Глава 8. Способы изучения стохастических взаимосвязей в анализе и диагностике финансово-хозяйственной деятельности предприятий Методические указания и решение типовых задач

При статистическом исследовании корреляционных связей одной из основных задач является определение их формы, т.е. построение модели связи.

Построение регрессионной модели проходит несколько этапов: предварительный теоретический анализ, определение объекта, отбор факторов, сбор и подготовка информации, выбор модели связи, исчисление показателей тесноты корреляционной связи, оценка адекватности регрессионной модели.

Вычисление параметров корреляционных линейных уравнений по первичным данным. Если результативный признак с увеличением факторного признака равномерно возрастает или убывает, то такая зависимость является линейной и выражается уравнением прямой

(1)

где y— индивидуальные значения результативного признака;

х —индивидуальные значения факторного признака;

a₀,a₁— параметры уравнения прямой (уравнения регрессии);

у_x— теоретическое значение результативного признака. Параметры уравнения прямойa₀, иa₁определяются путем решения системы нормальных уравнений, полученных методом наименьших квадратов или по формулам

, (2)

, (3)

. (4)

Что касается параметра уравнения регрессии в виде свободного члена, то возможен и такой подсчет:

. (5)

Ясно, что практически приемлемым является наименее трудоемкий вариант расчета (возможно производить расчеты на компьютере).

В уравнении прямой параметр а₀экономического смысла не имеет. Параметрa₁ является коэффициентом регрессии и показывает изменение результативного признака при изменении факторного признака на единицу. Часто исследуемые признаки имеют разные единицы измерения, поэтому для оценки влияния факторного признака на результативный применяется коэффициент эластичности. Он рассчитывается для каждой точки и в среднем по всей совокупности.Коэффициент эластичности(Э) определяется по формуле

. (6)

где —первая производная уравнения регрессии.

Средний коэффициент эластичностиопределяется для уравнения прямой по формуле

. (7)

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак при изменении факторного признака на 1%.

Определение параметров линейного однофакторного уравнения регрессии по сгруппированным данным.Если данные сгруппированы и представлены в виде корреляционной таблицы, то параметры линейного уравнения регрессии могут быть определены путем решения следующей системы нормальных уравнений:

(8)

или по формулам

(9)

(10)

где y_i —групповые средние.

Параметр a₀уравнения регрессии можно определить также и по формуле (5).

Расчет параметров степенной функции.Если значения факторного признака расположены в порядке геометрической прогрессии и соответствующие значения результативного признака также образуют геометрическую прогрессию, то связь между признаками может быть представлена степенной функцией вида

(11)

Для определения параметров степенной функции методом наименьших квадратов необходимо привести ее к линейному виду путем логарифмирования:

lg y = a₀ + a₁ lg x (12)

Система нормальных уравнений имеет вид

(13)

Параметры можно определить, решая систему нормальных уравнений или по формулам

, (14)

(15)

или

(16)

(17)

Параметр а₁логарифмической функции является коэффициентом эластичности, который показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак при изменении факторного признака на 1%.

Расчет параметров уравнения гиперболы.Если результативный признак с увеличением факторного признака возрастает (или убывает) не бесконечно, а стремится к конечному пределу, то для анализа такого признака применяется уравнение гиперболы вида

(18)

Для определения параметров этого уравнения используется система нормальных уравнений

(19)

Чтобы определить параметры уравнения гиперболы методом наименьших квадратов, необходимо привести его к линейному виду. Для этого произведем замену переменных 1/х=x₁, получим следующую систему нормальных уравнений.

(20)

Параметры уравнения гиперболы можно вычислить по формулам

(21)

(22)

Статистические методы измерения тесноты корреляционной связи между двумя признаками.Одним из важнейших этапов исследования корреляционной связи является измерение ее тесноты. Для этого применяются: линейный коэффициент корреляции, теоретическое корреляционное отношение, индекс корреляции.

Линейный коэффициент корреляциивычисляется по формулам и применяется для измерения тесноты связи только при линейной форме связи:

(23)

(24)

(25)

Теоретическое корреляционное отношение и индекс корреляцииприменяются для измерения тесноты корреляционной связи между признаками при любой форме связи, как линейной, так и нелинейной. Оба показателя можно вычислять только после того, как определена форма связи и исчислена теоретическая линия регрессии.

Теоретическое корреляционное отношение рассчитывается по формулам

(26)

(27)

где — факторная дисперсия, которая характеризует вариацию результативного признака под влиянием признака-фактора, включенного в модель;

—общая дисперсия, показывающая вариацию результативного признака под влиянием всех факторов, вызывающих эту вариацию.

Теоретическое корреляционное отношение изменяется от 0 до 1; чем ближе корреляционное отношение к 1, тем теснее связь между признаками.

Для упрощения расчетов меры тесноты корреляционной связи часто применяется индекс корреляционной связи, который определяется по следующим формулам:

(28)

(29)

где — остаточная дисперсия, характеризующая вариацию результативного признака под влиянием прочих неучтенных факторов.

Проверка адекватности однофакторной регрессионной модели и значимости показателей тесноты корреляционной связи.Адекватность регрессионной модели при малой выборке можно оценить F-критерием Фишера:

, (30)

где т —число параметров модели;

п —число единиц наблюдения.

Эмпирическое значение критерия F_эсравнивается с критическим (табличным) F_тс уровнем значимости 0,01 или 0,05 и числом степеней свободы(т- 1), (n-т).Если F_э> F_т, то уравнение регрессии признается значимым.

Значимость коэффициентов линейного уравнения регрессии а₀иа₁оценивается с помощьюt-критерия Стьюдента(п < 30):

(31)

(32)

(33)

Эмпирическое значение t-критерия сравнивается с критическим (табличным) значениемt-распределения Стьюдента с уровнем значимости 0,01 или 0,05 и числом степеней свободы (п – 2). Параметр признается значимым, если эмпирическое значениеtбольше табличного.

Аналогично проводится оценка коэффициента корреляции r спомощьюt-критерия, который определяется по формуле

(34)

где (п – 2) — число степеней свободы.

Если эмпирическое значение tоказывается больше табличного, то линейный коэффициент корреляции признается значимым.

Пример 1.Имеются выборочные данные по 10 однородным предприятиям.

№ предприя­тия ……….	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Электровооружен­ность труда на одного рабочего, кВт•ч .....………………..	2	5	3	7	2	6	4	9	8	4
Выпуск готовой продукции на одного рабочего, т ......…………	3	6	4	6	4	8	6	9	9	5

Построить однофакторную регрессионную модель.

Решение.Предположим, что между электровооруженностью труда и выпуском готовой продукции существует линейная корреляционная связь, которую можно выразить уравнением прямой вида

y_x=a₀+a₁x.

Факторным признаком является электровооруженность труда, а результативным — выпуск готовой продукции.

Для определения формы корреляционной связи необходимо вычислить параметры уравнения прямой путем решения системы нормальных уравнений вида (2). Чтобы заполнить систему нормальных уравнений фактическими данными, необходимо определить

Расчеты этих показателей произведем в табл. 7.1.

Таблица 7.1