Всемирное тяготение.

1. Тело падает с уровня поверхности Земли в воображаемую вертикальную шахту, проходящую через центр Земли. Определить скорость тела, когда оно будет пролетать вблизи центра земли. Трение о стенки шахты и сопротивление воздуха движению тела не учитывать. ([1] задача 510)

2. Определить величину потенциальной энергии тела (материальной точки), находящегося в воображаемой вертикальной шахте, проходящей через центр Земли. Массу Земли считать равномерно распределенной по всему объему земного шара. ([1] задача 509)

3. Найти потенциальную энергию и силу гравитационного притяжения между однородной полой сферой массы М и материальной точкой массы m. ([1] задача 502)

4. При каких условиях движение планеты вокруг Солнца будет финитным и при каких – инфинитным? (Финитным называется движение, при котором планета остается в ограниченной области пространства и не может уходить в бесконечность. Если же область, в которой может двигаться планета, не ограничена, т.е. планета может уходить в бесконечность, то движение называется инфинитным). ([1] задача 459)

5. Показать, что если планета движется по эллипсу, то средние по времени значения ее полной и кинетической энергии связаны соотношением: . ([1] задача 468)

6. Показать, что если планета движется по кругу, то ее полная и кинетическая энергия связаны соотношением: К = Е.([1] задача 469)

7. Допустим, что в результате взрыва астероид, двигавшийся по круговой орбите вокруг Солнца, распался на два осколка одинаковой массы. Один осколок непосредственно после взрыва остановился, другой продолжал движение. По какой траектории будет двигаться второй осколок: эллиптической, гиперболической или параболической? ([1] задача 461)

8. Спутник, вращаясь по круговой траектории и радиуса (R_з– радиус Земли), получает радиальный импульс, сообщающий ему дополнительную скорость в направлении центра Земли, равную по величине скоростидвижения по круговой орбите (см. рис.). На какое минимальное расстояниеприблизится спутник к центру Земли и какова будет его скорость в этой точке? Сопротивление атмосферы не учитывать. ([1] задача 484)

9. Спутник, вращаясь по круговой орбите радиуса (R_з – радиус Земли), получает радиальный импульс, который сообщает ему дополнительную скорость , направленную от центра Земли по радиусу (см.рис.). Каково должно быть минимальное значение дополнительной скорости, чтобы спутник мог покинуть область земного притяжения? ([1] задача 483)

10. Спутник поднят ракетой-носителем вертикально до максимальной высоты, равной (R_з – радиус Земли), отсчитываемой от центра Земли. В верхней точке подъема ракетное устройство сообщило спутнику азимутальную (горизонтальную) скорость, равную по величине первой космической скорости: =, и вывело его на эллиптическую орбиту (см. рис.). Каково максимальное и минимальное удаление спутника от центра Земли? ([1] задача 480)

Гармонические колебания.

1. Представьте себе шахту, пронизывающую земной шар по одному из его диаметров. Найти закон движения тела, упавшего в шахту, учитывая изменения значения ускорения свободного падения внутри Земли. Трение о стенки шахты и сопротивление воздуха не учитывать. ([1] задача 565)

2. Через неподвижный блок с моментом инерции I (см. рис.) и радиусом r перекинута нить, к одному концу которой подвешен груз массы m. Другой конец нити привязан к пружине с закрепленным нижним концом. Вычислить период колебаний груза, если коэффициент упругости пружины равен 𝓀, а нить не может скользить по поверхности блока. ([1] задача 574)

3. Сплошной однородный диск с радиусом r = 10 см колеблется около оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через край диска. Какой длины l должен быть математический маятник, имеющий тот же период колебаний, что и диск? ([1] задача 592)

4. Тонкий однородный стержень длины l качается около оси, проходящей через конец стержня перпендикулярно к нему. Есть ли такое место на стержне, прикрепив к которому небольшое по размерам тело значительной массы, мы не изменим периода колебаний стержня? ([1] задача 597)

5. В какой точке следует подвесить однородный стержень длины l (изображенном на рисунке), чтобы частота его колебаний, как физического маятника, была максимальна? Чему равна эта частота? ([1] задача 599)

6. На горизонтально плоскости находится цилиндр с моментом инерции I (относительно продольной геометрической оси), массой m и радиусом r. К оси цилиндра прикреплены две одинаковые горизонтально расположенные спиральные пружины, другие концы которых закреплены в стене (см. рис., вид сверху). Коэффициент упругости каждой пружины равен 𝓀; пружины могут работать как на растяжение, так и на сжатие. Найти период малых колебаний цилиндра, которые возникнут, если вывести его из положения равновесия и дать возможность кататься без скольжения по горизонтальной плоскости. ([1] задача 602)