Поясним, как вычислялись суммы :

по первой строке ,

по второй строке и т.д.

Вычисление остальных видов сумм очевидно.

Полученные суммы подставим в систему (29):

(30)

Таблица 7

x	y				Итого
	5	10	15	20
1	1	3	–	–	4	4	4	35
3	2	3	7	–	12	36	108	435
5	–	3	9	4	16	80	400	1225
7	–	–	5	3	8	56	392	945
Итого	3	9	21	7	40	176	904	2640
	15	90	315	140	=560
	75	900	4725	2800	=8500

По табл. 7 можно вычислить:

= 2640/40 = 60; = 176/40 = 4,4;= 560/40 =14;= 904/40 = 22,6;= 8500/40 = 212,5;== 1,8;== 4,06.

С этими величинами решаем систему (30) по формулам (26,б) и (27) и находим параметры = 8,06 и= 1,35, отсюда искомое уравнение

,

а по формуле (9.11,г) вычисляем коэффициент корреляции r:

= = 0,6, т.е. связь междух и у умеренная (средняя).

1.3. Парная линейная регрессия. Сопряженные уравнения

Часто зависимость между коррелируемыми показателями между х и у такова, что каждый из них можно рассматривать в качестве и факторного, и результативного признака (например, производительность труда и оплата труда).

Если первый показатель обозначить х, а второй – у, то уравнение регрессии можно записать и как у по х т.е. , и какх по у: . Такие уравнения называютсясопряженными.

При линейной зависимости между х и у коэффициенты корреляции для каждого из сопряженных уравнений можно записать соответственно как

, , причем,=, а==.

Данные соотношения позволяют, зная коэффициент корреляции одного уравнения и значение , легко определить коэффициент регрессии сопряженного уравнения, а значит, и параметр(или, если сопряженным уравнением считать).

Пример (см. пример в п. 4.2). Было получено: иr = 0,6. Вычисляем = 0,36/1,35=0,266; приспособив формулу (27) к нашему случаю, вычисляем== 0,676. Отсюда искомое сопряженное уравнение регрессиих по у будет .

1.4. Парная линейная регрессия. Параболическая и гиперболическая корреляция

Параболическая корреляция.

Эмпирическая линия регрессии, отражающая на графике зависимость между х и у, не всегда дает основание для выдвижения гипотезы о линейной зависимости. Характер ломаной линии может быть самым различным.

Например, если рассматривать зависимость урожайности какой-либо с.-х. культуры (у) от количества выпавших осадков (х), то вполне можно предположить, что с увеличением х будет возрастать и у, но может наступить момент, когда с увеличением х (избыток осадков) урожайность начнет падать.

Если при равномерном возрастании х значения у возрастают или убывают ускоренно либо возрастают, а затем убывают, то чаще всего в этом случае зависимость между коррелируемыми величинами может быть выражена в виде параболы 2-го порядка

.

В этом случае для применения МНК должно соблюдаться следующее требование:

.

Система нормальных уравнений приобретает следующий вид:

Гиперболическая корреляция.

Обратная зависимость между двумя признаками может выразиться либо уравнением прямой (т.е. линейной регрессией) с отрицательным коэффициентом регрессии, либо уравнением гиперболы

.

Уравнение гиперболы предпочтительнее использовать в тех случаях, когда значение результативного признака, равное нулю или меньше нуля, лишено смысла, что теоретически возможно при обратной линейной зависимости

Согласно МНК система для нахождения параметров гиперболы ибудет иметь вид