2. Интервальное оценивание вероятности, математического

ожидания и дисперсии

После нахождения точечной оценки необходимо оценить ее погрешность, т.е. возможное расхождение между этой оценкой и значением исходной величины . Эту задачу решает интервальное оценивание. Оно состоит в нахождении доверительного интервала , который накрывает истинное значение с любой наперед заданной доверительной вероятностью (1 - ). Математически это записывается следующим образом:

= 1 –  ( 6 )

Обычно доверительный интервал строят симметрично относительно точечной оценки , т.е. равенство ( 6 ) записывается в виде:

= 1 –  ( 7 )

Это позволяет с вероятностью (1 – ) определить истинное значение в виде равенства:

где – погрешность точечной оценки .

В качестве доверительной вероятности (1 – ) обычно выбирают значения, близкие к единице (например, 0,9; 0,95; 0,99 и т. д.). Значение доверительной вероятности, равное единице выбирать бессмысленно, так как в этом случае доверительный интервал охватывает все возможные значения искомой величины .

Что же касается нахождения самого доверительного интервала, то это задача весьма сложная и не до конца решенная. Однако она значительно упрощается, если число экспериментальных данных велико. В этом случае довольно просто найти приближенный доверительный интервал, который будет тем точнее, чем больше .

В качестве таких приближенных доверительных интервалов при можно использовать следующие:

– для вероятности:

,

( 8 )

– для математического ожидания:

,

( 9 )

– для дисперсии:

,

( 10 )

В этих формулах верхний знак относится к нижней границе доверительного интервала, а нижний знак – к верхней границе. Величина находится из условия:

( 11 )

где Ф(u) - функция Лапласа

Таким образом, для нахождения приближенного доверительного интервала искомой величины необходимо сначала найти точечную оценку этой величины, затем, используя условие (11) и таблицу функции Лапласа [табл.1], определить значение и, наконец, подставив найденные величины в соответствующую формулу, рассчитать искомый доверительный интервал.

3. Оценивание распределений

В качестве распределений обычно используется плотность распределения или функция распределения . Обе эти величины можно оценить аналитически или графически. В данной работе используется графическая оценка искомых величин.

3.1. Оценивание плотности распределения

Графической оценкой плотности распределения является гистограмма . Строится она следующим образом. На ось абсцисс наносятся экспериментальные точки (рис. 1), заполняющие в совокупности некоторый интервал .

Этот интервал делится на более мелкие интервалы , называемые класс-интервалами или разрядами. Далее на каждом разряде по оси ординат откладывают величину Г(x)=, где – число экспериментальных точек, попавших в разряд , а – его длина.

Рис. 1: Построение гистограммы.

Гистограмма обладает следующими свойствами:

(площадь гистограммы)

Разряды гистограммы могут быть разной длины, но лучше, если они имеют одинаковую длину. Это делает гистограмму более точной и упрощает работу с ней. Обычно считается, что гистограмма достаточно точно описывает плотность распределения, если ,.

Кроме гистограммы в некоторых задачах большое значение имеет доверительная область для плотности распределения, соответствующая той или иной наперед заданной доверительной вероятности (1 – ). Строится доверительная область следующим образом.

Вначале находят частоты попадания экспериментальных точек в разряды гистограммы:

Затем на каждом разряде находят доверительную область для вероятности попадания исходной величины X в этот разряд. Делается это по формуле (8) с заменой величины соответственно на , где – находится из условия:

( 12 )

После этого каждую найденную доверительную область делят на длину разряда , на котором она построена, и тем самым получают доверительную область для плотности распределения на этом

разряде, соответствующую доверительной вероятности :

( 13 )

где ,

Для полноты картины необходимо построить также доверительные области и на полубесконечных разрядах.

Если плотность распределения , тогда совокупность всех построенных областей дает полную доверительную область для плотности распределения , соответствующую доверительной вероятности не меньшей, чем (1 – ) (рис. 2):

Рис. 2: Построение доверительной области для гистограммы