2.9-10.Билинейные и квадратичные

Дополним выражение в скобках до полного квадрата суммы:

Q(x) = ( 12+2 1 2+2 1 3+ 22+ 32+2 2 3) 22 32 2 2 3 3 22 6 2 3 4 32:

Теперь

Q(x) = ( 1 + 2 + 3)2 Q1(x);

где Q1(x) = 4 22 8 2 3 5 32 квадратичная форма, значения которой зависят только от 2 и 3. Применив к Q1(x) тот же прием,

получим

Q1(x) = (2 2 + 2 3)2 + 32:

Окончательно,

Q(x) = 102 202 302;

где

10 = 1 + 2 + 3; 20 = 2 2 + 2 3; 30 = 3

или в матричной форме:

10	3		1	1	1 1	3
2 20		=	20	2	232 1		:
4 30 5			40	0	154 1	5

В методе Лагранжа возможен особый случай, когда в квадратичной форме не представлены квадраты переменных, а входят только их произведения. Пусть, например, входит произведение 1 2. После замены 1 = 10 + 20 , 2 = 10 20 появляются квадраты переменных.

Мы могли бы стартовали не с 12, а, например, с 12. Тогда был бы построен, вообще говоря, другой канонический базис.

Упражнение 10.4. Привести квадратичную форму методом Лагранжа к каноническому виду. Найти ранг, положительный и отрицательный индексы инерции этой формы:

1)2x21 6x1x2 + x22;

2)x21 x1x2 + x22;

3)x1x2;

4)x21 + 4x1x3 + x22 + 2x2x3 + 4x23;

5)x21 + 2x1x2 + 2x1x3 3x22 6x2x3 4x23;

6)9x21 12x1x2 6x1x3 + 4x22 + 4x2x3 + x23;

7)x1x2 + x2x3 x21 x22 x23.

11

10.3. Закон инерции

Квадратичная форма Q называется положительно (отрицательно) определенной и обозначается символом Q > 0 (Q < 0), если Q(x) > 0 (Q(x) < 0) для любого вектора x 6= 0. Аналогично вводятся неположительно и неотрицательно определенные квадратичные формы.

Положительным (отрицательным, нулевым) индексом инерции

квадратичной формы в каком-либо её каноническом базисе называют количество положительных (отрицательных, нулевых) диагональных элементов (т.е.элементов aii) её матрицы в этом базисе.

Нулевой индекс инерции не зависит от выбора канонического базиса, поскольку он равен n rangA.

Теорема 10.2. Положительный индекс инерции квадратичной формы равен максимальной размерности подпространства, в котором она является положительно определённой.

Доказательство. Пусть в некотором каноническом базисе e =

(e1; : : : ; en) квадратичная форма имеет вид
Q(x) = ( 1)2 + + ( k)2 ( k+1 ( r)2:	(10)

Ясно, что в подпространстве he1; : : : ; eki эта квадратичная форма положительно определена. Допустим, что существует подпространство U размерности k + 1, в котором она также положительно определена. Разложим каждый базисный вектор ui этого подпространства по базису e:

ui = i1e1 + + ikek + ik+1ek+1 + + inen; i = 1; : : : k + 1:

При этом

gi = i1e1 + + ikek 2 he1; : : : ; eki;

hi = ik+1ek+1 + + inen 2 hek+1; : : : ; eni:

Векторы gi линейно независимы их k + 1 штук в k-мерном пространстве. Поэтому существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю

1g1 + + k+1gk+1 = 0:

Тогда

0 6= y = 1u1 + + k+1uk+1 = 1h1 + + k+1hk+1 2 hek+1; : : : ; eni;

12

поскольку векторы u1, : : :, uk+1 линейно независимы. Ввиду (10) Q(y) 0. Но по построению Q(y) > 0. Противоречие.

Следствие 10.1. Положительный индекс инерции не зависит от выбора канонического базиса.

Следствие 10.2. Отрицательный индекс инерции не зависит от выбора канонического базиса, так как от него не зависит сумма положительного и отрицательного индексов равная рангу квадратичной формы.

Итак, все три индекса не зависят от выбора канонического базиса.

10.4. Критерий Сильвестра

Минор, расположенный в левом верхнем углу матрицы, называют её угловым минором. Пусть U подпространство линейного пространства L и Q квадратичная форма на L. Квадратичная форма Qb на U такая, что Qb(x) = Q(x) для всех x 2 U, называется сужением формы Q на подпространство U и обозначается Q jU.

Теорема 10.3. (Критерий Сильвестра) Квадратичная форма Q положительно определена тогда и только тогда, когда в любом (некотором) базисе все её угловые миноры 1, : : :, n ее матрицы положительны.

Доказательство. Пусть Q > 0. Используем индукцию по n = dim L. Предположим, что в n-мерном пространстве из условия Q > 0 следует, что в любом базисе 1; : : : ; n > 0. Рассмотрим (n + 1)- мерное пространство Ln+1 = he1; : : : ; en; en+1i и его подпространство

Ln = he1; : : : ; eni.

Матрица Bn формы Qb = Q jLn в базисе (e1; : : : ; en) очевидным образом является подматрицей матрицы Bn+1 матрицы формы Q в базисе (e1; : : : ; en; en+1). Тогда по предположению индукции 1; : : : ; n > 0. Осталось показать, что n+1 = jBn+1j > 0. Так как Q > 0, то ST Bn+1S = E, где S матрица перехода к каноническому базису. Отсюда jSj2jBn+1j = 1 и jBn+1j > 0.

Обратно, пусть в некотором базисе все угловые миноры матрицы квадратичной формы Q положительны. Покажем, что тогда Q > 0. Используем индукцию по n = dim L. При n = 1 утверждение очевидно. Предположим, что оно истинно для n-мерного пространства и

13

докажем его истинность для (n + 1)-мерного пространства Ln+1 = he1; : : : ; en; en+1i. Обозначим через Ln подпространство he1; : : : ; eni. Матрица Bn формы Qb = Q jLn в базисе (e1; : : : ; en) очевидным образом является подматрицей матрицы Bn+1 матрицы формы Q в базисе (e1; : : : ; en; en+1). Тогда по предположению индукции Qb > 0. Значит положительный индекс инерции формы Q не меньше n. Но если он равен n, то в каноническом базисе det[Q] 0. Но знак det[Q] совпадает со знаком n+1 положительным по условию. Противоречие. Следовательно, положительный индекс инерции формы Q равен n+1, т.е. Q > 0. 2

10.5. Приведение квадратичной формы к диагональному виду ортогональным преобразованием

Теорема 10.4. Для любой квадратичной или симметричной билинейной формы существует такой ортонормированный базис, в котором её матрица диагональна.

Доказательство. Пусть симметричная билинейная форма B в базисе e имеет представление

B(x; y) = T B :

Из ортонормированной системы собственных векторов-столбцов симметричной матрицы B составим ортогональную матрицу S. Тогда

ST BS = = diag[ 1; 2; : : : ; n];

где 1; 2; : : : ; n собственные числа матрицы B. В базисе e0 = eS имеем

B(x; y) = 0T ST BS 0 = 0T 0 = 1 01 01 + 2 02 02 + + n 0n 0n:

2

10.6. Теория малых колебаний и одновременное приведение квадратичных форм

Теорема 10.5. Пусть G и H две симметричные билинейные или квадратичные формы на пространстве L, причем G > 0. Существует базис пространства L, в котором матрица формы G единичная, а матрица формы H диагональная.

14

Доказательство. Зафиксируем произвольный базис e. Тогда

G(x; y) = T G ; H(x; y) = T H :

Из ортонормированной системы собственных векторов-столбцов матрицы G составим ортогональную матрицу Q. Тогда

QT GQ = = diag[ 1; : : : ; n];

где 1; : : : ; n собственные числа матрицы G. Так как все i > 0, то мы можем построить матрицу

D = 1=2 = diag[ 1=2; : : : ; 1=2]:

Матрица H1 = DT QT HQD симметрична, так как

H1T = (DT QT HQD)T = DT QT HT QD = DT QT HQD = C1:

Из ортонормированной системы собственных векторов-столбцов матрицы H1 составим ортогональную матрицу P . Тогда

P T H1P = = diag[ 1; : : : ; n]:

Заменяя здесь H1 на DT QT HQD, получим

P T DT QT HQDP = (QDP )T H(QDP ) = :

При этом

(QDP )T G(QDP ) = P T (DT QT GQD)P = P T EP = E:

Итак, при S = QDP имеем ST GS = E и ST HS = . Введем новый базис e0 = eS. Тогда

= S 0; = S 0;

G(x; y) = 0ST GS 0 = 0E 0 = 01 01 + 02 02 + + 0n 0n; H(x; y) = 0ST HS 0 = 0 0 = 1 01 01 + 2 02 02 + + n 0n 0n:

2

В теории малых колебаний встречается система дифференциальных уравнений

Gx• + Hx = 0;

(11)

15

где G > 0, H симметричные матрицы. Сделаем замену координат x = P y, где матрица P такая, что P T GP = E и P T HP = диагональная матрица. Тогда (11) примет вид

y• + y = 0:

(12)

Координаты y называются нормальными. В этих координатах система (12) распадается на независимые друг от друга уравнения.

10.7. Условный экстремум

Рассмотрим в Rn квадратичную форму

Q(x) = xT Ax = xixjaij:

Если y = x, то

Q(y) = Q( x) = ( x)T A( x) = 2(xT Ax) = 2Q(x):

С геометрической точки зрения можно сказать, что поведение квадратичной формы Q(x) на всём пространстве радиус-векторов полностью характеризуется её поведением на сфере On единичного радиуса с центром в начале координат. Поэтому рассмотрим задачу нахождения максимума и минимума для Q(x) при условии x 2 On.

Пусть 1 2 n собственные значения матрицы A,= diag[ 1; 2; : : : ; n] и P ортогональная матрица для которой

P T AP = .

Так как P ортогональная, то

y 2 On , x = P y 2 On:

Поэтому

max

Q

(x) = max xT Ax = max(P y)T A(P y) =

x

2O

n

x

2O

n

y

2O

n

n

Xi

= max yT (P T AP )y = max yT y = max

i(yi)2:

y2On

y2On

y2On

=1

Аналогично

n

Xi

yi

2:

min

(x) = min

x2On Q

y2On =1

i(

)

16

Согласно упорядочению собственных значений

n

n

XX

i(yi)2 n	(yi)2 = n
i=1	i=1
и	n
n

XX

i(yi)2 1	(yi)2 = 1:
i=1	i=1

Кроме того, при y^ = (0; 0; : : : ; 1)T и y = (1; 0; : : : ; 0), соответственно, получаем

Q(x^) = n; Q(x) = 1;

где x^ = P y^ и x = P y.

Упражнения

1. В псевдоевклидовом пространстве Минковского R3;1 "квадрат длины\ вектора (x1; x2; x3; t) задается квадратичной формой

x21 + x22 + x23 t2:

Найдите соответствующую симметричную билинейную форму (псевдоскалярное произведение).

2. Для квадратичной формы в R3 проверьте представление

x1		2x1x2	+ 4x1x3	+ 5x2 + 6x2x3		x3	= [x1; x2; x3]	2 1 5		3	32x23	:
2				2		2		1	1	2	x1
								4 2	3	154x35

3. Опираясь на алгоритм Лагранжа укажите способ построения канонического базиса квадратичной формы.

5. Является ли линейным подпространством

fx 2 LjQ(x) 0g?

6. При каких значениях параметра данная квадратичная форма положительно, отрицательно определена:

1)x21 4x1x2 + ( + 3)x22;

2)9x21 + 6 x2x2 x22;

17

3)x21 + 8x22 + x23 + 16x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3;

4)x21 + 2x1x2 + 2x1x3 + 4x22 x23 + 2x2x3;

5)(4 )x21 + (4 )x22 (2 + )x23 + 4x1x2 8x1x3 + 8x2x3?

7. Квадратичная форма записана в ортонормированном базисе n- мерного евклидова пространства. Найти ортонормированный базис, в котором данная форма имеет диагональный вид.

n = 2:

1) 4x12 + 10x1x2 4x22;
2	p		2	;
2) 7x1	+ 4 3x1x2 + 3x2

3) x21 + 6x1x2 9x22;

n = 3:

4)x21 + x1x2 x22;

5)6x21 + 5x22 + 7x23 4x1x2 + 4x1x3;

6)11x21 + 5x22 + 2x23 + 16x1x2 + 4x1x3 20x2x3;

7)x21 + x22 + 5x23 6x1x2 2x1x3 + 2x2x3;

8)2x1x2 6x1x3 6x2x4 + 2x3x4.

8. Проверить, что по меньшей мере одна из двух данных квадратичных форм является положительно определенной. Найти замену координат и замену базиса, приводящие эти две формы одновременно к диагональному виду. Записать этот диагональный вид обеих форм.

1)G(x) = ( 1)2 + 2 1 2 + 3( 2)2, H(x) = 4( 1)2 + 16 1 2 + 6( 2)2;

2)G(x) = 2( 1)2 3 1 2 2:5( 2)2, H(x) = 2( 1)2 + 6 1 2 + 5( 2)2;

3)G(x) = 11( 1)2 6 1 2 + ( 2)2, H(x) = 13( 1)2 10 1 2 + 3( 2)2;

4)G(x) = 9( 1)2 10 1 2 + 3( 2)2, H(x) = 2 1 2 ( 2)2;

5)G(x) = ( 1)2 2 1 2 + ( 2)2, H(x) = 17( 1)2 + 8 1 2 + ( 2)2;

6)G(x) = ( 1)2 + 2 1 2 + 5( 2)2, H(x) = 3:5( 1)2 + 2 1 2 ( 2)2;

7)G(x) = 5( 1)2 + 2 1 2 + 4 1 3 + ( 2)2 + 4 2 3 + 4( 3)2,

H(x) = 5( 1)2 2 1 2 + 4 1 3 + ( 2)2 + 2( 3)2;

8)G(x) = 15( 2)2 4( 3)2 10 1 2 8 1 3 + 22 2 3, H(x) = ( 1)2 + 4 2 3 2 1 3 + 4( 2)2 + 5( 3)2;

9)G(x) = 6( 1)2 + ( 2)2 + 6( 3)2 6 2 3 + 6 1 3, H(x) = 2( 1)2 2 2 3 + 2 1 3 + ( 2)2 + 2( 3)2;

10)G(x) = 2( 1)2 + ( 2)2 + 2( 3)2 2 1 2 2 1 3,

H(x) = 9( 1)2 12 1 2 24 1 3 + 4( 2)2 + 16 2 3 + 16( 3)2; 11) G(x) = ( 1)2 + 2( 2)2 + 3( 3)2 + 2 1 2 2 1 3,

18

H(x) = 2( 1)2 + 8 1 2 + 2 1 3 + 8( 2)2 + 4 2 3 + 3( 3)2;

9. Пусть Q(x) = xT Ax квадратичная форма на Rn. Показать, что если x нормированный собственный вектор с собственным значением , то Q(x) = .

9. (В. И. Арнольд. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ТРИВИУМ 1. УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК 1991 г. январь - февраль т. 46, вып.1 (277).)

Найти число положительных и отрицательных квадратов в нормальной форме квадратичных форм

X	(xi xj)2;	1 X	xixj:
1 i<j n		i<j n

Найти длины главных полуосей эллипсоида

X

xixj:

1 i j n

Найти производные длин полуосей эллипсоида x2 + y2 + z2 + xy + xz + yz = 1 + "xy по " при " = 0.

19