Термех / Динамика_точки

25

20

15

10

5

0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Рис. 9

Движение точки, брошенной под углом к горизонту с учетом силы сопротивления

Материальной точке массой 2 кг сообщили начальную скорость VO = 8,3 м/c под углом 450 к горизонту. Во время движения на точку кроме силы тяжести действует сила сопротивления, пропорциональная первой степени скорости, коэффициент пропорциональности μ = 0,5.

Определить, уравнения движения точки и все ее основные кинематические характеристики,

Поместим, как и в предыдущей задаче, начало координат О в начальном положении точки, ось Оу направим вертикально, ось Ох расположим горизонтально в плоскости, проходящей через ось Оу и начальную скорость V0

	(рис.1.10).	Определим начальные условия
	y
		движения точки. Так как начало коор-
		динат выбрано в начальном положении

		V		точки, то при t = 0, xo = 0, yo = 0.
				Проекции начальной скорости на
		М
				оси координат равны
		R
	VO	mg		&		0	= 28,3	0,707 ≈ 20 м/ c;
				VOx = xO =VO cos 45
		450	x	&	0
O				V Oy= yO =VO sin 45			= 28,3 0,707 ≈ 20 м/ c.
		Рис. 1.10		&	= 20 м/ c,			&
				При t = 0, xO				yO = 20 м/ c.

Проведем анализ действующих сил. Силу сопротивления представим векторной форме

21

R = −μV ,

где μ коэффициент пропорциональности.

Проекции силы сопротивления на оси координат равны

Rx = −μVx = −μ dxdt , Ry = −μVy = −μ dydt .

Сила тяжести mg направлена вертикально и проецируется только на ось у.

Составим дифференциальные уравнения движения точки

	m	d 2 x		= −μ	dx	;
		dt	2		dt
	m	d 2 y		= −μ	dy	−mg.
		dt	2		dt

После подстановки численных значений и элементарных преобразований получим:

	d 2 x	+0,25	dx	= 0;
	dt2		dt
	d 2 y	+0,25	dy	= −9,8
	dt2		dt

(а)

(б)

Для решения первого уравнения составим характеристическое уравне-

ние r2 +0,25r = 0.

Корни этого уравнения равны

r1=0,	r2 = −0,25 .
Решение уравнения (а):
x = C1 +C2 e−0,25t ,		( в)
Тогда
Vx = dx = 0,25 C2e−0,25t .		(г)
dt
Для определения постоянных интегрирования подставим в уравнения (в)
и (г) начальные условия: t = 0, xO = 0,		xO = 20 .
		&
Из уравнения (в): С1 = - С2 .
Из уравнения (г):	20 = - 0,25 С2 ,	откуда С2 = - 80, С1= 80.
Окончательно,

x =80(1 −e−0,25t ) .

22

Vx = 0,25e−0,25t .

Решение дифференциального уравнения (б) у = у1 + у2, где у1 - решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (б),

у2 – частное решение уравнения (б). Однородное уравнение

				d 2 y	+ 0,25 dy = 0 .				(д)
				dt2			dt
Составим характеристическое уравнение: λ2 +0,25λ = 0. Корни этого
уравнения равны: λ1 =					0, λ2 = - 0,25.
Решение уравнения (д) совпадает с решением (в):
y =C3 +C4e−0,25t ,
Vy		= dy = 0,25 C4e−0,25t .
			dt
Частное решение уравнения (б):
			y2	= At + B .
	dy	2	=	A ,		d 2 y	2	= 0
						dt2
	dt
После подстановки в уравнение (б) получим
				0,25 A = −9,8 .
Следовательно, А= - 39.2.
Окончательно решение уравнения (б) принимает вид
		y = C3 +C4e−0,25t −39,2t .
Проекция скорости на ось у равна
			Vy	= dy = −0,25C4 e−0,25t −39,2 .
				dt
Подставим				в эти уравнения начальные условия t = 0,					yo = 0,
yO = 20
&

0 = C3 +C4 ,

20 = −0,25C4 −39,2.

Отсюда получаем:

С4 = 236, 8; C3 = -236,8.

Тогда

y = 236,8(1 −e−0,25t ) −39,2t,

23

Vy = dydt = −59,2 e−0,25t −39,2

Итак, движение точки в этом случае описывается уравнениями:

x=80(1 −e−0,25t ) ,

y= 236,8(1 −e−0,25t ) −39,2t .

Скорость точки определяется ее проекциями на оси координат

Vx = 0,25e−0,25t

Vy = dydt = −59,2 e−0,25t −39,2

Построим по уравнениям движения траекторию точки и с помощью полученного графика определим основные характеристики движения точки: дальность и высоту полета. График построен с помощью программы Microsoft Excel (рис.11). Как следует из графика высота и дальность полета при наличии силы сопротивления меньше, чем при движении под действием только силы тяжести.

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Рис. 11

24

Контрольные вопросы

1.Напишите дифференциальные уравнения движения материальной точки.

2.Как составить дифференциальные уравнения?

3.Сколько необходимо составить дифференциальных уравнений для описания движения точки в пространстве? На плоскости?

4.Записать дифференциальные уравнения точки, на которую действует

сила F =10t i +12 j и сила тяжести.

5.Что называется начальными условиями движения точки?

6.Какому условию должны удовлетворять действующие на точку силы и при каких начальных условиях движение точки будет прямолинейным?

7.Записать дифференциальное уравнение и его решение для прямолинейного движения точки под действием постоянной силы.

8. Записать решение дифференциального уравнения m	d 2 x		= kx .
	dt	2

9. Составить дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки под действием силы, зависящей только от скорости точки

F = −μV и получить его решение.

10.Составить дифференциальное уравнения прямолинейного движения

точки под действием силы F =12t получить его решение.

11.Как определяются постоянные интегрирования при решении дифференциальных уравнений?

Библиографический список

1.Бутенин Н.В и др. Курс теоретической механики.

Лань, 2002.- 736 стр.

2.Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. Высшая школа, 2004. – 416 стр.

3.Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. Интеграл-Пресс, 2004. – 608 стр.

4.Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. Интеграл-Пресс, 2004. – 384 стр.

25