- •Статистическое изучение взаимосвязи социально-экономических явлений
- •Часть II однофакторный и многофакторный регрессионный анализ
- •1. Нахождение уравнений регрессии между двумя признаками
- •1.1. Парная линейная регрессия. Расчет параметров уравнения регрессии по индивидуальным данным
- •1.2. Парная линейная регрессия. Расчет параметров уравнения регрессии по сгруппированным данным
- •Поясним, как вычислялись суммы :
- •1.3. Парная линейная регрессия. Сопряженные уравнения
- •1.4. Парная линейная регрессия. Параболическая и гиперболическая корреляция
- •2. Многофакторная (множественная) регрессия. Общие положения
- •2) Выбор типа урвнения.
- •2.1. Мультиколлинеарность и коллинеарность.
- •5.1. Построение и статистический анализ многофакторной линейной модели
- •5.1. Построение и статистический анализ двухфакторной линейной модели (трехмерной регрессии)
- •5.1.1. Парные коэффициенты корреляции
- •5.1.2. Частные коэффициенты корреляции
- •5.1.3. Совокупный коэффициент множественной корреляции
- •5.1.4. Совокупный коэффициент множественной детерминации
- •5.1.5. Частные коэффициенты эластичности
- •3. Пример на экономическую интерпретацию многофакторной регрессионной модели
1.1. Парная линейная регрессия. Расчет параметров уравнения регрессии по индивидуальным данным
Линейная зависимость – наиболее часто используемая форма связи между коррелируемыми признаками, и выражается она, как указывалось ранее, при парной корреляции уравнением прямой:
. (22)
Гипотезу о линейной зависимости между х и у выдвигается в том случае, если значения результативного и факторного признаков возрастаю (или убывают) примерно в арифметической прогрессии.
Параметры иотыскиваются по МНК следующим образом:
Согласно требованию МНК при линейной зависимости в (21) вместо записываем его конкретное выражение, т.е.:
= . (23)
Дальнейшее решение сводится к задаче на экстремум , т.е. к определению того, при каких значения ифункция двух переменныхU может достигнуть минимума. Для этого надо найти частные производные U по и, приравнять их нулю и после элементарных преобразований решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.
В соответствии с изложенным найдем частные производные
(24)
Сократив каждое уравнение на –2, раскрыв скобки и перенося члены с х в одну сторону, а с у – в другую, получим (так как пределы суммирования везде одинаковы, в дальнейшем их не указываем)
(25)
Система (25) называется системой нормальных уравнений МНК для линейного уравнения регрессии.
Рассмотренный способ расчета параметров уравнения регрессии называется расчетом по индивидуальным данным, поскольку участвуют данные о значениях х и у каждой единицы совокупности (по списку).
Формулы для расчета параметров ина основе определителя 2-го порядка следующие:
(26, а)
или (если в (2.25) все уравнения разделить на n)
= , (26, б)
, (27)
где ,.
Коэффициент регрессии () показывает, на сколько единиц (вабсолютном выражении) изменяется значение результативного признака относительного факторного.
Коэффициент эластичности (Э – часто используется в экономическом анализе) показывает, на сколько процентов изменяется в среднем результативный признак у при изменении факторного признака х на 1%. Обычно рассчитывается как отношение прироста (в %) результативного признака к приросту (в %) факторного признака.
= . (28)
Пример. Уравнение регрессии выражает зависимость объема валового выпуска от стоимости основных фондов, тогда коэффициент эластичности выразится так:
Э = .
Подставляя в данное выражение разные значения х, получаем и разные значения Э. Так, например, при х = 50 коэффициент эластичности Э = 1,11, а при х = 80 соответственно Э = 1.09 и т.д. Это значит, что при увеличении основных фондов х с 50 до 50,5 млн. руб., т.е. на 1%, валовой выпуск у возрастает в среднем на 1,11% прежнего уровня; при увеличении х с 80 до 80,8 млн. руб., т.е. на 1%, у возрастает на 1,09%.
1.2. Парная линейная регрессия. Расчет параметров уравнения регрессии по сгруппированным данным
Когда наблюдение ведется над большим числом пар значений х и у, то, как уже отмечалось, данные удобнее располагать в виде корреляционной таблицы (см., например, табл. 9.3), где указаны распределения по х и по у и соответственно, их частоты и. При этом==n – общее число наблюдений.
При составлении и решении системы нормальных уравнений в этих случаях все суммы значений х и у, их произведений должны учитываться вместе с их весом, а именно:
(29)
Пример. Используя данные табл. 3, составим таблицу (табл. 7) исходных условных данных для обработки по формуле (29).