Добавил:

Mendeleev Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева

Предмет:

Метрология, стандартизация и сертификация

Файл:

Курсовая работа / Мостовова - Статистическая обработка экспериментальных данных - 2004 / Курсовая работа.doc

Скачиваний:

Добавлен:

04.10.2013

Размер:

1.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

3.2. Оценивание функции распределения

Графической оценкой функции распределения является эмпирическая функция распределения:

, ( 14 )

где – число экспериментальных точек, лежащих левее (рис. 3):

Рис. 3: Построение эмпирической функции распределения

Эмпирическая функция распределения обладает следующими свойствами:

–неубывающая функция аргумента

–непрерывная слева

Порядок построения доверительной области для эмпирической функции распределения.

1. По таблице распределения Колмогорова найти величину λ, соответствующую заданной доверительной вероятности (1 – ).

2. Найти максимальное расхождение D между гипотетической функцией распределения и эмпирической функцией :

D = max

3. Доверительная область для функции распределения , соответствующая доверительной вероятности (1 – ), определяется неравенством:

( 15 )

где ,

а величина находится по таблице распределения Колмогорова (табл.3) из условия:

где

При этом следует однако иметь ввиду, что функция распределения является вероятностью и, следовательно, доверительная область для нее не может распространяться ниже нуля и выше единицы

(рис. 4):

Рис. 4: Построение доверительной области для эмпирической

функции распределения.

4. Проверка гипотез о распределении

Проверку любой гипотезы всегда осуществляют по сравнению с некоторой другой гипотезой . При этом гипотезу называют основной или нулевой, а гипотезу – конкурирующей или альтернативной. Часто эти гипотезы являются противоположными, т.е. если гипотеза что-то утверждает, то гипотеза отрицает.

Общее правило для проверки гипотезы заключается в следующем. Пусть

–экспериментальные данные, которые в совокупности можно рассматривать как точку в мерном выборочном пространстве W. Если эта точка оказывается в некоторой области wW, то гипотеза считается неправдоподобной и отбрасывается. Если же точка оказывается в дополнительной области (W–w), то данная гипотеза считается правдоподобной и принимается как рабочая гипотеза. Области w и (W–w) называются соответственно критической областью и областью принятия гипотезы, а правило, согласно которому выбирается критическая область, – статистическим критерием.

Таким образом, задача проверки гипотезы фактически сводится к разработке подходящего критерия и отысканию соответствующей критической области w.

Критерий для проверки гипотезы о распределениях называется критерием согласия. Критическая область w определяется при этом следующим образом. Пусть – критерий согласия, распределение которого известно. Тогда, задав из тех или иных соображений вероятность попадания этого критерия в критическую область (так называемый уровень значимости ) и используя таблицу распределения этого критерия, находят его значение, удовлетворяющее условию:

( 17 )

Полученное значение будет, таким образом, отделять критическую область от области принятия гипотезы . После этого находят то значение величины , которое получается из экспериментальных данных при гипотезе . Если , то это означает, что экспериментальная точка попала в область принятия гипотезы , т.е. в область (W–w), и тогда гипотеза считается правдоподобной и принимается, как рабочая гипотеза. Если , то это означает, что точка попала в критическую область w, и тогда гипотеза считается неправдоподобной и отбрасывается. Таково общее правило. К этому следует добавить, что величина  обычно выбирается малой (например,  = 0.1; 0.05 или 0.01), а в качестве критерия согласия используют или критерий хи-квадрат , или критерий Колмогорова .

Критерий строится следующим образом. Пусть r – число разрядов гистограммы (включая полубесконечные разряды, на которых плотность распределения ), – номер разряда, – вероятность попадания случайной величины в й разряд при гипотезе , – число экспериментальных точек , попавших в ый разряд, – общее число экспериментальных точек, – экспериментальная частота попадания случайной величины X в й разряд. Тогда:

( 18 )

где n – число экспериментальных данных, r – число разрядов, включая полубесконечные.

Тогда формула для гипотетической вероятности попадания в i –разряд при нормальном распределении имеет вид:

- для экспоненциального распределения:

, .

Следует заметить, что распределение критерия зависит от числа степеней свободы s, которое находится по формуле:

s = r - 1 - k , ( 19 )

где k – число параметров гипотетического распределения (т.е. распределения, выдвигаемого гипотезой ). Например, если гипотетическим распределением является нормальное распределение, то k = 2, потому что это распределение имеет два параметра: и . Если гипотетическим распределением является экспоненциальное, то k = 1, потому что это распределение имеет один параметр  и т. д. Таким образом, при нахождении критического значения из условия