ЛЕКЦИЯ №45
15.9. Метод зеркальных отражений
Этот метод применяется для расчета электростатических полей, ограниченных какой-либо проводящей поверхностью правильной формы или в которых есть геометрически правильная форма границы между двумя диэлектриками.
При использовании этого метода кроме заданного заряда вводят дополнительные (фиктивные) заряды, величина и месторасположение которых выбираются так, чтобы выполнялись граничные условия.
Этот метод можно использовать для расчета электрических полей в проводящей среде и магнитных полей.
15.9.1. Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости
Ось расположена параллельно плоскости на расстоянии h от нее (рис. 15.10). Требуется определить характер поля в диэлектрике.
Рис. 15.10. Ось вблизи проводящей поверхности
В результате электростатической индукции на поверхности проводящего тела выступают заряды. Плотность их меняется с изменением координаты x. Поле в диэлектрике создается всеми зарядами.
Для расчета поля в проводящую среду помещают фиктивный заряд на расстоянии h. При этом среда по обе стороны границы считается однородной (рис. 15.11).
Проводящая поверхность эквипотенциальна ( = const). Тогда потенциал ее равен
.
При этом изменение потенциала вдоль поверхности
.
Следовательно,
граничным условием будет
.
τ1
Рис. 15.11. Расчетная схема
Тогда
.
Отсюда
.
Потенциал в любой точке верхней полусферы будет равен
(15.31)
где r– – расстояние до отрицательно заряженной оси,
r+ – расстояние до положительно заряженной оси.
Потенциал провода
,
(15.32)
где r0 – радиус провода.
Разность потенциалов
(15.33)
.
Емкость провода
(15.34)
Емкость провода относительно земли в два раза выше емкости двухпроводной линии.
Распределение заряда на границе раздела диэлектрика и проводника
(15.35)
15.9.2. Поле заряженной оси, расположенной вблизи границы
раздела двух диэлектриков
Рассмотрим поле оси, расположенной на расстоянии h от границы раздела двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями 1 и 2 (рис. 15.12).
Вследствие поляризации диэлектриков на границе раздела выявятся связанные заряды, влияющие на поле в обеих средах. Учет их влияния на поле проводят путем введения двух дополнительных зарядов 2 и 3 (рис. 15.13).
Рис. 15.12. Ось, расположенная вблизи раздела диэлектриков
Рис. 15.13. Расчетная схема поля
Расчет поля в верхней полусфере ведется от двух зарядов: реального 1 и фиктивного 2, расположенных симметрично относительно границы раздела, причем среда всюду имеет диэлектрическую проницаемость 1.
Расчет поля в нижней полусфере ведется от заряда 3, расположенного в той же точке, что и 1. Среда при этом всюду имеет проницаемость 2.
Граничные условия реальной задачи
В данном случае
,
.
Откуда
Решая эту систему, получим
.
(15.36)
Знак заряда 2 совпадает со знаком заряда 1, если 1 > 2. Знак заряда 3 всегда тот же, что и знак 1.
15.9.3. Поле двухпроводной линии над поверхностью земли
Для расчета поля введем две дополнительные оси. Определим потенциал произвольной точки M (рис. 15.14).
Согласно (15.30) потенциал произвольной точки от заряженной оси
В данном случае
или
,
(15.37)
где 1M и 2M – потенциальные коэффициенты, зависящие от характера среды и расположения проводов.
Уравнение (15.36) показывает, что потенциал прямо пропорционален заряду.
Потенциалы проводов можно записать в виде
(15.38)
Эти уравнения называются первой группой формул Максвелла.
С
учетом расстояний, показанных на
рис. 15.15, потенциальные коэффициенты
можно определить по формулам:
Рис. 15.15. Размеры
картины поля с учетом размера проводов
Коэффициент 11 численно равен потенциалу 1, когда на первом проводе находится единичный заряд, а на других проводах заряд отсутствует.
Коэффициент 12 численно равен потенциалу 1, когда на втором проводе находится единичный заряд, а на других проводах заряд отсутствует.
Аналогично можно описать другие потенциальные коэффициенты.
Решив систему (15.37) относительно зарядов, получим вторую группу формул Максвелла.
(15.40)
Коэффициенты называют емкостными коэффициентами. Их размерность обратна размерности потенциальных коэффициентов. Коэффициенты с одинаковыми индексами положительны, а с разными – отрицательны.
Если ввести частичные емкости между проводами линии и землей (рис. 15.16), то заряды можно записать в виде
или
(15.41)
Рис. 15.16. Частичные емкости линии
Емкости C11, C22 называются собственными частичными емкостями, C12 и C21 – взаимными частичные емкости.
Из сравнения систем (15.39) и (15.40) видно, что
Откуда следует, что
,
Если к проводам подведено напряжение U от незаземленного источника, то провода заряжаются так, что
,
или
.
В этом случае можно говорить о рабочей емкости линии
.
Подставив значение
в уравнение (15.41) получим
При этом рабочая емкость будет равна
(15.42)
Согласно (15.38)
Подставив эти значения в (15.42) получим
(15.43)
Величина
определяет влияние земли на величину
емкости.
(Так как
,
то близость земли увеличивает емкость
системы двух проводов.)