg cosα , тогда

F = fmg cosα .

Дифференциальное уравнение после сокращения на m принимает вид

				d 2 x	= g sinα − fg cosα .
				dt 2
	d 2 x		dVx
Заменим		на		, получим
	dt 2		dt

dVdtx = g sinα − fg cosα .

Разделим переменные, умножив обе части уравнения на dt:

dVx = (g sinα − fg cosα)dt

Проинтегрировав, найдем

Vx = g (sinα − f cosα) t +С1 .

Подставив в это уравнение начальные значения t = 0, Vx =V0, получим

С1= V0.

Следовательно,

Vx = g(sinα − f cosα) t +V0 .

Заменим Vx = dxdt , получим

dxdt = g (sin α − f cosα) t +V0 .

Для разделения переменных умножим обе части этого уравнения на dt:

dx = g(sinα − f cosα) tdt +V0dt .

После интегрирования

	x = g(sin α − f cosα)	t 2	+V0t +C2 .
		2

Подставив в это уравнение значения t = 0, x0 = 0, найдем С2= 0. Окончательно,

	x = g(sin α − f cosα)	t 2	+V0t .
		2

11

Движение под действием силы, зависящей от времени.

Пусть на материальную точку действует сила F = F (t) , параллельная начальной скорости точки V0 . Движение точки будет прямолинейным.

Дифференциальное уравнение движения груза имеет вид

						d 2 x
					m			= Fx (t)
						dt	2
		Решение этого уравнения выполним в два этапа. Сначала сделаем за-
	мену	d 2 x	=	dVx	и получим дифференциальное уравнение первого порядка, в
		dt 2		dt

котором неизвестной функцией будет проекция скорости Vx на ось х:

m dVdtx = Fx (t).

Умножив обе части уравнения на dt, разделим переменные:

mdVx = Fx (t) dt.

После интегрирования получим

		m ∫
	Vx =	1		Fx (t)dt +C1 .
	На втором этапе заменим Vx			=	dx	и снова получим дифференциальное
					dt

уравнение первого порядка теперь уже относительно координаты х.

dxdt = m1 Ф +С1 ,

где Ф = ∫Fx (t)dt1 .

Снова разделим переменные:

dx = ( m1 Ф +C1 )dt ,

Проинтегрируем обе части этого уравнения и получим зависимость координаты х от времени

x = m1 ∫Фdt +C1t +C2 .

12

Для определения постоянных С1 и С2 подставим в уравнения для х и Vx начальные условия движения точки.

Движение под действием силы тяжести и силы сопротивления

Сила сопротивления пропорциональна скорости.

O

R z

М

mg

z

Рис.5

Заменим

Пусть точка из состояния покоя движется вертикально вниз под действием силы тяжести mg (рис. 1.5) и силы сопротив-

ления R = −kV .

За начало оси z, направленной вертикально вниз, выберем

начальное положение точки, тогда при t = 0, z0 = 0,	z	0 = 0 .
	&

Составим дифференциальное уравнение движения точки

md 22z = mg − kVz . dt

d 2 z		dV
	=	z	, сократим на m и, обозначив k/m = n, получим
dt 2		dt

dVdtz = g −nVz .

Для того, чтобы разделить переменные в этом уравнении, умножим обе части уравнения на dt и разделим на множитель ( g −kVz ), после чего получим

dVz

= dt .

g −nVz

∫

dVz

=

∫

dt +С1 .

gn −Vz

После интегрирования −

1

ln(g −nVz ) = t +C1 .

n

1 ln g .

Подставим начальные условия:t = 0, Vz = 0, получим,

С1

= −

1 ln(g −nVz ) = t −

1 ln g .

n

Тогда

−

n

k

Преобразуем полученное уравнение:

13

	(ln(g −nV	z	) −ln g = −nt ,	ln	g − nVz	= −nt ,	откуда	g −nVz	=e−nt .
								g
					g

Следовательно, скорость точки

Vz = gn (1−e−nt ) .

Как следует из полученной формулы, скорость падения убывает и при

	t→ ∞ принимает максимальное значение Vz = g/n =mg/k .		dz
	Для того, чтобы найти уравнение движения точки, заменим	Vz =		,
			dt

получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменной координаты z:

dzdt = gn (1−e−nt ) .

Для разделения переменных умножим обе части этого уравнения на dt, получим

	dz =		g		(1 −e−nt )dt ,
			n
						g
	∫dz = ∫							(1−e−nt )dt +C2 .
						n
Откуда	z =	g		(t +			e−nt		) +C2 .
		n						n

Подставим начальные значения t=0, z = 0 и определим C2= − ng2 . Окончательно уравнение движения материальной точки принимает вид

z = gn (t + n1 (e−kt / m −1)) .

Сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости

Материальная точка под действием силы тяжести падает вниз. На нее

действуют (рис. 1.5) силы: mg и R = −kVV , где k – постоянный коэффициент. Пусть в начальный момент скорость точки V0 = 0, ось z направим вертикально вниз, начало отсчета выберем в начальном положении точки, z0 = 0. Найдем скорость точки.

Дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось z

14

m

d 2 z

= mg −k Vz2 .

2

dt

d 2 z

dV

dVz

2

Так как

=

z

, то

m

= mg −k Vz .

dt

dt

2

dt

Сократим уравнение на m и преобразуем левую его часть, умножив и разделив ее на dz:

dVz dz

Vz dVz

, заменим

dz

,

получим

Vz dVz

k

2

,

=

Vz

=

= g −

Vz

dt dz

dz

dt

dz

m

Разделим переменные, умножив обе части этого уравнения

на dz и

разделив их на ( g −nVz2 ),

обозначим

n =

k

:

Vz dVz

m

= dz .

2

g −nVz

Интегрируем:

V dV

1

2

∫

z z

= ∫

dz +C1 ; −

ln(g

−nVz

) = z +C1 .

g −n Vz2

n

Подставим в это уравнение начальные значения z = 0, Vz = 0, получим

C1 = −1n ln g .

Тогда	1	ln	g	= z , откуда	V	z	=	g	(1 −e−nz ).
			g −nVz2					n
	n

Полученное уравнение определяет проекцию скорости материальной

точки в зависимости от ее положения. С возрастанием z величина е−nt убывает, стремясь к нулю при z → ∞. Отсюда следует, что скорость падения с возрастанием z возрастает, стремясь к постоянной величине. Эта величина

называется предельной скоростью падения Vпр =	g	=	mg .
	n		k

Движение под действием силы, зависящей от положения точки.

Пусть на материальную точку М, находящуюся на горизонтальной плоскости (рис.6), действует сила P , пропорциональная расстоянию от не-

15

подвижного центра О, коэффициент пропорциональности зависит от массы точки, поэтому силу P можно представить векторной формулой:

= k 2m OM

.

P

Проекция этой силы на ось х равна Рx= k2m x.

на расстоянии а от на-

В начальный момент точка находилась в покое

чала отсчета, т.е. при t=0, x0=a, Vx = 0.

N

На

точку,

кроме

силы отталкивания,

действуют

сила

тяжести mg и нормальная

O

М Р

x

реакция

,

проекции которых на ось х равны

x

N

нулю.

mg

Составим дифференциальное уравнение:

Рис.6

md 22x = k 2mx . dt

Сократим на m:	&&	−k	2	x =0
	x

Полученное уравнение является однородным линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим соответствующее характеристическое уравнение:

r 2 −k 2 = 0 .

Откуда r1,2 = ±k .

Учитывая, что корни характеристического уравнения являются действительными, решение дифференциального уравнения запишется в виде

x = C ekt +C		e−kt	.	(а)
1	2

Для определения постоянных интегрирования С1 и С2 нужно иметь два уравнения. Дифференцируя по времени выражение (а), получим:

&

kt

−C2 ke

−kt

.

(б)

x = C1ke

t= 0,

x0=a, x0 = 0

Подставим в (а) и (б) начальные условия

и получим

&

a =C1 +C2 ,

0 =C1 - C2.

Откуда С1 = С2 =

a

.

2

После подстановки С1 и С2

в уравнения (а) и (б)

получим уравнение

движения материальной точки

и зависимость скорости точки от времени:

x =

a

(e

kt

+e

−kt

) ,

&

=

ak

(e

kt

−e

−kt

) .

2

Vx = x

2

16

Учет силы трения.

Решим предыдущую задачу, учитывая силу трения F= - f N, где f коэффициент трения, N - нормальная реакция.

Дифференциальное уравнение движения точки в этом случае имеет вид

&&

= mk

2

x − fN .

mx

N

М

Нормальная реакция N = f mq (рис.7), тогда

F

Р

x

mx = mk

2

x − fmg .

O

&&

x

После сокращения на m получим

mg

&&+

k

2

x

=

fq .

(а)

x

Рис.7

Общее решение этого неоднородного линей-

ного дифференциального уравнения равно сумме

&&	+ k	2	x = 0 и
общего решения х1 соответствующего однородного уравнения x

частного решения х2 уравнения (а), т.е. x = x1 + x2 .

x1 =C1ekt +C2e−kt .

Частное решение х2 ищем в форме правой части уравнения (а), т.е. в виде постоянного: x2 = A , тогда &x&2 = 0 . Подставим х2 в уравнения (а), получим

	0 + k 2 A = fg	, тогда	A =	fg
				k 2

x

= C ekt +C

e−kt +

fg

(б)

Окончательно

k 2 .

1

2

Для определения постоянных С1 и С2

находим

&

kt

−C2 ke

−kt

.

(в)

x = C1ke

x0 = a, x0 = 0 ,

Подставив в (б) и (в) начальные условия t =0,

получим

&

a = C1 +C2

+

fg

, 0 = C1k −C2 k .

2

1

fg

k

Откуда C1 = C2 =

(a −

) .

2

k 2

Внесем значения С1

и С2 в уравнения (б) и (в) и

получим уравнение

движения точки и проекцию ее скорости на ось х

в зависимости от времени

x =

1

(a −

fg

)(ekt

+e−kt ) +

fg

,

Vx = x& =

k

(a −

fg

)(ekt

−e−kt ).

2

2

2

2

k

k

2

k

17

Криволинейное движение материальной точки

Пусть равнодействующая всех приложенных к материальной точке сил и начальная скорость точки лежат в одной плоскости.

Выберем эту плоскость за плоскость движения с системой координат

F	= 0	, z		=		&	=	0.	Переменными координатами являют-
Оху, тогда ∑ kz						0, z0
ся х и у. В начальный момент при									t =0, x = x0, y = y0 , x = x0 ,	y = y0 .
									& &	& &
Движение точки в этом случае определяется двумя дифференциальными
уравнениями:
	m		d 2	x		= ∑F ,
			dt	2
						kx				(9)
			d 2	y		= ∑F .
	m
			dt	2
						ky

Проинтегрировав эти уравнения, находят координаты х и у движущейся точки, как функции времени, т.е. определяют уравнения движения. Полученные решения содержат четыре постоянных интегрирования С1, С2, С3 и С4, значения которых определяются начальными условиями. Окончательно, решение дифференциальных уравнений представляют собой уравнения дви-

жения точки x = x(t),	y = y(t).
Уравнения движения	позволяют определить все кинематические харак-

теристики движения точки: траекторию, скорость, полное, касательное, нормальное ускорения и радиус кривизны траектории.

Движение точки, брошенной под углом к горизонту.

Пусть материальная точка массой m получила начальную скорость V0 , направленную под углом α к горизонтальной плоскости, при этом сопротив-

ление воздуха во внимание не принимаем.
	Поместим начало координат О			в начальном положении точки, ось Оу
направим вертикально, ось			Ох расположим горизонтально в плоскости,
у				проходящей через ось Оу и начальную
				скорость V0 (рис.8).
				На материальную точку М действу-
	V0	М		ет сила тяжести mg .
				Дифференциальные							уравнения
		mg
О	α		х	движения точки имеют вид:
						m	d 2 x		= 0, m	d 2 y	= −mg .
		Рис.8					dt	2		dt 2

18

Сделаем замену:

d 2 x

=

dV

d 2 y

=

dVy

.

x

,

dt 2

dt

dt 2

dt

После сокращения на m, получим

dV

x

= 0,

dVy

= −g.

dt

dt

Умножая обе части этих уравнений на dt и интегрируя, находим

Vx = C1,

Vy= - gt+C2.

(а)

Эти уравнения справедливы при любом значении t.

При t = 0, xo = 0, Vx = Vo cos α, Vy =Vosin α.

Следовательно, С1= Vo cos α, С2= Vo cos α.

Подставим эти значения в (а), и заменяя Vx = dxdt , Vy = dydt получим

	dx	=V0 cosα,	dy	=V0 sinα − gt. .	(б)
	dt		dt

Полученные уравнения определяют проекции скорости на оси коорди-

нат:

Vx =V0 cosα,

Vy =V0 sinα − gt.

Модуль скорости

V = Vx2 +Vy2 = V02 cos2 α +(V0 sinα − gt)2 .

(в)

Интегрируя уравнения (б), получим

x = V0 t cosα + C3, y = V0 t sinα – 0,5 gt2 + C4.

Поставим в эти уравнения начальные условия х0 = 0, у0 = 0, найдем, что С1 = С2 = = 0. Тогда окончательно определяем уравнения движения точки

М:

x = V0 t cosα, y = V0 t sinα – 0,5 gt2.

Методами кинематики определим все характеристики этого движения.

19

1. Траектория точки. Исключим из уравнений (б) время t, для этого выразим t из первого уравнения и подставим во второе:

	t =			x	,	у = xtgα −		g		x2 .	(г)
		V	0	cosα			2V 2	cos2	α
							0

Уравнение (г) является уравнением параболы.

2.Дальность полета точки. Определим дальность полета точки, положив

вэтом уравнении у = 0.

xtgα −

g

x

2

= 0

, отсюда х1 = 0, x2 =

2V0 2 cos2 α

tgα .

g

2V 2

cos2

α

0

Значение х1 дает точку О,

значение х2 определяет еще одну точку С пересе-

чения параболы с осью О х, расстояние ОС = L

определяет дальность полета

точки

2

L =

V0

sin 2α

.

g

При заданной начальной скорости максимальная дальность получается, если sin2α =1, т.е. при угле α = 450.

3.Высоту полета определим, подставив в уравнение траектории движе-

ния точки значение	x = L / 2 =				V 2		sin 2α	:
						O
							g
H	=	V 2		sin2 α
			O
				2g

4. Время полета. Подставим вместо x значение L дальности полета в уравнение x = V0 t cosα , и найдем время полета

T= 2V0 gsinα .

5.Скорость полета определяется формулой (б). После подстановки в нее время полета, получим, что скорость, в момент приземления по модулю будет равна начальной скорости.

В частности, если α = 450 , VO = 28,3 м/c, то L ≈ 81,6 м; H ≈ 20,4 м; T ≈ 4 c. Траектория движения точки для этого случая построена с помощью программы Microsoft Excel (рис.9).

20