Решение

1. По формулам (2-4) находим точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n = 100.

2. По формулам (9,10) рассчитываем доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, предварительно задав доверительную вероятность (1 - ). Пусть, например, (1 - ) = 0,9. Тогда по формуле (11) и таблице значений функции Лапласа находим и, следовательно, искомые доверительные интервалы будут иметь вид:

3. По формуле (1) находим точечную оценку вероятности попадания случайной величины Х в интервал . Т.к. в этот интервал попало m = 12 экспериментальных значений, то искомая оценка будет равна:

4. По формуле (8) рассчитываем доверительный интервал для вероятности Р, оцененной в предыдущем пункте. Пусть в этом случае доверительная вероятность равна (1 - ) = 0,95. Тогда , и искомый интервал имеет вид:

5. Для построения гистограммы заключаем все экспериментальные данные в интервал (0,24) и разбиваем его на 12 равных разрядов, каждый длиной 2. Затем по методике, описанной в пункте 3.1 рассчитываем следующую таблицу.

Таблица 2.

Разряд ( Хi-1,Хi )	Частота попадания случайной величины Х в разряд ( Хi-1,Хi )	Значение гистограммы
( 0;2 )	0.300	0.150
( 2;4 )	0.190	0.195
( 4;6 )	0.140	0.070
( 6;8 )	0.120	0.060
( 8;10 )	0.040	0.020
( 10;12 )	0.050	0.025
( 12;14 )	0.060	0.030
( 14;16 )	0.020	0.010
( 16;18 )	0.040	0.020
( 18;20 )	0.010	0.005
( 20;22 )	0.010	0.005
( 22;24 )	0.020	0.010

График гистограммы представлен на рис. 5. Соответствующую эмпирическую функцию рассчитываем по формуле (14). Ее график представлен на рис. 6.

6. Доверительные области для плотности распределения и функции распределения находим по методике, изложенной в пунктах 3.1 и 3.2.

В данном случае общее число разрядов r равно 12 плюс один полубесконечный разряд, т.е.r = 13. Если теперь выбрать доверительную вероятность (1 - ) равную 0,99, то по формуле (12) получим .

Результирующие доверительные границы для плотности на каждом разряде гистограммы представлены в таблице 3, а их графическое изображение – на рис. 5.

Таблица 3.

Разряд ( Хi-1,Хi )	Доверительные границы для плотности распределения
( 0;2 )	0.073 .... 0.248
( 2;4 )	0.040 .... 0.182
( 4;6 )	0.026 .... 0.151
( 6;8 )	0.021 .... 0.138
( 8;10 )	0.004 .... 0.084
( 10;12 )	0.006 .... 0.091
( 12;14 )	0.007 .... 0.098
( 14;16 )	0.001 .... 0.069
( 16;18 )	0.004 .... 0.084
( 18;20 )	0.000 .... 0.060
( 20;22 )	0.000 .... 0.060
( 22;24 )	0.001 .... 0.069

Рис. 5: Гистограмма с доверительными интервалами.

Далее по таблице распределения величины (распределение Колмогорова) находим ее величину, соответствующую коэффициенту доверия (1 - ) = 0.99. Она равна = 1.6.

Затем по формуле (15) рассчитываем доверительную область для функции распределения :

где

График этой области представлен на рис. 6.

Рис. 6: Эмпирическая функция распределения

с доверительной областью.

7. Из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть экспоненциальное распределение с функцией

и с плотностью

где - оценка неизвестного истинного значения. Т.к., тои, следовательно,

Возможен случай, когда из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть нормальное распределение с функцией

и с плотностью

где Ф(u) – функция Лапласа, - исправленная дисперсия.

8. Для проверки гипотезы выберем например уровень значимости  = 0,05 и используем вначале критерий согласия. Его экспериментальное значение, согласно формуле (18), равно.

А его гипотетическое значение при выбранном уровне значимости  = 0.05 и числе степеней свободы s = 13 - 1 - 1 = 11, согласно условию (20), равно . Таким образом, и, следовательно, гипотеза по критерию согласия является правдоподобной.

Теперь проверим ту же самую гипотезу с помощью критерия согласия Колмогорова. Максимальное различие между гипотетической и эмпирической функциями распределения в этом случае равно (см. рис. 7):

= 0,058

Рис. 7: Эмпирическая и гипотетическая функции распределения.

откуда получаем экспериментальное значение критерия Колмогорова:

Гипотетическое значение того же самого критерия при уровне значимости  = 0.05 (см. таблицу Колмогорова) равно . Таким образом, и, следовательно, гипотеза является правдоподобной также и по критерию Колмогорова.