Расчет сумм для вычисления параметров уравнения прямой по несгруппированным данным

Исходные данные			Расчетные значения
№ предприя­тия	Электровооружен­ность труда на одного рабочего, кВт•ч x	Выпуск продукции на одного рабочего, т y	xy	x^2	y^2	yx	(y-yx)^2
1	2	3	6	4	9	3,61	0,3721
2	5	6	30	25	36	6,01	0,0001
3	3	4	12	9	16	4,41	0,1682
4	7	6	42	49	36	7,592	2,534
5	2	4	8	4	16	3,612	0,1505
6	6	8	48	36	64	6,796	1,45
7	4	6	24	16	36	5,204	0,6336
8	9	9	81	81	81	9,184	0,0339
9	8	9	72	64	81	8,38	0,381
10	4	5	20	16	25	5,20	0,04
Итого	50	60	343	304	400	60	5,761
В среднем	5,0	6,0	34,3	30,4	40,0	6,0	0,5761

Подставим в систему нормальных уравнений (2) фактические данные из табл. 7.1 и получим равенства

10a₀+ 50а₁= 60,

50a₀+ 304а₁= 343.

Систему нормальных уравнений решаем в такой последовательности (по методу множителей): умножим каждый член первого уравнения на число, равное 5. Получим

50a₀+ 250а₁= 300,

50a₀+ 304а₁= 343.

Затем вычтем из второго уравнения первое: 43 = 54а₁, откудаа₁= 43/54 = 0,7963.

После подстановки значения а₁в первое уравнение получима₀= 2,02.

Уравнение регрессии имеет вид у_x= 2,02 + 0,796x.

С помощью определителей параметры уравнения прямой можно вычислить по формулам (3) и (4).

Если параметры регрессионного уравнения определены верно, то должно соблюдаться равенство сумм теоретических и эмпирических значений выпуска готовой продукции, а сумма разностей между эмпирическими и теоретическими значениями выпуска готовой продукции должна быть равна нулю.

Окончательную проверку правильности расчета параметров уравнения связи можно также произвести подстановкой а₀ и а₁ в систему нормальных уравнений (рассматривая их как корни уравнения).

Используя уравнение корреляционной связи, можно определить теоретическое значение у_xдля любой промежуточной точки (теоретическое значение выпуска готовой продукции на одного рабочего для любого промежуточного значения электровооруженности труда на одного рабочего (см. табл. 7.1).

В нашем уравнении регрессии параметр а₁= 0,796 показывает, что с увеличением электровооруженности труда одного рабочего на 1 кВт•ч выпуск готовой продукции возрастет на 0,796 т.

Средний коэффициент эластичности исчислим по формуле (7):

Коэффициент эластичности, равный 0,66, показывает, что с увеличением электровооруженности труда на 1% выпуск готовой продукции возрастет на 0,66%.

Измерим тесноту корреляционной связи между производительностью и электровооруженностью труда линейным коэффициентом корреляции, теоретическим корреляционным отношением, индексом корреляции, которые рассчитываются по формулам (23), (26), (28). Данные, необходимые для расчета этих показателей, представлены в табл. 7.1.

Для расчета теоретического корреляционного отношения необходимо предварительно вычислить дисперсии ,,по формулам:

Теоретическое корреляционное отношение по формуле (26) равно

Коэффициент детерминации равен 0,856. Индекс корреляции по формуле (28)

Все показатели тесноты корреляционной связи показывают тесную связь между производительностью и электровооруженностью труда. Коэффициент детерминации 0,856 означает, что вариация выработки рабочих на 85,6% объясняется вариацией электровооруженности труда и на 14,4% — прочими факторами.

Так как r=R=, то можно сделать заключение, что гипотеза о линейной форме связи подтверждена.

Проведем оценку адекватности регрессионной модели у_x= 2,02 + 0,796х, выражающей зависимость между производительностью и электровооруженностью труда, с помощью F-критерия Фишера — формула (30):

Табличное значение F_тс уровнем значимости 0,05 и числом степеней свободы (2 - 1), (10 - 2) равно 5,32. Так как F_э> F_т, то уравнение регрессии можно признать адекватным.

Оценим значимость параметров уравнения регрессии с помощью t‑критерия Стьюдента по формулам (31) и (32):

Значение вычисляется по формуле (33):

.

Табличное значение t-критерия с уровнем значимости 0,05 и числом степеней свободы (n - 2) равно 2,307.

Так как t_эмп >t_табл, то параметры уравнения регрессии можно признать значимыми.

Значимость коэффициента корреляции оценим с помощью t‑критерия по формуле (34):

.

Эмпирическое значение tбольше табличного, следовательно, коэффициент корреляции можно признать значимым. Вычислим ошибку аппроксимации по формуле

Так как параметры уравнения регрессии значимы, уравнение значимо, показатели тесноты значимы, ошибка аппроксимации равна 5,8%, коэффициент детерминации равен 0,856, то можно сделать заключение, что построенная регрессионная модель зависимости производительности труда от его электровооруженности у^x= 2,02 + 0,796xможет быть использована для анализа и прогноза.

Пример 3.По 10 однородным магазинам имеются следующие данные:

Товарооборот, тыс. руб.	5	3	24	35	44	55	63	74	82	95
Товарные запасы, дни	18	12	8	8	8	8	7	6	8	8

По исходным данным определить уравнение регрессии (связь гиперболическая) между товарооборотом и товарными запасами.

Решение. Для определения параметров уравнения гиперболы виданеобходимо построить систему нормальных уравнений (19), (20) и методом определителей вычислить параметрыa₀и a₁по формулам (21) и (22). Расчетные данные для вычисления параметров уравнения гиперболы содержатся в табл. 7.3.

Таблица 7.3