ЛЕКЦИЯ №42
14.1.5. Интегральные теоремы
Теоремы Остроградского-Гауса и Стокса применяют при переходе от уравнений поля, записанных в интегральной форме, к уравнениям поля в дифференциальной форме и наоборот.
Таблица 14.1
Векторная операция |
Символическая запись с помощью оператора |
Примечание |
1 |
2 |
3 |
grad |
|
|
div |
|
|
rot |
|
+=div +grad |
div |
() |
|
div grad |
() = 2 |
|
div rot |
() = 0 |
Исток вихревого поля всегда отсутствует |
rot grad |
() = 0 |
Векторное поле, имеющее градиент скалярной функции, всегда безвихревое, т.е. потенциальное |
rot div |
() = 0 |
Векторное поле, имеющее дивергенцию векторной функции, всегда безвихревое |
rot rot |
() |
|
rot |
() |
|
Теорема Остроградского-Гауса устанавливает соотношение между интегралом дивергенции вектора по объему V и поверхностным интегралом, взятым по замкнутой поверхности s, ограничивающей этот объем
. (14.20)
При этом поверхность должна быть кусочно-гладкой, а вектор на этой поверхности – непрерывным. Положительной является внешняя нормаль.
Теорема Стокса приравнивает поверхностный интеграл ротора вектора к линейному интегралу этого вектора, взятого по замкнутому контуру l, ограничивающему эту поверхность
. (14.21)
Вектор должен быть непрерывным по всему контуру интегрирования, а контур – кусочно-гладким.
14.2. Понятие об электромагнитном поле.
Частные виды электромагнитного поля
На электромагнитное поле как на вид материи распространяются понятия, относящиеся к свойствам вещества: инертная, гравитационная масса и энергия, количество движения и момент количества движения. Наличие инертной массы электромагнитного поля подтверждается опытами великого русского ученого физика П.Н. Лебедева, обнаружившего световое давление на твердые тела (1899) и газы (1907). Инертная масса электромагнитного поля имеет ничтожную плотность.
Электромагнитное поле является носителем гравитационной массы, что подтверждается искривлением светового луча в поле тяготения Солнца, замеченным во время солнечного затмения 1919 г., а также тем, что энергия (скорость) луча увеличивается при движении вниз к земле и уменьшается при движении вверх от земли (опыт Ландау, 1960).
Электромагнитное поле обладает энергией, так как при взаимодействии с заряженными частицами их энергия изменяется и, следовательно, передается электромагнитному полю и наоборот.
Движение энергии электромагнитного поля количественно оценивается вектором Пойнтинга. В дальнейшем будем рассматривать макроскопическую теорию электромагнитного поля, которая не учитывает дискретного распределения электрических зарядов в веществе, считая вещественную среду сплошной. В этом случае для характеристики поля используют усредненные значения микроскопических величин в бесконечно малом объеме, введя четыре основные вектора .
Электромагнитное поле является совокупностью переменных взаимосвязанных и влияющих друг на друга электрического и магнитного полей. Частными видами электромагнитного поля являются:
1. Электростатическое поле, которое создается неподвижными заряженными телами и проявляется в виде механической силы, действующей на неподвижный электрический заряд. Это поле потенциально, т.е. rot = 0.
2. Электрическое поле постоянного тока (стационарное электрическое поле) образуется внутри и вне проводников при прохождении по ним постоянного тока. При этом внутри однородного проводника отсутствует объемная плотность заряда, т.е. div = 0. Поле является потенциальным и для него справедливо уравнение Лапласа 2 = 0.
3. Магнитное поле постоянного потока проявляется в силовом воздействии на движущиеся в нем заряженные тела и на неподвижные контуры с постоянным током. Поле имеет вихревой характер ().
Электрическое поле постоянного тока и магнитное поле постоянного потока могут рассматриваться независимо друг от друга.
14.3. Основные характеристики электромагнитного поля
1. Напряженность электрического поля – физическая характеристика электрического поля, определяющая силовое воздействие поля на электрический заряд.
Напряженность электрического поля является векторной величиной, численно равной отношению силы , с которой электрическое поле действует на положительный заряд Q, внесенный в рассматриваемую точку поля, к значению этого заряда, когда его величина стремится к нулю
(14.22)
За положительное направление вектора напряженности принято направление от положительного заряда + Q к отрицательному – Q (рис. 14.6).
Сила электрического поля, действующая на заряд, направлена вдоль вектора . Линия напряженности электрического поля – это линия, в каждой точке которой вектор касателен к ней. Уравнение линии вектора напряженности электрического поля:
(14.23)
где dx, dy, dz – проекции элемента длины dl вектора .
Для любой точки поля напряженность и потенциал поля связаны выражением
(14.24)
Напряженность имеет электростатическое происхождение. Существует также напряженность стор, которая создается сторонними электростатическими силами (индукционными, термоэлектрическими, контактными на поверхностях различных проводников и др.). В этом случае результирующая напряженность электрического поля тока:
(14.25)
2. Магнитная индукция – это физическая характеристика магнитного поля, определяющая силовое воздействие на движущийся заряд. Магнитная индукция – векторная величина, характеризующая магнитное поле в каждой его точке.
Численно магнитную индукцию поля можно определить по механической силе, действующей на один движущийся заряд, элемент объема с заданной плотностью тока в нем, либо на элемент проводника с током.
Для заряда Q, движущегося со скоростью v во внешнем поле:
(14.26)
Направление силы находят по правилу векторного произведения (). Механическая сила максимальна при , и равна нулю при .
Направление магнитной индукции можно определить по правилу буравчика (правого винта), если буравчик вращать от вектора силы к вектору скорости положительного заряда Q (рис. 14.7).
14.4. Виды плотности тока
Английский ученый Д.К. Максвелл ввел понятие тока смещения в вакууме, как изменение во времени вектора напряженности электрического поля в вакууме, плотность которого равна . Ток смещения в вакууме не возникает в результате движения электрических зарядов, но возбуждает магнитное поле по тем же законам, что и все виды токов.
Ток смещения в диэлектрике состоит из тока смещения в вакууме и тока поляризации, возникающего в результате движения связанных зарядов диэлектрика. Плотность тока смещения в диэлектрике
(14.27)
где – диэлектрическая восприимчивость, характеризующая свойство диэлектрика поляризоваться.
Введение понятия тока смещения в диэлектрике позволило Максвеллу теоретически доказать, что энергия, излучаемая источником электромагнитного поля, должна распространяться по диэлектрику в виде электромагнитных волн. В 1887 г. немецкий ученый Г. Герц экспериментально доказал существование электромагнитных волн.
Существуют понятия о следующих плотностях тока.
1. Вектор плотности тока проводимости
(14.28)
образуется движением зарядов в проводящей среде под действием постоянного или переменного во времени поля напряженностью . Он сопровождается выделением тепла по закону Джоуля-Ленца. Линии вектора постоянного тока непрерывны (div = 0). Линии вектора переменного тока не замкнуты, поэтому
(14.29)
где – объемная плотность заряда.
2. Вектор плотности тока переноса
(14.30)
образуется заряженными телами и частицами, движущимися в непроводящей среде или в вакууме со скоростью .
3. Вектор плотности тока поляризации
(14.31)
возникает в переменном во времени поле напряженностью в результате смещения связанных зарядов молекул диэлектрика. Тепловые потери не подчиняются закону Джоуля-Ленца.
4. Вектор тока смещения в вакууме
(14.32)
существует в вакууме только в переменном во времени поле. Он не вызывает выделения теплоты по закону Джоуля-Ленца.
5. Вектор плотности тока смещения в диэлектрике
(14.32)
наблюдается в диэлектрике только в переменном во времени поле. Может происходить выделение теплоты, но не по закону Джоуля-Ленца. На поверхности проводника .
6. Вектор плотности полного тока
при (14.34)
Линии плотности полного тока всегда замкнуты
(14.35)
Общим свойством для всех видов тока является создание магнитного поля, описываемого уравнением Максвелла
(14.36)