74

Это означает, что коэффициент упругости численно равен силе, которую надо приложить к пружине, чтобы её длина увеличилась на единицу длины. Знак минус показывает, что сила упругости направлена в сторону, противоположную смещению (удлинению или сжатию). Сила упругости пропорциональна смещению из положения равновесия и направлена к положению равновесия.

Силы, не упругие по своей природе, но аналогичные им по виду зависимости от смещения, называются квазиупругими силами. К таким силам относятся, например, сила связи в атомах между ядром и так называемыми оптическими электронами.

Груз на пружине, если отклонить его от положения равновесия и отпустить, будет совершать колебания около положения равновесия. Такая система носит название пружинного маятника. Колебания груза совершаются по закону синуса или косинуса и поэтому являются гармоническими. Уравнения колебаний, выражающие собой зависимость смещения груза от времени, имеют вид

х = Asin(ωt + α)

или

(2)

х= Acos(ωt + α′).

Вэтих уравнениях А – амплитуда колебаний, т. е. величина наибольшего смещения груза от положения равновесия. Её значение зависит от величины первоначального отклонения или толчка, которым груз был выведен из

положения равновесия. Постоянные величины α, α' представляют собой значения фазы в начальный момент времени t = 0 и называются начальной

фазой колебания. Величина ω есть круговая частота колебаний, она численно равна числу колебаний за 2π секунд. Продолжительность одного полного колебания называется периодом колебания Т. Период колебаний связан с круговой частотой соотношением

Т = 2π/ω.

Для определения зависимости ω от k запишем второй закон Ньютона для груза на пружине

ma = Fупр, х = − kх.

(3)

Продифференцировав дважды функцию (2) по времени, получим

а = − ω2 Acos(ωt + α) = − ω2 x.

(4)

После подстановки (4) в (3) находим

		75
	k		m
ω =		и Т = 2π		.	(5)
	m		k

Последняя формула выражает период собственных колебаний пружинного маятника, который зависит только от свойств колеблющейся системы: от массы груза и коэффициента упругости пружины.

В данной работе делается проверка справедливости закона Гука и определяется коэффициент упругости пружины. При этом определение коэффициента упругости k делается двумя способами: из закона Гука (статический способ) и из измерений периода колебаний маятника (динамический способ). Совпадение значений k, найденных различными способами, будет указывать на правильность теории пружинного маятника.

Описание установки и метода измерений

Установка (рис. 1) состоит из пружины, верхний конец которой закреплен неподвижно, а на нижнем конце подвешен груз. К пружине прикреплён указатель, перемещающийся вдоль линейки при деформации пружины. В комплект установки входит также набор грузов различной массы.

Порядок выполнения работы

ЗАДАНИЕ № 1

Рис. 1

Цель работы: проверить закон Гука.

1. К нижнему концу пружины подвешивать разные грузы массы mi и по положению указателя на линейке отмечать вызванные ими удлинения пружины хi. Измерения выполнить для пяти различных грузов. Результаты измерений записать в табл. 1.

				Таблица 1
Номер	m, кг	mg, Н	х, м	<k>, Н/м
груза
1
2
3
4
5

76

2. Построить график зависимости удлинения пружины x от силы тяжести mg, действующей на грузы, используя данные табл. 1. Из условия равновесия груза на пружине следует, что Fупр равна силе тяжести mg, поэтому проверка прямо пропорциональной зависимости между удлинением пружины x и mg будет являться проверкой закона Гука.

ЗАДАНИЕ № 2

Цель работы: определить коэффициент упругости методом пружинного маятника.

1. По графику зависимости x = f(mg) определить коэффициент упругости k, используя формулу k = (mg)/ x.

2.Вывести груз из положения равновесия и измерить секундомером время t, в течение которого груз совершает n колебаний. Число отсчитываемых колебаний желательно делать не менее 10. Измерения с одним грузом повторить 5 раз.

3.Вычислить период колебаний T = t/n.

4. Как отмечалось выше, T =2π m / k . Отсюда k = 4π2m/T2.

По этой формуле определить k. Данные занести в табл. 2.

5. Сравнить результаты для средних значений упругости <k> пружины, полученные статическим и динамическим способами. Сделать вывод.

					Таблица 2
Номер	mi, кг	ti, c	n	Ti, c	<ki>, H/м
опыта i
1
2
3
4
5

Вычислить абсолютную погрешность измерения коэффициента упругости динамическим способом по формуле k = ε<k>, где относительная погрешность ε равна:

ε=		Δπ 2			m		2		T 2	.
	4			+			+4
					m
		π							T

77

Контрольные вопросы

1.Что такое колебание?

2.Дайте определение обычной и циклической частоты колебаний. Какова связь между ними?

3.Что такое упругость?

4.Какая сила называется упругой, квазиупругой?

5.Что называют коэффициентом упругости?

6.Какие колебания называются гармоническими?

7.Запишите кинематическое уравнение движения гармонического колебания.

8.Дайте определения амплитуды, фазы колебаний.

9.Напишите формулу зависимости скорости МТ от времени при гармонических колебаниях.

10.Напишите уравнения связи амплитуды скорости и амплитуды смещения при гармонических колебаниях МТ.

11.Напишите формулу зависимости ускорения МТ от времени при гармонических колебаниях.

12.Напишите уравнения связи амплитуды скорости и амплитуды ускорения при гармонических колебаниях МТ.

13.Напишите уравнения связи амплитуды смещения и амплитуды ускорения при гармонических колебаниях МТ.

14.Напишите дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний МТ.

15.Напишите дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний МТ.

16.Как изменится период колебаний пружинного маятника, если пружины соединить последовательно, параллельно?

17.Как работает пружинный динамометр?

Библиографический список

1.Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.:

Высш. шк., 1989. – § 27.1, 27.2.

2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М.: Высш. шк., 1990. – § 140–142.

3.Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т. 1 / И. В. Савельев. – М.:

Наука, 1986. – § 14, 53, 54.

78

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 13

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ ОБОРОТНЫМ МАЯТНИКОМ

Цели работы: определить приведенную длину оборотного маятника и вычислить ускорение свободного падения.

Оборудование: оборотный маятник, секундомер.

Краткие теоретические сведения

Большинство косвенных методов измерения ускорения свободного падения g основано на использовании формулы для периода гармонических колебаний физического маятника

T =2π	J	.	(1)
	mga

Здесь J – момент инерции физического маятника относительно оси качания (точки подвеса), m – масса маятника, а – расстояние от оси качания до центра масс.

Величина Jma = L называется приведенной длиной физического маятника. Тогда

T =2π	L .	(2)
	g

Формула (1) для вычисления g обычно не используются, так как измерение а и J представляет большие трудности.

Применение оборотного маятника, который является частным случаем физического маятника, позволяет обойти эти трудности, потому что предлагаемый метод дает возможность определить ускорение свободного падения g без измерения момента инерции J и расстояния а.

Оборотный маятник (рис. 1) состоит из стержня, на котором закреплены опорные призмы П1 и П2. Между опорными призмами закреплен груз А. Второй груз В можно перемещать по стержню и закреплять в любом месте между призмой П2 и концом стержня.

Особенностью оборотного маятника является то, что в нем можно найти две такие точки, лежащие по разные стороны от центра масс С, что при последовательном подвешивании маятника за ту или другую точку период колебаний его остается одним и тем же.

Можно показать, что расстояние между этими точками равно приведенной длине маятника L.

79

Преобразуем формулу (1). Подставим в нее по теореме Штейнера выражение

J = J0 + ma2 ,

где J0 – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс С параллельно оси качаний, а величины J, m, a те же, что в формуле (1).

Тогда

T =2π	J	+ma2	.
		0
		mga

Если маятник совершает колебания на призме П1, то период колебания

	J	0	+ma2
T =2π			1	.	(3)
1		mga1

Если маятник перевернуть и заставить качаться на призме П2, то период колебания

						J	0		+ma2
T =2π											2	.	(4)
	2						mga2
Из (3) и (4) имеем
T12ga1 −T22ga2 =4π(a12 −a22 ),
g =		4π2 (a12 −a22 )									.		(5)
		T	2	a	−T			2		a
	1			1			2			2

При перемещении грузов изменяется положение центра масс С (см.

рис. 1) и, следовательно, изменяются величины а1 и а2. Можно добиться такого положения грузов на стержне, при котором T1 = T2 = T в пределах точности эксперимента.

Тогда (5) имеет вид

g =4π	2 a1 + a2 .	(6)
	T 2

Докажем, что расстояние l = a1 + a2 между опорными призмами оборотного маятника при T1 = T2 = T равно приведенной длине L. Из (6) имеем

80
T =2π	a1 +a2			.	(7)
		g
Сравнив формулы (2) и (7), видим, что, L = a1 +a2. Расчетная формула
для ускорения свободного падения имеет вид
g =4π2		L	.		(8)
	T 2

Сущность работы состоит в том, чтобы найти такое положение грузов на стержне, при котором периоды колебаний на призмах П1 и П2 были равны. Тогда, измерив величину периода T и приведенную длину оборотного маятника L = a1 + a2, по формуле (8) можно найти g.

Описание установки и метода измерений

В основании 1 (рис. 1) закреплена колонка 2, на ней зафиксирован верхний кронштейн 3 и нижний кронштейн 4 с фотоэлектрическим датчиком 5. Нижний кронштейн можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в любом положении.

Оборотный маятник выполнен в виде стального стержня 6, на котором находятся две призмы 7 и два груза 8. На стержне через 1 см нанесены деления для определения приведенной длины маятника. Призмы и грузы можно перемещать вдоль стержня и фиксировать в любом положении.

Рис. 1

Порядок выполнения работы

1. Закрепить один груз вблизи конца, а другой – вблизи середины стерж-

ня.

2.Закрепить призмы так, чтобы они были обращены друг к другу. Одну из них поместить вблизи свободного конца стержня, а другую – примерно на половине расстояния между грузами. Проверить, совпадают ли основания призм с делениями на стержне.

3.Закрепить маятник на вкладыше верхнего кронштейна на призме П1, находящейся вблизи конца стержня.

4.Нижний кронштейн вместе с фотодатчиком установить так, чтобы стержень маятника пересекал световой поток фотодатчика.

81

5.Отклонить маятник на угол не более 4–5° от положения равновесия и отпустить.

6.Нажать клавишу «СБРОС» секундомера 9, при этом начинается отсчет времени t и числа полных колебаний n.

7.После подсчета измерителем n полных колебаний нажать клавишу «СТОП». Результаты измерений записать в табл. 1.

8.Определить период колебаний маятника T1

T1 = tn1 ,

где t1 – продолжительность колебаний.

9. Снять маятник, закрепить его на второй призме П2 и определить период колебаний T2:

T2 = tn2

10. Сравнить периоды колебаний T1 и T2.

Если T2 > T1 , то вторую призму переместить в направлении груза, находящегося на конце стержня.

Если T2 < T1 , то переместить вторую призму в направлении середины стержня.

Положение груза А и первой призмы П1 не менять!

11.Повторно измерить период T2 и сравнить с величиной T1.

12.Изменять положение второй призмы до момента получения равенст-

ва T2 = T1 с точностью до 0,5 %.

Результаты всех измерений записать в табл. 1.

						Таблица 1
n1 i	t1 , с	T1 , с	n2 i	t2 , с	Т2 , с		L, м
1			1
2			2
3			3
…			…
i			i

13.Измерить приведенную длину оборотного маятника L, принимая ее равной расстоянию между опорными призмами.

14.Определить ускорение свободного падения по формуле (8) и обработать результаты измерений.

82

Контрольные вопросы

1.Какие колебания называются гармоническими? Дать определения их основных характеристик (амплитуды, фазы, периода, частоты, циклической частоты).

2.Как представить гармонические колебания с помощью вращающегося вектора?

3.Как найти скорость и ускорение при гармоническом колебании?

4.Написать основное уравнение динамики гармонического колебания.

5.Что называется физическим маятником?

6.Вывести формулу периода колебания физического маятника.

7.Что называется приведенной длиной физического маятника?

8.Что называется моментом инерции материальной точки? Как вычислить момент инерции твердого тела? Сформулировать теорему Штейнера.

9.Вывести расчетную формулу (8).

Библиографический список

1.Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.:

Высш. шк., 1989. – § 4.3, 27.1, 27.2.

2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М: Высш. шк., 1990. – § 16, 140–142.

3.Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т. 1 / И. В. Савельев. – М.:

Наука, 1986. – § 39, 53, 54.

83

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 14

ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ

Цели работы: наблюдать собственные колебания гибкой однородной струны, натянутой между двумя неподвижными точками; исследовать зависимость скорости распространения поперечных колебаний (скорости, с которой передвигается возмущение по струне) от натяжения струны.

Оборудование: установка для изучения колебаний.

Краткие теоретические сведения

Если натянуть струну и возбудить в ней колебания, то по струне побегут волны, которые, отражаясь от закрепленных концов и, складываясь друг с другом, создают сложную картину колебаний.

Рассмотрим, как распространяются волны по струне. Для этого оттянем струну, а затем ее отпустим. Созданное нами возмущение передвигается по струне, не меняя своей формы. Такое перемещающееся возмущение называется бегущей волной. В нашем случае отклонение частиц струны происходит в направлении, перпендикулярном направлению движения волны (направлению струны). Такие волны называются поперечными.

Скорость, с которой передвигается возмущение по струне, называется скоростью волны. Обозначим ее буквой υ. Эта скорость не имеет ничего общего со скоростью u, которую приобретают частицы струны в процессе прохождения волны. Эти две скорости в поперечной волне перпендикулярны друг другу. Не равны и их численные величины. Скорость u зависит от того, насколько сильно была оттянута струна перед тем, как ее отпустили. Эта скорость непрерывно меняется во времени и меняет знак, когда частицы

струны изменяют направление своего движения. Скорость волны υ определяется только плотностью материала струны и ее натяжением.

Запишем уравнения для двух плоских гармонических волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях:

y1	= Acos(ωt − kx),	(1)
y2	= Acos(ωt + kx),	(2)

где y1, y2 – смещение точек струны от положения равновесия; А – амплитуда; ω – круговая частота колебаний; k – волновое число (k = 2π/λ).

Волна (1) перемещается в сторону увеличения х, волна (2) – в сторону уменьшения х; х – координата колеблющейся точки.

Сложив эти уравнения и, преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим уравнение стоячей волны

84
y = y1 + y2 = 2Acos(kx)·cosωt.	(3)
Заменим волновое число k его значением 2π/λ. Тогда уравнение (3)
примет вид
y = (2Acos2πx/λ)cosωt.	(4)

Y

X

Рис. 1

В стоячей волне все точки колеблются в одинаковой фазе, а их амплитуда |2Acos(2πx/λ)| зависит от x. Все точки стоячей волны, для которых отсутствует смещение, называют узлами, а точки, в которых амплитуда колебаний максимальна – пучностями, рис. 1.

Координаты узлов стоячей волны найдем из условия

cos(2πx/λ) = 0.

Тогда

(2πx / λ) = ± (n +1/ 2)π,

где n – любые целые числа (n = 0, 1, 2, 3, ...). Координаты узлов имеют значения

x			2n +1	λ
	узл	=±			.	(5)
				2
			2

Аналогично получается выражение для координаты пучностей

xпуч = ± n	λ
	2 .	(6)

Из формул (5) и (6) видно, что соседние узлы или пучности в стоячей волне отстоят друг от друга на половину длины волны λ/2.

Длина волны определяется как

λ = υ/ν,

(7)

где υ – скорость волны; ν – частота колебаний в герцах.

Частота колебаний, при которой на длине струны укладывается одна полуволна, называется основным тоном. Все остальные стоячие волны носят название обертонов. В нашем случае выражение (7) можно переписать

	85
L = λn n,						(8)
где L – длина струны.		2
Тогда частота собственных колебаний струны будет
	υ			υ
νn =			=n		.	(9)
	λn			2L

Строгий расчет скорости распространения волны в струне приводит к дифференциальному уравнению в частных производных (к так называемому волновому уравнению). Такой расчет выходит за рамки нашего курса, поэтому для вывода применим метод анализа размерностей.

Опыт показывает, что существует зависимость частоты стоячих волн,

следовательно, и скорости υ, от натяжения струны, ее массы и длины. Запишем эту зависимость

υ =cmαFβLγ ,

(10)

где c – безразмерный коэффициент; α, β, γ – неизвестные показатели степени. Распишем размерность правой и левой части уравнения (10):

LT−1 =M α (MLT−2 )β Lγ .

(11)

Равенство (11) возможно, если показатели у одноименных величин, стоящих слева и справа, равны, т. е.

1=β+γ

. (12)

−1=−2β

0=α+β

Из системы уравнений (12) находим α = − 1/2, β = 1/2, γ = 1/2. Подставляя значения α, β, γ в (11), находим

FL

FL

4F

2

F

(13)

υ =c

=c

ρsL

=c

ρπd2

=c d πρ.

m

При с = 1 формула (13) совпадает с теоретической. Итак,

2			F	,
υ =
	d		ρπ

где ρ и d – плотность материала струны и ее диаметр, сила натяжения струны.

(14)

соответственно; F –

86

Описание установки

Для возбуждения колебаний струны в работе используется метод резонанса. Струна приводится в движение силой, действующей на проводник с током в магнитном поле. Постоянное магнитное поле создается магнитом. На струну подается переменное напряжение от звукового генератора. Частота силы, раскачивающей струну, равна частоте колебания тока в струне, т. е. частоте генератора.

Данная работа выполняется на установках двух типов. Установка первого типа выполнена в настольном исполнении на едином основании с регули-

			руемыми опорами и состоит из
			штатива, на основании которого
			закреплен электронный блок, над
3Г		S	электронным блоком закреплен
			механизм натяжения струны.
			Механизм натяжения струны
		N
			состоит из основания, на котором
			закреплен постоянный магнит и
			планка. Между полюсами магни-
Рис. 2			та через блок протянута струна.
			Один конец струны крепится к

клемме, а другой – к тарировочной пружине. Второй конец пружины механически связан с винтовым механизмом, предназначенным для изменения натяжения струны.

Сила натяжения струны измеряется по шкале. Весь механизм закрыт кожухом, на передней поверхности которого нанесена шкала, предназначенная для измерения длины полуволн. Для улучшения видимости колеблющейся струны применяется подсветка. Для изменения точки приложения вынуждающей силы магнит можно передвигать вдоль основания, ослабив крепящие его винты.

Установка второго типа (рис. 2) не имеет единого основания и собирается из отдельных частей. Натяжение струны осуществляется грузами в чашке, прикрепленной к одному из концов струны.

Порядок выполнения работы

1.Подключить установку к сети 220 В. Нажать кнопку «СЕТЬ».

2.Дать электронному блоку в течение 1–2 минут войти в режим.

3.Установить натяжение струны F = 0,40 Н. Для установки второго типа положить в чашечку груз m = 40 г.

4.Ручку «ВЫХОД» на лицевой панели электронного блока повернуть вправо до упора.

87

5.Изменяя частоту в диапазоне 15–40 Гц с помощью ручек «ГРУБО» и «ПЛАВНО», получить одну хорошо различимую полуволну по всей длине струны. Отсчет частоты производить при максимальной амплитуде полуволны.

6.Увеличивая частоту кратно полученной, получить колебания нескольких обертонов. Число хорошо различимых полуволн при этом должно быть не менее четырех. Для установки второго типа – не менее трех. Колебания, соответствующие основному тону и наблюдаемым обертонам, зарисовать. Проделать эти измерения при различных натяжениях струны (не менее трех раз).

7.По экспериментально найденным частотам рассчитать скорость распространения поперечных колебаний, применяя формулу (9).

8.Вычислить теоретическое значение скорости распространения поперечных колебаний в струне для каждой силы натяжения по формуле (14).

9.Построить графики (на одном чертеже) теоретической и эксперимен-

тальной зависимости скорости распространения колебаний в струне от F . 10. Проанализировать графики и сделать выводы.

Контрольные вопросы

1.Чем стоячая волна отличается от бегущей?

2.В чем назначение постоянного магнита и генератора колебаний в данной работе? Какие колебания можно возбудить в струне при расположении магнита под серединой струны?

3.Как происходит отражение волн от свободного и закрепленного концов струны? В каких случаях в месте отражения получается узел, а в каких − пучность?

4.Что называется стоячей волной? Как она возникает? Что такое пучности, узлы стоячей волны? Вывести уравнение стоячей волны и координаты узлов и пучностей.

5.Начертите зависимость амплитуды стоячей волны от координаты и укажите на ней узлы и пучности.

Библиографический список

1.Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.:

Высш. шк., 1989. – § 29.1, 29.5, 29.6.

2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М.: Высш. шк., 1990. – § 140, 141, 145, 153–157.

3.Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т. 1 / И. В. Савельев. – М.:

Наука, 1986. – § 97, 99, 100.

88

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 15

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ МЕТОДОМ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ

Цель работы: определить скорость звука в воздухе методом стоячей волны.

Оборудование: металлическая труба, микрофон, осциллограф, электродинамический громкоговоритель (динамик), генератор электрических колебаний звуковой частоты.

Краткие теоретические сведения

Процесс распространения колебаний в упругой среде называется волной. Расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебания, называется длиной волны. Длина волны связана с периодом колебания частиц T и скоростью распространения волны υ соотношением

λ = υT или λ = υ/ν,

где ν = 1/T – частота колебания частиц среды.

Если две волны одинаковой частоты и амплитуды распространяются навстречу друг другу, то в результате их наложения при определенных условиях может возникнуть стоячая волна. В среде, где установились стоячие волны, колебания частиц происходят с различной амплитудой. В определенных точках среды амплитуда колебания равна нулю, эти точки называются узлами; в других точках амплитуда равна сумме амплитуд складываемых колебаний, такие точки называются пучностями. Расстояние между двумя соседними узлами (или пучностями) равно λ/2, где λ – длина бегущей волны (рис. 1).

Стоячая волна может образоваться при наложении падающей и отраженной волн. При этом, если отражение происходит от среды во много раз более плотной, чем среда, в которой распространяется волна, то в месте

Рис. 1 отражения смещение частиц равно нулю, то есть образуется узел. Если волна отражается от среды менее плотной, то из-за слабого задерживающего действия частиц второй cреды на

границе возникают колебания с удвоенной амплитудой, то есть образуется пучность. В том случае, когда плотности сред мало отличаются друг от друга, наблюдается частичное отражение волн от границы раздела двух сред.

89

Рассмотрим стоячие волны, которые образуются в трубе с воздухом длиной l, закрытой с двух сторон (рис. 1, а). Через небольшое отверстие в одном конце трубы при помощи динамика возбудим колебания звуковой частоты. Тогда в воздухе внутри трубы распространится звуковая волна, которая отразится от другого закрытого конца и побежит обратно. Казалось бы, что должна возникнуть стоячая волна при любой частоте колебаний. Однако, в трубе, закрытой с двух сторон, на концах должны образовываться узлы. Это условие выполняется, если в трубе укладывается половина длины бегущей волны: l = λ/2 (рис. 1, б). Здесь амплитуды смещения частиц воздуха отложены по вертикали. Сплошной линией изображена бегущая волна, пунктиром – отраженная. В трубе возможна и такая стоячая волна, где имеется и еще один узел, при этом укладываются две половины длины волны: l = 2λ/2 (рис. 1, в). Следующая стоячая волна возникает, когда длина бегущей волны удовлетворяет условию l = 3λ/2 (рис. 1, г). Таким образом, в трубе, закрытой с двух сторон, стоячая волна образуется в тех случаях, когда на длине трубы укладывается целое число половин длин волн:

l =mλ	,	(1)
2

где m = 1, 2, 3. Выразив λ из (1) и подставив в формулу ν = υ/λ, получим

ν=m 2υl .

Полученная формула выражает собственные частоты колебаний воздушного столба в трубе длиной l, где m = 1 соответствует основному тону, m = 2, 3 – обертонам. В общем случае колебание столба воздуха может быть представлено как наложение собственных колебаний.

Описание установки

Общий вид установки показан на рис. 2. На конце металлической трубы 1 жестко закреплен микрофон 2. Вдоль трубы при помощи стержня 3 может свободно перемещаться электродинамический громкоговоритель 4.

От генератора электрические колебания звуковой частоты подаются на динамик. Динамик возбуждает колебания воздуха определенной частоты.

Звуковая волна, дойдя до микрофона, отражается от него (как от стенки). Сигнал от микрофона подается на осциллограф 6 для визуального наблюдения амплитуды звуковых колебаний воздушного столба в трубе.

Если с помощью генератора волн предельной частоты возбудить колебания воздуха в трубе, то при совпадении частоты генератора с одной из

90

собственных частот воздушного столба наступает резонанс – в трубе установится стоячая волна. Это обнаруживается по увеличению громкости звука и максимальной амплитуде сигнала на экране осциллографа. Поскольку на

	закрытых		концах		трубы
	образуются узлы, а рассто-
	яние	между		соседними
	узлами равно λ 2			(рис. 1), то
	усиление звука будет возни-
	кать всякий раз, как только
	длина	воздушного			столба
	изменится на величину λ/2.
Рис. 2	Следовательно, если при
	изменении		столба		воздуха

на величину l2 −l1 наблюдалось n усилений звука, то

|l2 −l1 |=nλ2 ,

откуда

λ=	2|l2 −l1 |	.	(2)
	n

Скорость звука υ=λν. Тогда, с учетом (3), получим конечную формулу для расчета скорости звука

υ=	2ν|l2 −l1 |	.	(3)
	n

Измерив в ходе опыта расстояния l1 и l2 при помощи линейки, закреп-

ленной на трубе, и зная частоту ν звукового генератора, по формуле (4) можно найти скорость звука в воздухе.

Порядок выполнения работы

1.Подключить динамик к генератору электрических колебаний звуковой частоты, а микрофон – к осциллографу. Включить генератор и осциллограф в сеть. Частоту генератора задавать примерно 2–4 кГц.

2.При помощи стержня приблизить динамик вплотную к микрофону.

3.Медленно выдвигая стержень, по шкале, имеющейся на трубе, заме-

рить длину воздушного столба l1, соответствующую какому-либо максимуму звучания и максимальному значению амплитуды сигнала на экране осциллографа. Этот максимум принять за нулевой.

91

4. Увеличивая далее расстояние между динамиком и микрофоном, считать последующие максимумы и взять отсчет длины столба l2 для некоторого n-го максимума (для n брать значения 4–6). Опыт повторить пять раз. Результаты записать в табл. 1

						Таблица 1
Опыт i	l1 i, м	l2 i, м	ni	λi, м	υi, м/с	ν, Гц
1
2
3
4
5

5.По формуле (3) вычислить скорость звука в воздухе. Найти среднее значение скорости <υ>.

6.Произвести измерения согласно п. 2–5 для другой частоты генератора

исравнить полученные значения скорости звука.

Контрольные вопросы

1.Что называется волной?

2.Какие волны называются продольными и какие поперечными?

3.От чего зависит скорость распространения продольных и поперечных

волн?

4.Написать и пояснить уравнение плоской бегущей волны.

5.Вывести уравнение стоячей волны.

6.Какие точки называются узлами, а какие пучностями?

7.В каких случаях в месте отражения получается узел, а в каких пуч-

ность?

8.Объяснить явление резонанса в воздушной трубе, закрытой с двух

сторон.

Библиографический список

1.Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.:

Высш. шк., 1989.

2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М.: Высш. шк.,

1990.

3.Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т. 1 / И. В. Савельев. – М.:

Наука, 1986.

92

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 16

ИЗУЧЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: определить основные характеристики затухающих механических колебаний.

Оборудование: специальная установка, снабженная секундомером, счетчиком числа колебаний и градусной шкалой-линейкой.

Общие сведения

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. Наиболее простыми являются гармонические колебания, при которых какая-либо физическая величина, характеризующая колебание, изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Примером может служить колебание маленького шарика, подвешенного на длинной нити.

Если пренебречь силой трения, то величина смещения шарика из положения равновесия изменяется по закону

	x = Asin(ω0t +α1 ),
или	(1)
	x = Acos(ω0t +α2 ),

где A – амплитуда колебания; ω0 – циклическая частота; α1, α2 – начальные фазы колебания.

Колебательные процессы будут незатухающими, если они совершаются под действием только упругой или квазиупругой силы. В любой реальной колебательной системе всегда существует сила сопротивления, поэтому все реаль-

		ные колебательные процессы затухающие.
		Отклоним шарик, подвешенный на нити, из положения
		равновесия (рис. 1). Применив к нему второй			закон
	Рис. 1	Ньютона, имеем
			G	G
		ma =F +N +mg ,
	или	c			(2)
		ma = F +FG		,
		c	1
	где m – масса шарика; a – ускорение;		F1	– квазиупругая сила; FGc	– сила
	сопротивления.

При малых колебаниях F1 = − kx, а Fс = − rυ, где x – смещение; r – коэффициент сопротивления. Введем следующие обозначения:

(5)

2. Амплитуда затухаю-

A0e−βt

t

Рис. 2

93

υ = x, a = x, 2β = r / m, ω2	= k / m .	(3)
0
Тогда уравнение (2) примет вид:
x+2βx+ω2x =0 .		(4)
0

Уравнение (4) называется уравнением динамики затухающих гармонических колебаний, где β – коэффициент затухания.

Если затухание невелико (β < ω0), то решением уравнения (4) является выражение

x = A0e−βt sin(ωt +α).

Здесь e – основание натурального логарифма. Графически это решение представлено на рис.

щих колебаний изменяется по экспонен- X циальному закону.

Следует отметить, что затухающие колебания не являются периодическими, т. к. через одинаковые промежутки времени состояние наблюдаемой системы в точности не повторяется. Однако эти колебания условно характеризуют частотой и периодом в том смысле, что колеблющаяся система проходит положе-

ние равновесия в одном и том же направлении через равные промежутки времени.

Частоту затухающих колебаний определим по формуле

ω= ω02 −β2 ,

где ω0 = k / m – частота собственных колебаний системы при отсутствии силы сопротивления.

Изучать затухающие колебания можно только при β < ω0. При β > ω0 колебания становятся апериодическими.

Отметим, что в данной работе период затухающих колебаний незначительно отличается от периода свободных колебаний, т. е. β << ω0.

Для характеристики быстроты затухания колебаний вводят величину, называемую логарифмическим декрементом затухания δ, который числено равен натуральному логарифму отношения двух амплитудных значений изменяющийся величины, отстоящих по времени одно от другого на период:

		94
	δ=ln	A(t)	=βT .	(6)
		A(t +T)

Выясним физический смысл этой характеристики.

Пусть за τ секунд амплитуда колебаний уменьшится в e раз. Тогда из (6), зная, что lne = 1, имеем

βτ = 1.					(7)
Тогда из (6) с учетом (7)получим
δ =βT = βτT = T		=	1	,	(8)
τ	τ		Ne

где Ne – число колебаний, совершенных системой за время τ.

Из выражения (8) следует, что δ есть величина, обратная числу колебаний Ne, совершенных системой за время, в течение которого амплитуда уменьшится в e раз. Время τ называется временем релаксации.

Скорость затухания колебаний характеризуется также физической величиной, называемой добротностью Q, которая может быть определена как отношение максимального значения квазиупругой силы к максимальной силе сопротивления:

Q =F1maxF cmax .

Максимальное значение квазиупругой силы F1max = kA, где, k = mω02(см. выражение (3).

Максимальное значение силы сопротивления пропорционально макси-

мальной скорости Fcmax = rυmax, где υmax = Aω0 (см. (3). Тогда

Q = mω02 A = mω0 =ω0 .

rAω0 r 2β

Сделав замену ω0 = 2π/T и учитывая (6), окончательно получим

Q = π=πN	e	.	(9)
δ

Из выражения (9) следует, что добротность колебательной системы тем выше, чем большее число колебаний успевает совершиться, прежде чем амплитуда уменьшится в e раз.

При слабом затухании добротность системы пропорциональна отношению энергии W, запасенной в системе, к убыли этой энергии W за один период:

95

Q =2π	W
	W .	(10)

В этом заключается энергетический смысл добротности колебательной системы.

Описание установки

Рис. 3

На передней панели прибора (на рис. 3 слева) имеются три клавиши: 1 «СЕТЬ» – выключатель сети; 2 «ПУСК» – одновременный запуск счетчика колебаний и секундомера; 3 «СТОП» – остановка счетчика колебаний и секундомера.

На стойке 4 подвешен металлический шарик 5. Амплитуду колебания шарика можно измерить по шкале 6.

В работе определяются основные характеристики затухающих колебаний при различных силах сопротивления. Для изменения силы сопротивления плоскость колебания шарика ручкой 7 можно отклонить от вертикально-

го положения на угол γ, величину которого можно измерять по шкале 8. При этом шарик, совершающий колебания, начнет кататься по гладкой поверхности плоской панели. В этом случае сила сопротивления складывается из двух сил: силы вязкого трения шарика в воздухе, зависящей от скорости, и постоянной силы трения качения. При этом экспоненциальный закон затухания колебаний не нарушается.

Следует отметить, что при отклонении от вертикали плоскости колебаний на угол γ изменяется период колебаний. Это обусловлено изменением квазиупругой силы F1. В предельном случае, когда угол γ = 90°, F1 = − kx = 0 и колебания совершаться не будут.

96

Порядок выполнения работы

1. Включить установку в сеть и проверить работу регистрирующих систем: электронного секундомера и счетчика числа колебаний.

Aτ, град

5

3

1

0

4

8

12 A0 , град

Рис. 4

2. Задать начальную амплитуду A0. По графику (рис. 4) определить амплитуду Aτ последнего колебания, при котором начальная амплитуда уменьшится в e раз (A = A0/e).

3. Отклонить шарик из положения равновесия на A0. Измерить число колебаний Ne и время τ, по истечению которого амплитуда примет значение Aτ.

4.Опыты по пунктам 2 и 3 выполнить по 3 раза для трех значений угла наклона плоскости колебания шарика: 10°, 20°, 30°.

5.Вычислить логарифмический декремент затухания и период колеба-

ний

δ=	1	,	T =	τ	.
	Ne			Ne

6. Вычислить коэффициент затухания и добротность колебательной системы

β=1τ, Q =πNe.

7. Вычислить коэффициент сопротивления

r =2βm =2τm .

97

Результаты измерения занести в табл. 1.

Таблица 1

γ i A0 Aτ Ne τ δi <δ> Ti <Τ> βi <β> Qi <Q> ri <r>

1

2

3

1

2

3

1

2

3

8. Проанализировать изменение коэффициентов β и r, а также периода колебаний T в зависимости от угла наклона γ плоскости колебаний.

Контрольные вопросы

1.Записать кинематическое уравнение гармонических колебаний и охарактеризовать все величины, входящие в него.

2.Записать дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Изобразить это решение графически.

3.Что такое логарифмический декремент затухания? Объяснить силовой

иэнергетический смысл добротности колебательной системы.

4.Объяснить физический смысл коэффициента затухания и времени релаксации. Какова связь между этими величинами?

5.Каким образом изменяются коэффициенты r и β, а также период колебаний системы T при увеличении угла наклона плоскости колебаний?

6.Каким образом на практике добиваются гашения колебаний?

Библиографический список

1.Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.:

Высш. шк., 1989.

2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М: Высш. шк.,

1990.

3.Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т. 1 / И. В. Савельев. – М.:

Наука, 1986.

98

Приложение 1

РАСЧЕТ СЛУЧАЙНОЙ ПОГРЕШНОСТИ НА КАЛЬКУЛЯТОРЕ

Случайная погрешность влияет на окончательный результат измерений, в равной степени завышает либо занижает его. Поэтому необходимо указать интервал на числовой оси (см. с. 8), в который попадает измеряемая величина с некоторой указанной вероятностью этого попадания. Этот числовой интер-

вал называется доверительным интервалом x = < x > ±			x , где
< x > =	1	n
		∑ x	(1)
	n i=1 i

есть среднее значение результатов измерений, а x – случайная погрешность:

x		=t(α, n)		1	n	(x − < x >)2 .	(2)
					∑
сл.						i
			n(n −1) i=1
Значение коэффициента Стьюдента t(α, n) определяется по табл. 1 на с. 8.
Для вычисления	случайной			погрешности
Результаты измерений оформляют в виде таблицы,							Таблица 1

например, табл. 1 на с. 23.

Проще и быстрее можно найти погрешность при помощи многофункционального калькулятора в режиме статистических расчетов. В этом режиме

вводятся результаты измерений x1, x2, ···, xn. Далее выведем значение среднеквадратичного отклонения

	s =	1	n	(x − < x >)2
			∑
		(n −1) i=1		i

i	xi
1	x1
2	x2
···	···
n	xn
t(α, n)	x = <x> ± x

и рассчитаем погрешность по формуле x = s t(α, n) / n .

В российских калькуляторах среднеквадратичное отклонение s обозначено символом σn-1. Затем выведем среднее значение результатов измерений <x> и запишем доверительный интервал x = < x > ± x . Таблица записи результатов расчетов упрощается и принимает вид табл. 1.

Работа с калькулятором. Переведем калькулятор в режим статистических расчетов. Введите данные результатов измерений: набрав число x1,

нажмите клавишу	, набрав число x2, нажмите клавишу	и т. д. Рассчи-
тайте погрешность	нажатием следующих клавиш:	, наберите

коэффициент Стьюдента t(α, n), . На индикаторе возникает вычисленная погрешность. Для вызова <x> нажмите клавишу .

99

100

ОГЛАВЛЕНИЕ

Общие сведения ……………………..……………..……..…..……………. 3

Требования к выполнению лабораторных работ ………………………… 3

Форма отчета ……………………………………………………………….. 4

Обработка результатов измерений .….…………….………..………….… 5 Лабораторная работа № 1. Моделирование случайной величины

и исследование её распределения ……………………..……………………… 16 Лабораторная работа № 2. Проверка второго закона Ньютона на

машине Атвуда .……..………..…….……………….…….….………………... 21

Лабораторная работа № 3. Определение средней силы удара и коэффициента восстановления при соударении шара с плоской стенкой …... 28

Лабораторная работа № 4. Исследование столкновения шаров ………. 32 Лабораторная работа № 5. Определение скорости пули …………..…... 39 Лабораторная работа № 6. Определение момента инерции махо-

вика ….…….…………………….……………………………………………… 44

Лабораторная работа № 7. Определение момента инерции маятника Максвелла ……………………………………………………….….. 48

Лабораторная работа № 8. Изучение законов вращательного движения и определение момента силы трения .…………….….….….………… 53

Лабораторная работа № 9. Проверка основного закона динамики вращательного движения твердого тела ……….…………….…….……... 57

Лабораторная работа № 10. Определение моментов инерции твердых тел методом крутильных колебаний ………………..……………… 62

Лабораторная работа № 11. Определение ускорения свободного падения маятником-стержнем ….……….….…..…………………..………… 67

Лабораторная работа № 12. Пружинный маятник ..………….………… 73 Лабораторная работа № 13. Определение ускорения свободного

падения оборотным маятником .……..………………………….…………… 78 Лабораторная работа № 14. Изучение колебаний струны .….…….…... 83 Лабораторная работа № 15. Определение скорости звука в воз-

духе методом стоячей волны ………..………….…………..….…..…….…… 88

Лабораторная работа № 16. Изучение механических затухаю-

щих колебаний ……………………………………….………………………... 92

Приложение 1. Расчет случайной погрешности на калькуляторе …... 98 Приложение 2. Международная система единиц физических

величин (СИ) ………………….……………….……………………………… 99