27

Здесь m – абсолютная ошибка измерения массы перегрузков. 10. Записать результаты вычислений в виде

Y1 = … ± …, Y2 = …± ….

11. Сравнить полученные значения Y1 и Y2, которые должны совпадать в пределах ошибок:

	Y −Y			≤ ( Y )2	+ ( Y )2 .
	1	2		1	2

Выполнение этого неравенства является условием выполнимости следствия (2) второго закона Ньютона.

Контрольные вопросы

1.Что называется массой тела? Что такое сила?

2.Сформулировать законы Ньютона. Какова взаимосвязь между этими законами? В каких системах отсчета они справедливы?

3.Дать определение единиц силы в системах единиц СИ и СГС.

4.При каких условиях движение тела будет равномерным, равнопеременным?

5.Как определить силу давления перегрузка на груз?

6.Что называется средней и мгновенной скоростью?

7.Дать определение среднего и мгновенного ускорения.

8.Вывести кинематическое уравнение равнопеременного движения.

9.Какие следствия второго закона Ньютона проверяются в этой работе? При каких условиях они выполняются? Как достигается выполнение этих условий в данной работе?

Библиографический список

1.Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т. 1 / И. В. Савельев. – М.:

Наука, 1989. – § 3, 4, 6–12.

2.Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский: – М.:

Высш. шк., 1989. – § 1.1–1.4, 2.1–2.5.

3.Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М.: Высш. шк., 1990. – § 1–3, 5–7.

28

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ СИЛЫ УДАРА И КОЭФФИЦИЕНТА ВОССТАНОВЛЕНИЯ

ПРИ СОУДАРЕНИИ ШАРА С ПЛОСКОЙ СТЕНКОЙ

Цели работы: измерить время соударения металлических тел, определить среднюю силу удара и коэффициента восстановления скорости.

Оборудование: массивный куб с мишенями из разных металлов, шар на подвесе, электронный секундомер.

Средняя сила взаимодействия двух тел определяется по второму закону Ньютона:

<F >=m	υ.
	t

Величину средней силы можно вычислить, если измерить время взаимодей-

ствия тел t и приращение скорости υ.
Описание установки и метода измерений
Металлический шар 1 подвешен
на тонкой проволоке (рис. 1). При
вертикальном положении нити шар
1 почти касается одной из мишеней
2. В момент удара шара о мишень
замыкается	электрическая цепь.
Продолжительность		удара	шара о
мишень определяют		электронным
секундомером 3		по	времени
замыкания	шаром	электрической
цепи.

			По второму закону Ньютона
		средняя сила взаимодействия, воз-
		никающая в момент удара шара о
Рис. 1		массивную стенку, равна
	G	m(u −υ)
	<F >=			,
где m – масса шара; uG		t
	– скорость шара после удара; υG – скорость шара
перед ударом; t – время	соударения. Скорость шара u после удара о стенку
направлена противоположно скорости υ			до удара. Поэтому

u −υ = u +υ .

29

Тогда численное значение силы взаимодействия

	F =	m(u +υ)	.	(1)
		t

Исключим из формулы (1) скорости u и υ.

Скорость шара υ перед ударом можно вычислить, если знать угол α, определяемый по шкале 4, который образует нить подвеса шара с ее вертикальным положением до удара (рис 1).

По закону сохранения энергии

mgh =	mυ2	,
	2
здесь h – высота, на которую поднят шар;		υ – скорость шара перед ударом.
Тогда
υ = 2gh ,
Из рис. 1 следует, что
l −h = lcosα			,
откуда					α
h =l(1−cosα) =2lsin				2
					2 ,
где l – расстояние от точки подвеса шара до его центра. Следовательно,
υ =2 gl sin α			.		(2)
	2

После удара шар отскочит от мишени и поднимется на высоту h', нить подвеса отклонится от вертикального положения на некоторый угол γ. По закону сохранения энергии

mgh′= mu2 2 .

Аналогично (2) определим скорость шара после удара:

u =2		gl sin		γ		.				(3)
			2
Подставив (2) и (3) в (1),получим
	2m	gl sin α+sin					γ
<F >=			2			2			.	(4)
			t

Формула (4) является расчетной.

30

Уменьшение угла отклонения нити подвеса шарика после удара его о мишень происходит потому, что удар не является абсолютно упругим, и часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию соударяющихся тел.

Потери механической энергии при ударе характеризуются коэффициентом восстановления скорости KC. Коэффициент восстановления скорости KC в случае удара шара о массивную стенку определяется по формуле

KC	= u .	(5)
	υ

Подставим (2) и (3) в (5), получим расчетную формулу для определения коэффициента восстановления

Kc = sin γ/ 2 .	(6)
sin α/ 2

В условиях опыта коэффициент восстановления скорости можно считать величиной, зависящей только от материала соударяющихся тел. Посредством

Kc можно характеризовать упругие свойства того или иного материала. Очевидно, для реальных тел всегда Kc < 1.

Порядок выполнения работы

1.Включить в электросеть электронный секундомер. Прогреть прибор в течение одной минуты.

2.Отвести шар от положения равновесия на угол α = 20–30о.

3.Отпустить шар, давая ему возможность один раз удариться о плиту.

4.Измерить угол, на который отклонится нить подвеса шара после удара его о плиту.

5.Измерить время удара электронным секундомером.

Опыт провести три раза при одном и том же угле α. Результаты измерений записать в табл. 1.

Таблица 1

Номер	Угол до	Угол	Время	Длина	Масса
опыта i	удара αi	после	взаимо–	подвеса	шара	sin	< α >	sin	< γ >
		удара γi	действия	шара l, м	m, кг		2		2
			ti , с
1
2
3
	<α>	<γ>	<t>

31

6.По найденным средним значениям <t>, <γ>, α и указанным на установке m, l вычислить среднюю силу взаимодействия шара с плитой по формуле (4).

7.Вычислить коэффициент восстановления скорости по (6), используя

средние значения <α>, <γ>.

8.Подвесить шар с противоположной стороны плиты и произвести измерения и расчеты согласно п. 1–7 для другой пары соударяющихся тел. Результаты опыта занести в таблицу.

9.Вычислить погрешность измерения силы удара по формуле

F =< F >

m 2

1

g 2

1

l 2

t 2

(cos2 α/ 2 +cos2 < γ > / 2)

(

α)

2

+

+

+

+

4(sin α/ 2 +sin <γ> / 2)

2

,

m

4

g

4

l

t

где Δα = Δγ. Записать конечный результат.

10. Сделать вывод о связи времени удара с упругими свойствами материалов соударяющихся тел.

Контрольные вопросы

1.Что такое масса тела? Что такое действующая на тело сила? В каких единицах измеряются эти величины в системе СИ и СГС.

2.Сформулируйте законы Ньютона.

3.Какие виды механической энергии существуют? Дайте их определения и вывод формул.

4.В каких единицах измеряется энергия в системах СИ и СГС?

5.При каких условиях справедлив закон сохранения механической энергии? Как он формулируется?

6.Вывести расчетную формулу для определения средней силы удара шара с плитой.

7.Какие удары называют абсолютно упругими и абсолютно неупругими? Чему равен коэффициент восстановления скорости при абсолютно упругом и абсолютно неупругом ударе?

Библиографический список

1.Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т. 1 / И. В. Савельев. – М.:

Наука, 1989. – § 7–9, 19–21, 24.

2.Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М:

Высш. шк., 1989. – § 2.1–2.5, 3.1–3.4, 5.2.

3.Трофимова Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М: Высш. шк., 1990. – § 5–13.

32

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

ИССЛЕДОВАНИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ШАРОВ

Цели работы: проверить закон сохранения импульса, определить среднюю силу удара.

Оборудование: специальная установка, металлические шары (рис. 1).

Описание установки и метода измерений

Основание 1 оснащено регулируемыми ножками 2, которые позволяют провести выравнивание прибора. В основании закреплена колонка 3, на

Рис. 1

которой зафиксированы нижний кронштейн 4 и верхний кронштейн 5. На верхнем кронштейне закреплены стержни, на которых подвешены шары. Винт 7 позволяет менять расстояние между шарами. С помощью винта 8 можно изменять длину подвески шаров. На нижнем кронштейне закреплены угольники со шкалами 9, 10 и электромагнит 11. Электромагнит можно передвигать вдоль правой шкалы и менять высоту его установки. Силу притяжения электромагнита можно регулировать винтом 12. Угольники со шкалами также можно передвигать вдоль нижнего кронштейна.

К основанию прибора привинчен цифровой микросекундомер 13, измеряющий время соударения (взаимодействия) шаров. На лицевой панели прибора расположены три клавиши: 14 (сеть) – выключатель сети; 15 (пуск) – отключение электромагнита и запуск секундомера; 16 (сброс) – включение электромагнита и подготовка микросекундомера к следующему измерению.

33

ЗАДАНИЕ № 1

Цель работы: проверить закон сохранения импульса.

В изолированной системе тел векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему (импульс системы), не изменяется с течением времени:

∑n pGi =const.

i=1

Если на тела системыG действуют внешние силы, то импульс равнодействующей внешних сил F t равен изменению импульса системы:

F t =Δ∑n pGi.

i=1

В данной работе шары, подвешенные на нитях, нельзя рассматривать как изолированную систему, но для небольшого промежутка времени, порядка времени удара, импульсом внешних сил можно пренебречь. Поэтому систему тел можно считать практически изолированной, для которой выполняется закон сохранения импульса:

где			p1 + pG2 = pG1′ + pG2′ ,
	= mυG
pG			– импульс первого шара перед ударом;
1	1	1
pG	=m υG		– импульс второго шара перед ударом;
2	2	2
pG1′	=m1υG1'		– импульс первого шара после удара;
pG2′ =m2υG2′ – импульс второго шара после удара.
В проекциях на ось OX это соотношение имеет вид

p1x + p2x = p1′x + p2′x .

Определим импульс системы px = p1x + p2x до удара и импульс системы px′ = p1′x + p2′x после удара и сравним их. Для этого рассмотрим движение шара массой m1, подвешенного на нити в поле тяготения Земли, отклонив

шар от положения равновесия на угол α1 (рис. 2). Сила натяжения нити работы не совершает, так как все время движения она перпендикулярна к траектории. Следовательно, к движению шара можно применить закон сохранения энергии

34

m1gh1 =m12υ12 ,

где h1 – высота, на которую был поднят шар; g – ускорение свободного падения; υ1 – скорость первого шара перед самым ударом.

Тогда

υ1 = 2gh1 .

Из треугольника OAB (см. рис. 2) следует

l− h1 =lcosα1,

где l – расстояние от точки подвеса шара до его центра тяжести. Определим h1:

h1 =l(1−cosα1)=2lsin2 α21 .

Следовательно,

υ1 =2 gl sin	α
	21 .	(1)

Рис. 2

Так как второй шар с массой m2 до удара находился в состоянии покоя, то импульс системы перед ударом равен

p=2m1 gl sin	α
	21 .	(2)

После упругого столкновения шаров первый шар приобретает скорость υ1′, второй шар – скорость υ2′ , которые можно узнать по углам их отклонения

α1' и α2′. (Вывод аналогичен выводу υ1):

υ′=2		gl sin α1′		,	(3)
1			2
υ′	=2	gl sin	α2′ .		(4)
2			2

В проекции на ось OX импульсы шаров после удара будут равны:

p′	=2m	gl sin	α1′	,	(5)
1x	1		2

35

p′	=2m	gl sin	α2′ .	(6)
2x	2		2

Если после столкновений первый шар будет двигаться в обратном направлении, тогда угол α1′ принимает отрицательное значение. Суммарный

импульс шаров (импульс замкнутой системы) после упругого удара будет равен

p′	= p′	+ p′	.	(7)
x	1x	2x

Сравним импульсы системы до и после удара, найденные по формулам

(2) и (7) и убедимся, что px = px′.

ЗАДАНИЕ № 2

Цель работы: определить среднюю силу удара.

Изменение импульса тела равно импульсу средней силы, действующей на тело

mυ′− mυG=< F >τ.

Применяя эту формулу для ударяемого шара массой m2, получим (в проекциях на горизонтальную ось)

m2υ2′ =<F >τ,

где υ2′ – скорость шара после удара (до столкновения шар находился в

покое); <F> – средняя сила удара; τ – длительность удара. Определим среднюю силу удара

<F >=		m2υ2′	.
		τ
Подставив сюда вместо υ′2 выражение (4), получим расчетную формулу
для средней силы удара
	2m gl sin			α′2
<F >=	2			2	,	(8)
		τ

36

где l – длина подвеса шара; α′2 – угол, на который отклоняется второй шар после удара.

Порядок выполнения работы

1.Провести корректировку осевой установки шаров. Для этого шар, который расположен выше, повернуть так, чтобы риски на шарах находились на одном уровне.

2.Регулировочными винтами установить электромагнит на выбранном расстоянии от начала шкалы и на такой высоте, чтобы его ось была продолжением черты на шаре.

3.Включить прибор в сеть.

4.Нажать клавишу «СЕТЬ» микросекундомера.

5.Отжать клавишу «ПУСК».

6.Правый шар отклонить от положения равновесия на угол α1 и удерживать его в этом положении электромагнитом. Левый шар оставить в состоянии покоя.

7.Нажать кнопку «СБРОС».

8.Нажать кнопку «ПУСК».

9.После столкновения шаров отметить углы отклонения шаров α1′ и α′2 .

10.Измерить продолжительность столкновения шаров τ.

11.Опыт повторить пять раз, выполняя пункты 4–9 при одном и том же значении α1. Результаты измерений записать в табл. 1.

12.Отжать клавишу «СЕТЬ».

13.При помощи мерной ленты определить длину l подвески шаров (от точки подвеса до центра тяжести шара).

						Таблица 1
m1 =	m2 =	m =		l =		l =
α1 =	α1 =		Число	измерений	n =
i	1	2		..............		n
α1 '						<α1 '>
α2 '						<α2 '>
τ						<τ>

13. Рассчитать средние значения и абсолютные погрешности измерений величин α1′ , α′2 , τ по общим формулам

<x>=∑nxi ,

37

	x =t(α, n)	1	n	(x	−< x >)2
		n(n−1) ∑i=1				,
				i

где x – измеряемая величина, n – число измерений, t(α, n) – коэффициент Стьюдента. Учесть техническую погрешность (абсолютную погрешность измерительной шкалы) xт.

14. По формулам (2), (5), (6) и (7) определить импульсы шаров px , p1′x ,

p2′x и p′x до и после столкновения, подставляя средние значения углов

отклонения <α1'> и <α2'>.

15. Вычислить погрешности измерения импульсов по соответствующим формулам:

m 2

1

g

2

1

l

2

1 ctg2 <α1 >

(Δα )2 ,

p = p

1

+

+

+

m1

4

g

4

l

4

2

1

m

2

2

2

′

2

p′

=

p′

1

+1

g

+1

l

+1 ctg2

<α1

> Δα ′

,

1x

( 1x (

m1

g

l

4

2

1

4

4

p2′x

=| p'

|

m2 2

+1

g 2

+1

l 2

+1 ctg2 <α2′ >

Δα ′ 2 ,

2x

m2

4

g

4

l

4

2

2

px′ = (

p1′x )2 +(

p2′x )2 .

Углы необходимо

выражать

в радианах;

l

равно

цене

деления мерной

ленты; Δα1 – цене деления шкалы.

16. Сравнить полученные значения px и px', которые должны совпадать в пределах ошибок измерений при выполнении следующего неравенства:

p'	≤	(	p'	2		p′	2	(9)
					+		.
x			1x )
						2x

17. Вычислить среднюю силу удара по формуле (8), подставляя в нее

<α2'> и <τ>.

18. Вычислить абсолютную погрешность измерения силы удара по формуле

38

m

2

2

2

2 <α2

′

>

2

F =F

2

+

1

g

+

1

l

+

1

ctg

(Δα2

′ 2

Δτ

. (10)

2

4

4

l

4

2

)

+

m

g

τ

19. Результаты измерений записать в табл. 2.

Таблица 2

<α1 '> =

, Δα1 ' =

<α1 '> =

, Δα2 ' =

<τ> = , Δτ =

p = ,

p =

p'

=

,

p'

=

Записать неравенство (9)

F =

F =

Контрольные вопросы

1.Что такое сила и масса тела? В каких единицах они измеряются?

2.Сформулировать законы Ньютона. Какова взаимосвязь между этими законами?

3.Что такое импульс тела? Вывести закон сохранения импульса.

4.Какова связь закона сохранения импульса с законами Ньютона?

5.Какие существуют виды механической энергии? Сформулировать закон сохранения механической энергии.

6.Какие превращения энергии происходят при столкновении тел?

7.В каких единицах измеряется энергия в СИ и СГС?

8.Вывести расчетные формулы (2), (6), (7).

Библиографический список

1.Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.:

Высш. шк., 1989. – § 1, 2, 5.

2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М.: Высш. шк., 1994. – § 9, 15.

3.Савельев, И. В. Курс физики в 3-х т. Т. 1 / И. В. Савельев. – М.: Наука, 1989. – § 15–24.

39

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПУЛИ

Цель работ: измерить скорость пули динамическим и кинематическим методами.

Оборудование: баллистический маятник, шкала, пружинный пистолет, линейка.

ЗАДАНИЕ № 1

Цель работы: определить скорости пули с помощью баллистического маятника.

Описание установки и метода измерений

Баллистический маятник представляет собой цилиндр массой M, подвешенный на двойном бифилярном подвесе (рис. 1).

На некотором расстоянии от цилиндра по его оси укреплен пружинный пистолет. В центр неподвижного маятника производят выстрел. Горизонтально летящая пуля попадает в маятник и застревает в нем (абсолютно неупругий удар). В результате удара маятник с пулей приобретает некоторую скорость.

Так как в горизонтальном направлении внешние силы отсутствуют (силой трения мы пренебрегаем), то на основании закона сохранения импульса можно записать

Рис. 1

mυ = (M + m)υ1 ,

(1)

где m – масса пули; υ – скорость пули; υ1 – скорость маятника с пулей сразу после удара.

Чтобы определить скорость υ1, необходимо применить закон сохранения механической энергии. В результате приобретенной механической энергии маятник отклонится от вертикали на некоторый угол α, а все его точки поднимутся на высоту h (рис. 1). В момент наибольшего отклонения маятника его кинетическая энергия полностью превратится в потенциальную энергию:

12(M +m)υ12 =(M +m)gh.

40

Тогда

υ1 = 2gh .

Подставив (2) в (1),найдем выражение для скорости пули:

υ = Mm+m 2gh .

Из прямоугольного треугольника АКО (рис. 1) имеем

	AK2 = S2 =l2 −(l −h)2 =2lh +h2 .
Так как l >> h, то S2 ≈2lh ,
и	h =	S2	.
		2l

(2)

(3)

Подставив найденное значение h в выражение (3), получим для скорости пули формулу

υ =	M + m	S	g	.	(4)
	m		l

Формула (4) является расчетной. Величины S, l определяют экспериментально.

Порядок выполнения работы

1.Масса пули и маятника указаны на установке.

2.Измерить линейкой расстояние l от точки подвеса до точки крепления нити к маятнику.

3.Привести маятник в состояние равновесия и определить положение указателя по шкале.

					Таблица 1
Номер	Смещение	(Si − <S>)2	Масса маят-	Масса	Длина
опыта, i	Si , м		ника М, кг	пули m, кг	подвеса l, м
1
2
3
4
5
t(α,n)	<S>, м	∑(Si −<S>)2	M, кг	m, кг	l, м

41

4.Установить маятник так, чтобы его ось совпадала с осью ствола пистолета и произвести пять выстрелов одной и той же пулей, каждый раз отмечая смещение указателя по шкале. Результаты измерений записать в табл. 1.

5.Вычислить скорость пули по формуле (4), подставив среднее значение смещения <S>.

6.Вычислить квадрат абсолютной погрешности измерения смещения маятника:

S =

Sсл2 +

Sап2 .

7. Вычислить относительную ошибку измерения скорости:

M 2

M 2

m 2

s 2

1

g 2

1

l 2

ε=

+

m +

s

+

4

g

+

4

l

.

M +m

M +m

8. Найти абсолютную ошибку:

υ=ευ .

9.Результат измерения записать в виде

υ=...±....

Контрольные вопросы

1.Что называется импульсом тела?

2.Какая система называется замкнутой, или изолированной?

3.Сформулируйте закон сохранения импульса. Какова связь этого закона с законами Ньютона?

4.Какие существуют виды механической энергии?

5.В каких единицах измеряется энергия в системах единиц СИ и СГС?

6.Сформулируйте закон сохранения механической энергии?

7.Какие силы называются потенциальными и непотенциальными?

8.Какова связь законов сохранения энергии и импульса со свойствами пространства и времени?

9.Как найти изменение механической энергии неизолированной диссипативной системы?

10.Какие превращения энергии происходит в данной работе?

11.Выведите расчетную формулу.

42

ЗАДАНИЕ № 2

Цель работы: определить скорость пули кинематическим методом.

Так как скорость пули в этой работе мала, и сопротивлением воздуха можно пренебречь, то ее можно определить кинематическим методом.

Выстрел из пружинного пистолета производится в горизонтальном направлении (рис. 2). Движение пули вдоль оси X является

	равномерным, поэтому дальность полета
Рис. 2	s = υ0 xt.	(1)

где υ0x – начальная скорость вылета пули, t – время полета. В вертикальном направлении на пулю действует сила тяжести, движение равноускоренное с

	υ0y = 0. Поэтому высота	gt2
	h= y =			.		(2)
		2
	Из (1) и (2) следует, что		g
	υ0x =s				.	(3)
			2h

Формула (3) является расчетной.

Порядок выполнения работы

1.Сделать 5 выстрелов из пистолета, расположенного на столе, в ящик с песком или лист бумаги, расположенный на полу. После каждого выстрела по отметке пули на песке, или на листе, измерить дальность полета s.

2.Измерить высоту h.

			Таблица 1
Номер	si , м	(si − <s>)2 , м2	h, м
опыта
1
2
3
4
5
t(α, n)	<s>	∑(si − <s>)2 ,	h, м

3. Результаты измерений s и h записать в табл. 1.

43

4. Вычислить скорость пули υ0x по формуле (3), подставив в нее среднее значение дальности полета пули <s>.

5. Вычислить квадрат абсолютной ошибки измерения s

s2 = t2 (α−, n) ∑(si −<s >)2 , n(n 1)

где t(α,n) – коэффициент Стьюдента для надежности α = 0,95 и числа измерений n = 5.

6. Вычислить относительную погрешность измерения скорости

			2		1			2		1			2
		s					h						.
ε=				+					+			g
		s										g
					4		h			4

7. Найти абсолютную погрешность

υ0x = ε<υ0x>.

Результат измерения записать в виде

υ0x = <υ0x> ± υ0x.

Сравнивая значения скоростей, найденных с помощью баллистического маятника и кинематическим методом для одного и того же пистолета и пули, убедиться в закономерной взаимосвязи уравнений динамики и кинематики.

Контрольные вопросы

1.Что такое средняя и мгновенная скорость, среднее и мгновенное ускорение, тангенциальное и нормальное ускорение?

2.Получить уравнение траектории пули. Определить время полета пули.

3.Определить скорость и ее направление при приземлении пули.

4.Определить нормальное и тангенциальное ускорение пули при вылете

иприземлении.

5.Определить радиус кривизны траектории при вылете и приземлении

пули.

Библиографический список

1.Савельев, И. В. Курс физики в 3-х т. Т. 1 / И. В. Савельев. – М.: Наука, 1989. – § 15–24.

2.Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.:

Высш. шк. 1989. – § 5.

3.Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М.: Высш. шк., 1990. – § 9, 12–15.

44

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВИКА

Цель работы: определить момент инерции маховика динамическим методом и силу трения в подшипниках.

Оборудование: маховик, груз, штангенциркуль, секундомер, линейка.

Описание установки и метода измерений

Маховик состоит из массивного диска и шкива, насаженных на вал. Вал закреплен в подшипниках. На шкиве намотана нить (на некоторых установках роль шкива выполняет вал), к свободному концу которой подвешен груз (рис. 1). При падении груза его потенциальная энергия превращается в

Рис. 1

тическую энергию поступательного движения груза и кинетическую энергию вращающегося маховика. Так как в подшипниках постоянно существует сила трения, то механическая энергия системы не остается постоянной. По закону изменения энергии изменение механической энергии равно работе сил трения: E = Aтр.

Для момента времени, когда груз опустится с высоты h1, на которую он был поднят, согласно закону изменения энергии имеем

				Jω
mυ		2
			+	2		=F h	,	(1)
mgh −
1	2			2		тр 1

где υ – скорость груза; ω – угловая скорость маховика; J – момент инерции маховика относительно оси вращения; m – масса груза.

После того, как нить полностью размотается, маховик, вращаясь по инерции, поднимет груз на высоту h2 < h1. По закону изменения механической энергии убыль потенциальной энергии равна работе против силы трения при опускании и поднятии груза:

mgh −mgh =F (h +h ) .			(2)
1	2	тр 1 2

45

Из уравнения (2) находим силу трения в подшипниках

h −h		(3)
Fтр =mg h1	+h2 .
1	2

Так как равноускоренное движение груза начинается из состояния покоя, то

υ =at	и h	=	at2	,	(4)
	1	2

где t – время опускания груза с высоты h1. Из формул (4) имеем

	2h
υ =	t1 .	(5)

Считаем, что нить нерастяжимая и ее проскальзывание на шкиве отсутствует. В этом случае скорость опускания груза равна линейной скорости точек боковой поверхности шкива. Угловая скорость маховика связана с линейной скоростью точек боковой поверхности шкива, а значит и груза, соотношением

ω=υ =2υ ,	(6)
r D

где D – диаметр шкива. Подставив (5) в (6), получим

ω=	4h1	(7)
	Dt .

Подставляя в (1) выражения (3), (5), (7) и решив полученное уравнение относительно момента инерции маховика, получим

J = mD2					gt	2	h2
									−1 .	(8)
					(h +h )
4		h
				1	1			2
Для нашей установки
	gt			2h				1.
					2
	h (h			+h )
1		1			2

С учетом этого неравенства выражение (8) принимает вид

	46
	mD2 gt2h
J =	4h1(h1 +h22) .	(9)

Формула (9) является расчетной. Из нее видно, что для определения момента инерции маховика необходимо измерить величины m, D, t, h1 и h2.

Порядок выполнения работы

1.Отрегулировать длину нити так, чтобы груз не касался основания штатива.

2.Измерить штангенциркулем диаметр шкива, определить массу груза

m. Результаты записать в табл. 1.

3.Вращая маховик, поднять груз, висящий на нити, на высоту h1 от нижнего положения груза.

4.Отпустить маховик и одновременно включить секундомер. В момент, когда нить полностью размотается, секундомер выключить.

5.Измерить высоту h2, на которую поднимается груз вследствие враще-

ния маховика по инерции. Записать время t падения груза с высоты h1. Опыт повторить пять раз, опуская груз с одной и той же высоты h1. Результаты измерения занести в табл. 1.

Таблица 1

Номер	Время	(ti − <t>)2	Высота	(h2 i −<h2 >)2	Высота	Диаметр	Масса
опыта	ti , c		подъема		опускания	шкива	m, кг
			h2 i , м		h1 , м	D, м
1
2
3
4
5
t(α,n)	<t>	∑(ti –<t>)2	<h2 >	Σ(h2 i – <h2 >)2	h1 , м	D, м	m,кг

6.По формуле (3) вычислить силу трения в подшипниках.

7.По формуле (9) вычислить момент инерции маховика, подставляя средние значения времени <t> и высоты <h>.

8.Вычислить относительную погрешность

			2			2					2 2			2		(	2h	+ h		2	h	2
	4	D		+4	t				1			h1		h2			1	2	)		1
ε=							+								+			2						, (10)
														2
									+ h
		D			<t >		h						h2					h1
								1	2

47

где t2 и h22 определяются по формуле квадрата абсолютной ошибки для прямых многократных измерений

t2 =	t2 (α, n)	∑(ti − < t >)2	и	h22 =	t2 (α, n)	∑(h2i − < h2 >)2 .	(11)
	n(n −1)				n(n −1)

В формуле (10) не учтены относительные погрешности m и g как малые величины по сравнению с относительными погрешностями других величин.

9. Вычислить абсолютную погрешность J =εJ .

10. Результат записать в виде

J = ... ± ... (кг·м2).

Контрольные вопросы

1.Что называется моментом инерции точки тела относительно оси вращения? От чего зависит момент инерции тела? Какую роль он играет во вращательном движении?

2.Сформулировать закон сохранения и изменения механической энер-

гии.

3.Вывести формулу кинетической энергии для тела, движущегося поступательно и вращательно.

4.Дать определение угловой и линейной скорости, углового и тангенциального ускорения. Какова связь между этими величинами? Как они направлены?

5.Назвать вид движения маховика и груза, подвешенного к нити. Записать кинематические и динамические уравнения движения груза и маховика.

6.Вывести расчетную формулу.

7.Вывести формулу для момента инерции маховика без учета силы

трения.

Библиографический список

1.Савельев, И. В. Курс физики в 3-х т. Т. 1 / И. В. Савельев. – М.: Наука, 1989. – § 28, 32, 33.

2.Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.:

Высш. шк., 1989. – § 3.2, 3.3, 4.1, 4.2.

3.Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М.: Высш. шк., 1990. – § 3, 16, 17.

48

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА

Цель работы: определить момент инерции маятника экспериментально и сравнить его с теоретическим значением.

Оборудование: маятник Максвелла с комплектом колец.

Описание установки и метода измерений

Устройство установки показано на рис. 1. Основание 1 оснащено регулируемыми ножками 2, которые позволяют произвести выравнивание прибора. В основании закреплена колонка 3, к ней прикреплены неподвижный

	верхний кронштейн 4 и подвижный
	кронштейн 5. На верхнем кронштейне
	находятся электромагнит 6, фото-
	электрический датчик 7 и винт для
	закрепления и	регулирования длины
	подвеса маятника. Нижний кронштейн
	вместе с прикрепленным к нему
	фотоэлектрическим датчиком 9 можно
	перемещать вдоль колонки и фиксиро-
	вать в выбранном положении.
	Маятник Максвелла представляет
	собой диск 11, закрепленный на оси
	10. Ось подвешена на двух нитях 12.
	На диске можно закреплять различные
	кольца, изменяя этим момент инерции
	системы. Длину маятника можно
	определить по миллиметровой шкале
	13 на колонке прибора. Для этого на
	нижнем кронштейне есть указатель,
	который помещен на высоте светового
	луча нижнего	фотоэлектрического
Рис. 1	датчика.
	Маятник	удерживается в верх-

нем положении электромагнитом. Нажатием кнопки «ПУСК» отключается электромагнит и включается электросекундомер 14. Электросекундомер отключается, как только опускающийся маятник перекроет световой поток, падающий на нижний фоторезистор.

В данной работе определяют момент инерции маятника Максвелла. Для вывода расчетной формулы применим закон сохранения энергии, считая

49

движущийся маятник консервативной системой. Наматывая на ось маятника

нить подвеса, поднимем его на высоту h. При этом маятник приобретет потенциальную энергию П = mgh, где m – масса маятника.

При раскручивании нити опускающийся маятник движется поступательно и одновременно вращается вокруг своей оси. При этом потенциальная энергия маятника превращается в кинетическую энергию. По закону сохранения энергии для момента времени, когда маятник опустится с высоты h, имеем

mgh=	mυ2	+	Jω2	,	(1)
	2		2

где υ – скорость поступательного движения маятника; J – момент инерции маятника относительно своей оси; ω – угловая скорость вращательного движения маятника.

Так как равноускоренное движение маятника начинается из состояния покоя, то

			a	2
υ = at , h=			t		,
			2
где t – время опускания маятника с высоты h.
Тогда
υ =	2h	.			(2)
	t

Угловая скорость вращающегося маятника связана с линейной скоростью точек боковой поверхности оси соотношением

ω=υ =	2υ	,	(3)
rо Dо

где Do – диаметр оси маятника. Подставляя (2) в (3), получим

ω=	4h	.	(4)
	D t
	о

Заменив в соотношении (1) линейную скорость υ и угловую скорость ω соответственно выражениями (2) и (4), получим выражение для момента инерции маятника

	J =1 mD2		(	gt2	−1).	(5)
				2h
	4	о

50

Для нашей установки

(5) примет вид

gt2 >>1, с учетом этого неравенства выражение

2h

	J =	mgD2t2	.	(6)
		о
		8h

Таким образом, для определения момента инерции маятника Максвелла нужно измерить величины m, D, h, t.

Порядок выполнения работы

1.На диске маятника укрепить произвольно выбранное кольцо.

2.Произвести корректировку установки маятника, обращая внимание на то, чтобы его ось была параллельна основанию прибора.

3.Включить прибор в сеть.

			Таблица 1
Номер	Время	(ti − <t>)2, с2	Параметры установки
опыта	ti, с
1			Масса диска mд =
2			Диаметр диска Dд =
3			Масса кольца mк =
4			Диаметр кольца Dк =
5			Масса оси маятника mо =
t(α, n)	<t>, с	∑(ti − <t>)2	Диаметр оси маятника Dо =
			Высота опускания h =

4.Нажать клавишу «СЕТЬ». Проверить, все ли индикаторы измерителя высвечивают цифру «нуль», и засветились ли лампочки обоих фотоэлектрических датчиков.

5.Отжать кнопку «ПУСК» электросекундомера.

6.Намотать на ось маятника нить подвеса, обращая внимание на то, чтобы она наматывалась равномерно, виток к витку.

7.Зафиксировать маятник в верхнем положении при помощи электромагнита (клавиша пуск должна быть отжата).

8.Нажать кнопку «СБРОС».

9.Нажать кнопку «ПУСК».

10.Результаты измерений записать в табл. 1.

11.По вертикальной колонке определить длину маятника, равную

высоте h, с которой он опускается.

51

12. Вычислить массу маятника по формуле:

m=mо+mд +mк,

где mо, mд, mк – массы оси маятника, диска и кольца, указанные на соответствующих элементах.

13.По формуле (6) вычислить момент инерции маятника, подставляя среднее значение времени <t>.

14.Вычислить относительную погрешность

2

D 2

t 2

h 2

,

ε=

m

o

m

+4

+4

+

D

t

h

o

подставляя сюда <t>.

Погрешность измерения времени вычислить по формуле случайной абсолютной ошибки при прямых многократных измерениях для надежности

α= 0,95. Ошибкой (g) пренебречь (взять g = 9,81).

15.Вычислить абсолютную погрешность

J =εJ .

Результат записать в виде

J= (... ± ...), кг·м2

снадежностью α = … и относительной погрешностью ε = ….

16.Сравнить полученное в опыте значение момента инерции маятника с

теоретическим значением Jт, вычисленным по формуле

Jт =Jо+Jд +Jк.

Значения отдельных моментов инерции вычислить по формулам

J	=1m D2 ,
о	8 о о
Jд =81mд(Dо2 +Dд2 ),		(7)
Jк =1mк (Dд2 +Dк2 ).
8

52

Здесь mо, mД, mк – массы оси маятника, диска и кольца; Dо, Dд, Dк – внешние диаметры оси маятника, диска и кольца.

Контрольные вопросы

1.Что называется моментом инерции материальной точки? От чего зависит момент инерции тела? Какую роль он играет во вращательном движении?

2.Что называется моментом силы относительно точки, неподвижной оси? Как определить направление момента силы?

3.Дать определение угловой скорости и углового ускорения. Как определить их направления?

4.Какова связь между линейными и угловыми скоростями и ускорения-

ми?

5.Сформулировать основной закон динамики вращательного движения.

6.Вывести формулу кинетической энергии вращающегося тела.

7.Вывести формулу момента инерции диска (цилиндра).

8.Вывести расчетную формулу (5); вывести формулы (7).

Библиографический список

1.Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.:

Высш. шк., 1989. – § 4.1–4.3.

2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М.: Высш. шк., 1990. – § 4, 16–18.

3.Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т. 1 / И. В. Савельев. – М.:

Наука, 1989. – § 29, 38, 39, 41.

53

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА СИЛЫ ТРЕНИЯ

Цели работы: построить для маховика график зависимости углового ускорения β от момента силы натяжения Мн и определить из него момент

силы трения Мтр и момент инерции маховика J.

Оборудование: маховик, штангенциркуль, набор грузов, секундомер, линейка.

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения угловое ускорение прямо пропорционально сумме моментов внешних сил, действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции тела

G	JJG
β=	∑Mi	.	(1)
	J

JJJG

Здесь ∑Mi – векторная сумма моментов сил, которую называют резуль-

тирующим моментом сил; J – момент инерции тела.

В настоящей работе экспериментально изучается эта зависимость.

Описание установки и метода измерений

Маховик состоит из диска 1 и шкива 2, насаженных на вал (рис. 1). Вал может вращаться около горизонтальной оси

OO'. На шкив намотана нить, к свободному концу которой подвешен груз 3.

При падении груза маховик начинает вращаться с угловым ускорением β.

Результирующий момент, создающий это ускорение, складывается из момента Мн силы натяжения нити и момента Мтр силы трения в подшипниках вала. Так как направления этих моментов противоположны, то уравнение (1)

можно представить в виде								Рис. 1
	Mн−Mтр		M	н		Mтр
β=		=			−		.	(2)
	J		J			J

Если момент инерции маховика и момент силы трения остаются постоянными, то зависимость углового ускорения от момента силы натяжения линейная и графически изображается прямой линией (рис. 2).

54

Из уравнения (2) следует, что при покоящемся маховике (β = 0) Мн = = Мтр. Только когда момент силы натяжения становится больше максимального момента силы трения покоя, маховик начинает вращаться равноускоренно. Прямая на графике пересекает ось абсцисс (рис. 2) в точке, которая определяет Мтр. Угловое ускорение маховика β можно найти, зная

тангенциальное ускорение aτ точек боковой поверхности шкива, которое равно ускорению

Рис. 2	a падающего груза:
	β=aτ =2aτ ,		(3)
	r	D

где r и D – радиус и диаметр шкива.

Так как груз движется из состояния покоя равноускоренно, то
a =	2h	,	(4)
	t2

где h – путь, пройденный грузом за время t.

Подставив выражение (4) в уравнение (3), получим формулу, по которой можно рассчитать на опыте угловое ускорение маховика

β=	4h	.	(5)
	Dt2

Модуль момента силы натяжения числено равен произведению силы натяжения Fн на плечо силы, которое является радиусом шкива:

Mн =Fнr =Fн D2 .

Силу натяжения нити найдем, рассматривая движение груза 3. На него действуют сила тяжести P и сила реакции нити F1. По второму закону Ньютона P − F1 = ma , где m – масса подвешенного к нити груза.

Учитывая, что сила натяжения нити, действующая на шкив и сила реакции, действующая на груз, одинаковы по величине (Fн = F1), получим

Fн =P−ma =m(g −a).

Тогда

M	=mD	(g−a).	(6)
н	2

55

Подставив в уравнение (6) выражение (4) для ускорения a, получим формулу

M =	mD		2h			,	(7)
	2	g−	t	2
н

по которой можно рассчитать на опыте момент силы натяжения нити, действующей на маховик.

Порядок выполнения работы

1.Измерить штангенциркулем диаметр D шкива.

2.Вращая маховик, поднять висящий на нити груз на высоту h. Измерить высоту с помощью линейки (отсчет вести по нижнему основанию груза).

3.Отпустив маховик и, одновременно включив секундомер, определить время t опускания груза с высоты h. Измерение времени провести три раза. Результаты опыта занести в табл. 1.

								Таблица 1
Номер	Масса	Высота	Время t, c				Момент силы	Угловое
опыта	m, кг	h, м					натяжения	ускорение
i			t1	t2	t3	<t>	Мн, Н· м	β, с−2
1
2
3
4
5

4.Повторить опыт с пятью различными грузами. Массы грузов указаны

на них.

5.По формулам (5) и (7) вычислить для каждого груза угловое ускоре-

ние β и момент силы натяжения Мн, их значения записать в табл. 1. (При вычислении в формулы подставлять среднее значение времени <t>.)

6. Результаты опыта изобразить графически на листе миллиметровой бумаги. Для этого по оси ординат в определенном масштабе отложить значения β, а по оси абсцисс также в определенном масштабе – значения Мн (масштабы по осям координат выбираются независимо друг от друга и должны быть нанесены на координатные оси). Полученные точки соединить прямой линией. Проводить прямую следует так, чтобы она лежала как можно ближе к точкам и по обе ее стороны оказывалось приблизительно равное их количество (см. рис. 3).

56

7. Продлить прямую до пересечения с осью абсцисс, определить по графику момент силы трения.

Для определения момента инерции маховика нужно на экспериментальной прямой взять точки A и B и провести через них прямые, параллельные осям координат (рис. 3). Момент инерции рассчитать по формуле

Рис. 3	J =	M	−M	1 .
		β2−β
		2	1

8. Записать окончательные результаты опыта

Мтр. = .....; J = ..... .

Контрольные вопросы

1.Что называется моментом инерции материальной точки? Единицы его измерения. От чего зависит момент инерции тела? Какую роль он играет во вращательном движении?

2.Что называется моментом силы относительно точки, неподвижной оси? Как определить направление момента силы? В каких единицах он измеряется?

3.Дать определения угловой скорости и углового ускорения. Как определить их направления?

4.Какова связь между линейными и угловыми скоростями и ускорения-

ми?

5.Вывести основное уравнение динамики вращательного движения.

6.Какие силы сообщают вращающий момент маховику?

7.Почему движение подвешенного к нити груза и вращение маховика являются равноускоренными?

8.Вывести расчетные формулы (5) и (7).

9.Объяснить, как графически находят момент силы трения и момент инерции маховика.

Библиографический список

1.Детлаф, А.А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.:

Высш. шк., 1989. – § 4.1–4.3.

2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М: Высш. шк., 1990. – § 4, 16, 18.

3.Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т. 1 / И. В. Савельев. – М.:

Наука, 1989. – § 28, 32, 33.

57

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9

ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Цель работы: проверить прямо пропорциональную зависимость между угловым ускорением β и моментом силы M при постоянном моменте инерции J и обратно пропорциональную зависимость между β и J при M = const.

Оборудование: маятник Обербека, штангенциркуль, цифровой электросекундомер.

Описание установки и метода измерений

Маятник Обербека (рис. 1) представляет собой маховик, которому придана крестообразная форма. На четырех стержнях насажены грузы одинаковой массы m0, которые могут быть закреплены на различных расстояниях R от оси вращения. На общей оси с маховиком насажены два шкива. На тот или иной шкив намотана нить, к свободному концу её, переброшенному через блок, прикреплен груз

массой m. Под действием груза нить разматывается без скольжения и приводит маховик в равноускоренное вращательное движение.

Рассмотрим силы, действующие на груз. На груз действуют две силы: сила

тяжести P = mg и сила натяжения нити Fн. Спроецируем эти силы на ось X, которую направим вертикально вниз. Напишем

второй закон Ньютона для поступа-
тельного движения груза	Рис. 1
ma = mg − Fн.	(1)

Так как масса нити пренебрежимо мала, то согласно третьему закону Ньютона, сила натяжения нити Fн', действующая на маховик, равна силе натяжения (реакции) нити Fн, действующей на груз:

|Fн'| = |Fн|.

(2)

На маятник Обербека действуют момент силы натяжения Mн' нити и

момент силы трения Mтр в подшипниках.

Основной закон динамики вращательного движения относительно оси,

58
перпендикулярной плоскости рисунка, выразится уравнением
Mн' − Mтр = Jβ,	(3)

где J – момент инерции маятника Обербека; β – его угловое ускорение.

Так как в нашем опыте Mтр << Mн', то уравнение (3) можно заменить уравнением

Mн = Jβ.

(4)

Момент силы натяжения равен произведению силы натяжения Fн' на плечо силы, являющееся радиусом шкива r:

	Mн' = Fн'·r = Fн'·D/2,			(5)
	где D – диаметр шкива.
	Из уравнения (1)
	Fн = m(g − a).			(6)
	С учетом (2) и (6) формула (5) примет вид
	Mн = m(g −a)	D	.	(7)
		2

Груз движется вниз равноускоренно, поэтому пройденный путь h определяется уравнением кинематики

h =	at2
	2 ,	(8)

из которого выражаем линейное ускорение

a =	2h	.	(9)
	2
	t

Расчет ускорения по формуле (9) показывает, что в условиях нашего опыта a<<g, поэтому уравнение (7) упрощаем до вида

MН	= mg	D	.	(10)
	2

Угловое ускорение β связано с линейным (тангенциальным) ускорением точек боковой поверхности шкива, равным ускорению груза m, соотношением

β = ar .

Тогда, учитывая (9), получим

	59
β =	2a	=	4h	.	(11)
	D		2
			Dt

Из уравнения (4) следует, что при J = const в случае действия на маховик двух различных моментов сил M1 и M2 отношение этих моментов прямо пропорционально отношению угловых ускорений

	M1	=	β1 .	(12)
	M2
			β2

Согласно уравнениям (10) и (11) при D = const и h = const

	M1		=		m1		= X1,		(13)
	M2				m2
	β		=	t2		= X		2 .
		1		2					(14)
	β			2
		2		t
				1

Для проверки равенства (12) необходимо по результатам опыта определить отношение моментов сил по формуле (13) и отношение угловых ускорений по формуле (14) и сравнить эти отношения.

Для определения отношений (13) и (14) нужно изменять вращающий момент, подвешивая к нити грузы разной массы m1 и m2, не изменяя положения грузов m0 на стержнях.

Согласно (4), угловое ускорение β обратно пропорционально J при M = = const.

Если построить график зависимости 1/β = f(J) при M = const, то его линейность должна подтвердить обратно пропорциональную зависимость β от J. Величину, обратную β, найдем из (11):

	1	=	Dt2	.	(15)
	β		4h

Момент инерции маятника Обербека может быть определен как сумма моментов инерции крестовины со шкивом и грузов m0. Если размеры грузов малы по сравнению с расстоянием R от центра груза до оси вращения, то их моменты инерции можно определить как моменты инерции материальных точек. Таким образом,

J = J0 + km0 R2 ,

(16)

где J0 – момент инерции крестовины со шкивом; m0 – масса груза; k – количество грузов.

60

Из формулы (16) следует, что момент инерции маятника Обербека можно изменить, меняя количество грузов на крестовине и их расстояние до оси вращения.

Порядок выполнения работы

1.Определить массу грузов m1 и m2 (m1 взять примерно вдвое больше m2). Определить высоту h, с которой будут опускаться грузы.

2.Укрепить на крестовине грузы m0 на одинаковых наибольших расстояниях R = R1. Добиться того, чтобы маятник находился в безразличном равновесии (по равновесию маятника в двух положениях при горизонтальном расположении каждой пары стержней).

Таблица 1

Номер	Время	Время	Время	Время	Время	Время	Параметры
опыта	t1 i , c	t2 i , с	t3 i , с	t0 i , с	t4 i , c	t5 i , c	маятника
1							m0 = …, кг
2							m1 = …, кг
3							m2 = …, кг
<tn>, с							h = …, м
							D = …, м
1/β, с−2
							R1 = …, м
	2		2	0	2	2
km R2	4m0 R1		2m0 R1		2m0 R2	4m0 R2	R2 = …, м
0

3. Определить расстояние R1 (см. рис. 1). Для этого надо измерить высоту l0 цилиндрического груза m0, диаметр шкива D, расстояние l1 от груза m0 до шкива. Вычислить R по формуле

R = l1 + l0/2 + D/2.

Результаты измерений п. 1 – 3 записать в табл. 1.

4.Вращая маятник, намотать нить на шкив и поднять груз m1 на высоту h. Затем отпустить маятник и измерить время t1 опускания груза. Опыт повторить три раза. Результаты записать в таблицу.

5.Заменить груз m1 на m2 и повторить измерения, приведенные в п. 3. Измеренное время t2 записать в таблицу. По результатам измерений вычислить средние значения <t1> и <t2>.

6.По формуле (13) вычислить отношение моментов сил, а по формуле

(14), используя средние значения <t1> и <t2>, вычислить отношение угловых ускорений. Сравнить полученные отношения.

Если

| x1 − x2 | ≤ ( x1 )2 +( x2 )2 ,

61

то (12) выполняется. Для вычисления x1 и x2 смотрите обработку результатов измерений.

7.Оставляя массу подвешенного груза неизменной (m1), измерить время t3 опускания груза для двух симметрично расположенных грузов m0 на крестовине маятника, и время t0 опускания груза для маятника без грузов m0.

8.Установить расстояние R2 примерно на 5 см меньше R1 и измерить время t4 и t5 для двух и четырех грузов m0 соответственно. В каждом случае опыт провести три раза. Результаты измерений записать в табл. 1 и 2.

9.По формуле (15) для каждого случая определить 1/β, подставляя <tn>. Построить график зависимости 1/β от J, располагая неизвестное J0 в начале координат. Для построения графика использовать данные двух последних

строк в таблице, кроме данных для времени t2. По виду графика сделать вывод о характере зависимости 1/β от J.

Контрольные вопросы

1.Что называется моментом инерции материальной точки? От чего зависит момент инерции тела? Какую роль он играет во вращательном движении?

2.При любом ли расположении грузов на крестовине их можно считать точечными?

3.Что называется моментом силы относительно неподвижной оси? Как определить его направление? В каких единицах он измеряется?

4.Дать определение угловой скорости и углового ускорения.

Как направлен вектор угловой скорости?

5. Какова связь между линейными и угловыми скоростями и ускорения-

ми?

6.Какая сила сообщает вращающий момент маятнику?

7.Вывести основной закон динамики вращательного движения. Как он записывается для маятника Обербека?

8.Какова цель работы? Сформулируйте цель работы.

Библиографический список

1.Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.:

Высш. шк., 1989. – § 4.1–4.3.

2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М.: Высш. шк., 1990. – § 4, 16, 18.

3.Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т. 1 / И. В. Савельев. – М.:

Наука, 1989. – § 28–32.

62

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: определить момент инерции тела, используя трифилярный подвес.

Оборудование: трифилярный подвес, секундомер, штангенциркуль, образец для измерения.

Описание установки и метода измерений

Твердое тело, подвешенное на упругой нити, будет совершать крутильные колебания, если его повернуть на некоторый угол относительно вертикальной оси, совпадающей с нитью подвеса, и затем отпустить. Такие колебания происходят под действием упругих сил, возникающих при закручивании нити. Период гармонических крутильных колебаний зависит от упругости нити и момента инерции колеблющегося тела.

Вданной работе метод крутильных колебаний осуществляется путем применения трифилярного подвеса.

Трифилярный подвес состоит из диска массой m, радиусом R (рис. 1), подвешенного на трех симметрично расположенных нитях длиной l. Наверху эти нити закреплены по краям диска меньшего радиуса r. При повороте диска на небольшой угол относительно вертикальной оси, проходящей через его центр, все три нити принимают наклонное положение, и диск начинает совершать крутильные колебания.

Впроцессе колебания диска его центр массы перемещается по оси

вращения (рис. 1). Обозначим через h = h1 – h2 высоту, на которую поднимается центр массы диска при наибольшем отклонении его от положения равновесия. При этом потенциальная энергия диска

Eп =mgh.

При возвращении диска к положению равновесия его потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию вращательного движения

Eк = J2ω2 .

В момент прохождения положения равновесия кинетическая энергия принимает максимальное значение

E =	Jω2	,
	0
к	2

где J – момент инерции диска, ω0 – максимальная угловая скорость диска.

63

Если пренебречь трением, то на основании закона сохранения энергии можно записать в виде

	Jω2	=mgh	(1)
	0
	2

Рис. 1

При малых углах поворота диска (4–6°) колебания можно считать гармоническими. Тогда угловое смещение диска от положения равновесия будет изменяться с течением времени по закону

ϕ=ϕ0 sin 2Tπt ,

где φ0 – амплитуда углового смещения, T – период колебания диска. Мгновенная угловая скорость вращения определяется как первая произ-

водная углового смещения ϕ по времени t

ω=ddϕt =2Tπϕ0 cos 2Tπt .

В момент прохождения диском положения равновесия угловая скорость диска максимальна и равна

ω =2πϕ .			(2)
0	T	0
Из формул (1) и (2) получим
J =	mgh	T 2.	(3)
	2π2ϕ2
	0

64

Найдем величину h при повороте диска на угол φ0. Будем считать, что h1 + h2 ≈ 2l . Тогда (см. рис. 1)

h =h	−h	=	h12 −h22			≈h12−h22 .	(4)
1	2		h	+h	2	2l
		1

Из рисунка следует, что

h12 =l2 −(R −r)2 ;

h22 =l2 −(DB)2 =l2 −(R2 +r2 −2Rrcosϕ0 ).

Подставив h12 и h22 в формулу (4),найдем
			2Rrsin2	ϕ
	Rr(1−cosϕ0 )			0		.
h=		=		2
	l		l

Вследствие малости угла ϕ0 синус его можно заменить самим углом. Тогда

h=Rr2ϕl 02 .

Подставив значение h в формулу (3),получим

J		=mgRr T	2 .	(5)
	д	4π2l	д

Формула (5) является расчетной для вычисления момента инерции диска. Величину периода колебаний диска Тд измеряют в ходе опыта, а остальные величины указаны на установке.

Если на диск положить тело произвольной формы так, чтобы центр массы его лежал на оси, вокруг которой совершаются колебания, то момент

инерции всей системы Jc определится по формуле

	J	c	=	(m+mт)gRr	T 2	,	(6)
				4π2l
					c

где mт – масса положенного на диск тела; Tc – период колебаний системы.

С другой стороны, момент инерции этой системы равен сумме моментов инерции диска и тела:

Jс = Jд + Jт.

65

Таким образом, если из опыта по формулам (5) и (6) вычислить моменты инерции диска и системы, то момент инерции тела

Jт = Jc − Jд.

(7)

Порядок выполнения работы

1.Поворотом нижнего диска привести систему в колебательное движение. Следите за тем, чтобы центр масс диска не смещался в сторону, т. е. перемещался вертикально. Амплитуда колебаний не должна превышать 4– 6°.

2.Секундомером измерить время tд для 20 полных колебаний (n) и

вычислить период колебаний T = tд/n. Измерение повторить 5 раз. Результаты записать в табл. 1. Вычислить среднее значение периода <T>.

						Таблица 1
Номер	Число ni	Время	Время	Период	Период	Параметры
опыта	колебаний	tд, с	tc, с	Tд, с	Tc, с	установки
1						R =
2						r =
3						l =
4						mд =
5						mT =

3. По формуле (5) определить момент инерции диска Jд, подставляя среднее значение периода. Измерить (l, R, r). Значение m указано на установке. R и r равны радиусам дисков, если нить подвеса проходит через край диска. В противном случае за R и r надо брать расстояние от центров дисков до точки подвеса.

4.Вычислить момент инерции диска по формуле Jд = mR2/2 и сравнить с экспериментальным результатом, полученным по формуле (5).

5.Поместить тело, момент инерции которого будем определять, на диск так, чтобы его центр массы находился на оси, вокруг которой совершаются крутильные колебания.

6.Провести измерения согласно п. 1–3 и вычислить Jc по формуле (6).

7.Определить момент инерции тела по формуле (7).

8.Вычислить относительную погрешность измерения момента инерции

диска

ε =

m 2

g 2

R 2

r 2

+4

T 2

l 2

+4

Δπ 2

m

+

g

+

R

+

r

T

+

l

π

.

66

Подумайте, погрешностью каких величин можно пренебречь в приведенной формуле?

9. Найти абсолютную погрешность

J =εJ.

Результат записать в виде

J = ... ± ... .

Контрольные вопросы

1.Что называется моментом инерции материальной точки? От чего зависит момент инерции тела? Какую роль он играет во вращательном движении?

2.Вывести формулу момента инерции диска.

3.Что представляют собой крутильные колебания?

4.Какие колебания называют гармоническими? Что такое амплитуда, фаза, период, частота? Напишите кинематическое уравнение гармонических колебаний.

5.Что называется угловой скоростью? Как найти мгновенную угловую скорость при гармонических крутильных колебаниях?

6.Вывести формулу кинетической энергии вращающегося тела.

7.Вывести расчетную формулу (5).

Библиографический список

1.Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т. 1 / И. В. Савельев. – М.:

Наука, 1989. – § 28, 31, 32; 1977. – § 38, 39, 41, 49, 53.

2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М: Высш. шк., 1990. – § 16, 140, 141.

3.Сивухин, Д. В. Общий курс физики в 5-ти т. Т. 1 / Д. В. Сивухин. – М.: Физматлит МФТИ, 2005. – § 42.

67

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ МАЯТНИКОМ-СТЕРЖНЕМ

Цели работы: построить график зависимости периода колебаний маятника-стержня от расстояния между верхним концом стержня и осью качания; вычислить ускорение свободного падения.

Оборудование: маятник-стержень, секундомер.

Описание установки и метода измерения

Большинство косвенных методов измерения ускорения свободного падения g основано на использовании формулы для периода гармонических колебаний физического маятника

T =2π	J	,	(1)
	mga

где J – момент инерции маятника относительно оси качания (точки подвеса), m – масса маятника, a – расстояние от центра массы до оси качания (см. рис. 1). Однако формула (1) непосредственно для вычисления g не используется, так как момент инерции J и расстояние a обычно не могут быть измерены достаточно точно. Поэтому применяются такие методы, которые позволяют исключить данные величины из расчетной формулы для вычисления g.

В данной работе это достигается путем использования физического маятника в форме длинного стержня.

Маятник представляет собой однородный стержень (рис. 1) с опорной призмой П, которую можно перемещать вдоль стержня и закреплять в любом его месте. Для определения положения призмы на стержне нанесена шкала с делениями через 1 см.

Период колебаний маятника, который выражается формулой (1), можно записать в виде

	L ,	Рис. 1
T =2π		(2)
	g

где L = maJ называется приведенной длиной физического маятника.

68

Момент инерции стержня относительно оси качания запишем по теореме Штейнера:

J = J	0	+ma2 ,	(3)

где J0 – момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр массы C (середину стержня) параллельно оси качания.

Для стержня

J0 =	ml2 .
	12

Для любого тела момент инерции J0 можно представить в виде

J	0	=ma2 .	(4)
		0

Величина a0 называется радиусом инерции и имеет определенное значение для каждого тела. Для стержня

a0 = l / 12 ≈l / 3.

Используя формулы (3) и (4), получим выражение для приведенной длины

L =a02 +a a2 =aa02 +a,

и периода колебаний

T =2π	a2 +a2	.
	0ga

Таким образом, приведенная длина и, следовательно, период колебаний маятника-стержня являются функциями расстояния от центра массы до оси качания.

Из этих формул видно, что L и T стремятся к бесконечности при двух значениях a: при a→0 и при a→∞. Для определения значений при которых период является экстремальным, найдем производную dL/da и приравняем ее к нулю:

ddLa =−aa022 +1=0,

69

откуда a = ± a0. Значит, T = Tmin, если опорная призма закреплена на рас-

стоянии a0 ≈ l/3 от середины стержня. Второе расстояние a = a0 означает, что если перевернуть стержень, то для точек подвеса, симметричных относи-

тельно середины стержня, периоды
колебаний будут одинаковы.
Из графика (рис. 2) видно, что при
увеличении или уменьшении расстояния a
по сравнению с a0 период колебания
увеличивается. Поэтому одно и то же
значение периода, большее, чем Tmin,
маятник может иметь при двух положе-
ниях опорной	призмы: при	a1 <a0		и
a2 >a0 . Для	этих положений	опорной
призмы будут одинаковы и приведенные
длины маятника, что следует из формулы (2):								Рис. 2
		a2	+a2		=	a2	+a2	,
	L1 =L2 =L = 0		a1	1		0	2
							a2
откуда a1a2 =a02 . Тогда		L =a1 +a2 .						(5)

Приведенная длина (рис. 2) L = MN + MK. Очевидно, что другому периоду колебаний будет соответствовать другая приведенная длина.

После подстановки (5) в (2) получим

T =2π	a1 +a2	,
	g
откуда
g =4π2 a1 +a2 .			(6)
	T 2

Данная формула (6) является расчетной для вычисления ускорения свободного падения. Значения L =a1 +a2 и T определяют по эксперименталь-

но построенному графику. Для этого опорную призму перемещают вдоль стержня и для каждого ее положения измеряют период колебаний.

При проведении опыта и построении графика вместо расстояния a удобнее брать расстояние от конца стержня до призмы, которое на рис. 1 обозначено х.

Рис. 3

70

Порядок выполнения работы

1. Опорную призму укрепить на конце стержня. Поместить маятник ребром опорной призмы на подставку и привести в колебательное движение так, чтобы амплитуда колебаний не превышала 6°. Это означает, что наибольшее отклонение нижнего конца стержня от положения равновесия не должно превышать 0,1 расстояния от конца до опорной призмы.

2. Определить секундомером время t десяти полных колебаний. Значения х и t записать в табл. 1.

				Таблица 1
				Период
Номер	Расстояние	Число	Время
опыта i	x, м	колебаний n	t, с	колебаний T, с
1
2
3
…

3. Перемещать опорную призму к середине стержня через 0,01 м, измеряя для каждого ее положения время 10 полных колебаний и занося результаты измерения в табл. 1.

Измерения можно прекратить после того, как получится, что время cовершения 10 полных колебаний стало больше времени, полученного при самом первом измерении, когда опорная призма находилась на конце стержня.

Перевертывать маятник и определять периоды для различных положений призмы на другом конце стержня нет необходимости.

4. Вычислить периоды колебаний Т по формуле Т = t/n и занести в табл. 1.

5. Построить график T = f(x). Для этого по оси абсцисс откладывают расстояние х от

конца стержня до опорной призмы, а по оси ординат – значение периода. Масштаб по оси ординат следует выбрать по возможности больше,

чтобы точнее определить по графику величины L и T. Для этого за начало отсчета по оси ординат нужно взять не нуль, а некоторое значение периода, меньшее Тmin, но близкое к нему.

Отметить на оси абсцисс середину стержня и провести через эту точку прямую, параллельную оси ординат. В итоге получится график, показанный на рис. 3.

71

6. По графику определить для 5 различных значения периода колебаний T маятника соответствующие им значений приведенной длины маятника L

(5). Для этого нужно провести 5 прямых, параллельных оси абсцисс так, чтобы каждая прямая пересекала построенную кривую в двух точках. Значения периода Т и приведенной длины L, определенные для каждой такой прямой, записать в табл. 2.

				Таблица 2
Номер	Период коле-	Приведенная	Ускорение	(gi − <g>)
опыта i	баний T, с	длина L, м	gi , м/с2
1
2
3
4
5
t(α, n)			<g>	∑(gi − <g>)

7. По формуле (6) вычислить g для каждого измерения и найти среднее значение <g>

< g >= 1 ∑n gi . n i=1

8. Вычислить относительную погрешность по формуле

ε= 4 ππ 2 +2 a1 +aa2 2 +4 TT 2 .

Здесь a = a1 = a2. Для нахождения T необходимо произвести измерения T 5 раз для одного из значений x и вычислить абсолютную погрешность по формуле

T = t(α,n)	1 ∑(Ti − <T >)2		,
		n
	n(n −1)	i=1

где t(α, n) – коэффициент Стьюдента.

9. Вычислить абсолютную погрешность

g = ε·<g>.

72

10. Записать конечный результат в виде

g = ... ± ... .

Контрольные вопросы

1.Какие колебания называются гармоническими? Дать определение их основных характеристик (амплитуды, фазы, периода, частоты, циклической частоты). При каких условиях колебания физического маятника можно считать гармоническими?

2.Что называется физическим маятником?

3.Вывести формулу периода колебаний физического маятника.

4.Что называется приведенной длиной физического маятника? Вывести формулу (5).

5.Как определить координату точки подвеса, для которой период колебаний минимальный? Проверьте, соответствует ли расчетное значение экспериментальному?

6.Что называется моментом инерции материальной точки? Как вычислить момент инерции твердого тела? Сформулировать теорему Штейнера.

7.Вывести расчетную формулу (6).

8.Почему для определения g не пользуются непосредственно формулой периода колебаний маятника?

Библиографический список

1.Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.:

Высш. шк., 1989. – § 4.3, 27.1, 27.2.

2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М: Высш. шк., 1990. – § 16, 140, 141, 142.

3.Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т. 1 / И. В. Савельев. – М:

Наука, 1989. – § 39, 53, 54.

73

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 12

ПРУЖИННЫЙ МАЯТНИК

Цели работы: проверить закон Гука; определить жесткость пружины статическим и динамическим способами.

Оборудование: пружина с линейкой, набор грузов, секундомер.

Краткие теоретические сведения

Под влиянием внешних сил всякое твердое тело деформируется, т. е. изменяет свою форму и размеры. Упругой называется деформация, исчезающая с прекращением действия силы. Так, упруго растянутая пружина принимает свою прежнюю длину после прекращения действия растягивающей силы. С изменением знака силы меняется и знак упругой деформации. Например, если под влиянием растягивающей силы пружина удлиняется, то под влиянием сжимающей силы она укорачивается.

По закону, установленному английским физиком Р. Гуком, величина деформации х пропорциональна действующей силе F: х F.

Под абсолютно твердым телом подразумевается такое тело, которое нисколько не деформируется под влиянием приложенных к нему сил.

В природе нет неизменных, абсолютно твердых тел. Любое тело под действием сил испытывает большую или малую деформацию. Если при устранении внешних сил деформация исчезает, то тело называют упругим. Вообще под упругостью подразумевают присущее телам стремление восстанавливать измененную внешними силами форму. Одно и то же тело в зависимости от внешних условий (например температуры или давления) может быть упругим или неупругим (пластичным). Так, с хорошей первоначальной упругостью стальная пружина по мере повышения температуры становится всё более пластичной.

Если на упругое тело действуют какие-либо внешние силы, то, согласно третьему закону Ньютона, и со стороны упругого тела на внешние тела действуют такие же, но противоположно направленные силы. Эти силы называют упругими силами. Поэтому закон Гука можно выразить и таким образом: при малых деформациях сила упругости пропорциональна деформации. Например, рассмотрим растянутую пружину. Если её длину из недеформированного состояния увеличили на х, то согласно закону Гука сила

упругости пружины
Fупр, х = − kх,	(1)

где коэффициент k называется коэффициентом упругости или коэффициентом жесткости пружины. Поставив в (1) х = 1, получим k = Fупр, х.