Примеры решения задач
Задача 1. В урне 6 черных и 8 белых шаров. Наугад вынимают один. Какова вероятность того, что вынут шар белого цвета?
Решение. m(A) = 8; n = 14. P(A) = m(A) / n = 8 / 14 = 4 / 7.
Задача 2. В лотерее участвуют 1000 билетов. Из них 25 выигрывают по 30 000 руб., 35 – по 10 000 руб., 250 – по 100 руб. Играющий приобрел один билет. Какова вероятность выиграть? Какова вероятность выиграть более 100 руб.?
Решение. Обозначим событие A – любой выигрыш, а событие B – выигрыш суммы, большей, чем 100 руб.
Тогда m(A) = 25 + 35 +250 = 310; n=1000; P(A) = 310 / 1000 = 0,31;
m(B) = 25 + 35 =60; P(B) = 60 / 1000 = 0,06
Из классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства.
Вероятность любого события заключена между нулем и единицей.
Вероятность достоверного события равна единице.
Вероятность невозможного события равна нулю.
При решении задач на вычисление вероятностей возникают трудности, связанные с определением числа тех или иных исходов испытания. В таких случаях довольно часто приходится использовать комбинаторные формулы, которые мы обсуждали ранее.
Задача 3. Найти вероятность того, что четырехзначный автомобильный номер случайно встреченного автомобиля состоит из одинаковых цифр.
Решение. Каждая цифра номера может быть одной из десяти: 0, 1, 2, …, 9. Испытанием является выбор какой-либо четверки цифр. Количество всех возможных номеров, т. е. число всех исходов, равно 10*10*10*10 = 10 000. Пусть событие A состоит в том, что все цифры выбранного номера одинаковы. Благоприятных исходов будет 10: 0000, 1111, 2222, …, 9999. Итак, n=10 000; m(A) = 10; P(A) = 10 / 10 000 = 0,001.
Задача 4. Программа экзамена содержит 30 вопросов. Студент знает 20 из них. Каждому студенту предлагают два вопроса, которые выбираются случайным образом. Положительная оценка ставится в том случае, если студент правильно ответил хотя бы на один вопрос. Какова вероятность успешной сдачи экзамена?
Решение. Рассмотрим испытание, состоящее в выборе двух из тридцати вопросов. Исходом испытания является пара вопросов. Поскольку порядок их выбора несущественен, то число всех n исходов равно числу сочетаний из тридцати по два.
n
=
=
= 435
Пусть
событие A
состоит в том, что студент знает хотя
бы один из двух выбранных вопросов.
Благоприятные этому событию исходы
разделим на две группы. В первую включим
пары с одним известным студенту вопросом,
во вторую – пары с двумя известными ему
вопросами. Пары первого типа составляются
так: один вопрос выбирается из двадцати
знакомых, другой – из десяти незнакомых.
По правилу умножения число таких пар
равно 20*10 = 200. Пары второго типа получаются
выбором двух из двадцати знакомых
вопросов. Их число равно
=
= 190. Следовательно, число всех благоприятных
исходов будет 200+ 190 = 390 и
P(A)
=
=
= 0,8965…
0,9.
Упражнения
1. Игральная кость брошена два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 11? 7? 8?
2. В партии из 100 деталей имеется 10 бракованных. Для проверки отобрали 5 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей окажется: только одна бракованная.
3. В студенческой группе (12 девушек и 8 юношей) Разыгрываются 5 зарубежных путевок. Какова вероятность того, что путевки получат 3 девушки к 2 юноши?
4. Для включения в избирательный бюллетень нужно выбрать 8 из 10 кандидатов. Какова, вероятность того, что в бюллетень попадет интересующий нас кандидат, если все кандидаты имеют одинаковые шансы?
5. Из цифр 3, 5, 9 составлены всевозможные двузначные числа. Какова вероятность того, что выбранное из этой совокупности число делится на три?