- •Лекции № 4 - 5
- •Предмет теории вероятностей
- •Краткие исторические сведения
- •Наблюдение, испытание и событие.
- •Различные определения вероятности
- •Примеры решения задач
- •Упражнения
- •Операции над событиями
- •Упражнения
- •Упражнения
- •Свойства вероятности
- •Вероятность несовместных событий
- •Вероятность совместных событий
- •Вероятность противоположных событий
- •Упражнение
- •Условные вероятности. Независимые и зависимые события
- •Упражнение
- •Вычисление условной вероятности
- •Вероятность зависимых событий
- •Упражнение
- •Вероятность независимых событий
- •Упражнения
- •Формула полной вероятности
- •Упражнения
- •Формула Байеса (теорема гипотез)
- •Формула Бернулли
- •Упражнения
Формула Бернулли
При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие А, причем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений события А в результате серии опытов. Например, если производится серия выстрелов по одной и той же цели, нас, как правило, интересует не результат каждого выстрела, а общее число попаданий.
Рассмотрим следующую схему. Вероятность появления события А в единичном опыте равна р. Испытание повторяется n раз, то есть выполняется серия из n независимых испытаний. Определить вероятность того, что в результате n испытаний событие А наступит m раз. Считаем, что Р(А) = р. Тогда Р()) = 1 - Р(А) = 1- р = q.
Обозначим через В1 событие, состоящее в том, что в первых m испытаниях произошло событие А, а в последующих n-m испытаниях произошло событие . Поскольку испытания предполагаются независимыми, то по теореме умножения вероятностей независимых событийР(В1) = рmqn-m.
Обозначим через В2 событие, состоящее в том, что в первым произошло событие , затем вm испытаниях произошло событие А, а в последующих n-m-1 испытаниях произошло событие . Вероятность этого события вычисляется, как и в случае с событиемВ1. То есть, Р(В2) = рmqn-m.
Рассуждая аналогичным образом, можно построить весь ряд несовместных событий Вi. Число таких событий k будет равно числу сочетаний по m элементов из n - .
Если обозначить через Рn(m) вероятность m появлений события А в n испытаниях, то будет справедлива следующая формула, называемая формулой Бернулли:
Рn(m) = Р(В1) + Р(В2 ) + … +Р(Вk) = рmqn-m.
Задача. В мишень стреляют шесть раз. Вероятность ее как поражения, так и непоражения p = q = 0,5. Определить вероятности поражения мишени 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 раз.
Решение. Применяя формулу Бернулли, получим:
Р6(0) = Р6(6) = =;Р6(1) = Р6(5) = =;
Р6(2) = Р6(4) = =;Р6(3) = =.
Замечание. Для определения вероятностей по формуле Бернулли в MS Excel используется стандартная функция БИНОМРАСП(Число успехов, число испытаний, Вероятность успеха).
Упражнения
21. Определить вероятность 5 выпадений «орла» при 15 бросаниях монеты.
22. Определить вероятность 3 выпадений шести очков при 10 бросаниях игральной кости.