5.1. Построение и статистический анализ многофакторной линейной модели

Наиболее простыми для построения, анализа и экономической интерпретации являются многофакторные линейные модели, которые содержат независимые переменные только в первой степени:

.

Для вычисления параметров (коэффициентов регрессии) ,,...,можно использовать МНК. Для этого минимизируют выражение

.

Для нахождения минимума данной функции приравниваем нулю ее частные производные по параметрам ,,...,. Выполняем элементарные преобразования полученных выражений и получаем нормальные уравнения с (k + 1) неизвестным в следующем виде (заметим, суммирование везде ведется от 1 до n, где n – число наблюдений, поэтому с целью сокращения записей в формулах выражения типа обозначим как):

Параметры модели могут быть найдены методом К.Гаусса.

5.1. Построение и статистический анализ двухфакторной линейной модели (трехмерной регрессии)

На примере двухфакторной линейной модели рассмотрим некоторые характеристики тесноты связи между зависимой и независимой переменными: парные, частные и множественные коэффициенты корреляции, множественный коэффициент детерминации.

Изучение парных и частных коэффициентов корреляции позволяет отобрать наиболее существенные, значимые факторы.

Линейная двухфакторная регрессия (простейшее уравнение множественной регрессии) имеет следующий вид:

. (31)

Система нормальных уравнений для этой модели:

(31,а)

5.1.1. Парные коэффициенты корреляции

Для измерения тесноты связи между двумя рассматриваемыми в данной модели переменными (без учета их взаимодействия с другими переменными) применятся парные коэффициенты корреляции:

, (33)

, (34)

, (35)

где ,,(35,а) – средние квадратические отклонения.

5.1.2. Частные коэффициенты корреляции

Однако в реальных условиях все переменные, как правило, взаимосвязаны.

Теснота взаимосвязи между переменными определяется частными коэффициентами корреляции, которые характеризуют степень и влияние одного из аргументов на функцию при условии, что остальные независимые переменные закреплены на постоянном уровне.

В зависимости от числа переменных, влияние которых исключается, частные коэффициенты корреляции могут различного порядка: при исключении влияния одной переменной – первого порядка, при исключении влияния двух переменных – второго порядка и т.д.

Парный коэффициент корреляции между функцией и аргументом обычно не равен соответствующему частному коэффициенту.

Частные коэффициенты корреляции вычисляются по следующим формулам:

• между признаками иy при исключении влияния , т.е. коэффициентпервого порядка:

; (36)

• между признаками иy при исключении влияния , т.е. коэффициентпервого порядка:

; (37)

• между признаками ипри исключении влиянияу, т.е. коэффициент первого порядка:

, (38)

где r – парные коэффициенты корреляции между соответствующими признаками.