6. Упражнения

16. Найдите вероятность того, что два мотора на самолете выйдут из строя, если вероятность выхода из строя одного мотора не зависит от исправности других и равна 0,0001.

17, Вероятность того, что студент Громов сдаст экзамен по уголовному праву, равна 0,7, а вероятность успешной сдачи им экзамена по гражданскому праву — 0,8. Какова вероятность того, что он успешно сдаст оба экзамена?

18. Ведутся поиски четырех преступников. Каждый из них независимо от других может быть обнаружен в течение суток с вероятностью 0,5. Какова вероятность того, что в течение суток будет обнаружен хотя бы один преступник?

Указание: запишите формулу (8) для произвольного числа множителей.

7. Формула полной вероятности

Имеется полная группа несовместных событий H₁, H_{2, …,} H_n и некоторое событие А, которое может произойти вместе с одним из событий этой группы. Так как события H_i образуют полную группу несовместных событий, то событие А может появиться только в комбинации с одним из этих событий, то есть

А = (АH₁ + АH₂ + … + АH_n).

Тогда, используя теорему о сложении несовместных событий, получим

Р(А) = Р(АH₁) + Р(АH₂ ) + … +Р(АH_n).

Применив к каждому слагаемому в правой части теорему умножения вероятностей зависимых событий, получим формулу полной вероятности:

Р(А) = Р(H₁)Р(А/H₁) + Р(H₂ ) Р(А/H₂ ) + … + Р(H_n)Р(А/H_n).

События H₁, H_{2, …,} H_n обычно называют гипотезами.

Задача. Имеются три одинаковые на вид урны: в первой урне два белых и один черный шар, во второй три белых и один черный шар, а в третьей два белых и два черных шара. Наугад выбирается одна из трех урн и вынимается один шар. Определить вероятность того, что этот шар белый.

Решение. Обозначим через H₁, H₂ и H₃ события выбора соответственно первой, второй и тртьей урны, а событие А – появление белого шара. По условию задачи выбор любой из трех урн равновозможен, поэтому Р(H₁) = Р(H₂ ) = Р(H₃ )=1/3.

Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны:

Р(А/H₁) = 2/3; Р(А/H₂ ) = 3/4; Р(А/H₃ ) = 1/2.

По формуле полной вероятности:

Р(А) =

8. Упражнения

19. Из 5 винтовок, имеющихся в тире, 3 снабжены оптическим прицелом. Вероятность поражения мишени из винтовки с оптическим прицелом равна 0,9, а из обычной – 0,55. Винтовка для стрельбы выбирается случайным образом. Найти вероятность поражения мишени при одном выстреле.

20. На военных учениях по воздушной цели производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором – 0,5, при третьем 0,7. Для полного уничтожения цели заведомо достаточно трех попаданий, при двух попаданиях вероятность уничтожения – 0,6, при одном – 0,2. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов цель полностью уничтожена.

9. Формула Байеса (теорема гипотез)

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез, или формула Байеса.

Поставим следующую задачу.

Имеется полная группа несовместных гипотез H₁, H_{2, …,} H_n. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно Р(H₁), Р(H₂ ), …, Р(H_n). Произведен опыт, в результате которого произошло некоторое событие А. Требуется определить вероятности реализации каждой из гипотез в этом случае.

То есть, фактически, необходимо определить условную вероятность Р(H_i/A) для каждой из гипотез.

Из теоремы умножения имеем:

Р(АH_i) = Р(A) Р(H_i/A) = Р(H_i) Р(А/H_i) (i = 1, 2, … n),

или, отбрасывая левую часть,

Р(A) Р(H_i/A) = Р(H_i) Р(А/H_i) (i = 1, 2, … n),

откуда

Р(H_i/A) = (i = 1, 2, … n),

где Р(А) вычисляется по формуле полной вероятности.

Задача. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.

Решение. До опыта возможны следующие гипотезы:

H₁ – оба промахнулись; H₂ – оба попали; H₃ – попал лишь первый; H₄ – попал лишь второй.

Вероятности этих гипотез:

Р(H₁) = 0,2  0,6 = 0,12;

Р(H₂) = 0,8  0,4 = 0,32;

Р(H₃) = 0,8  0,6 = 0,48;

Р(H₄) = 0,2  0,4 = 0,08.

Условные вероятности события А (наличие одной пробоины) пр этих гипотезах равны соответственно:

Р(А/H₁) = 0; Р(А/H₂) = 0; Р(А/H₃) = 1; Р(А/H₄) = 1.

По формуле полной вероятности Р(А) = 0,48 + 0,08 = 0,56.

Р(H₃/A) = = 0,48/0,56=6/7.