Замкнутая (изолированная) система. Закон сохранения импулься

Закон сохранения импульса является следствием второго и третьего законов Ньютона. Он имеет место в изолированной (замкнутой) системе тел.

Такой системой называется механическая система, на каждое из тел которой не действуют внешние силы. В изолированной системе проявляются внутренние силы, т.е. силы взаимодействия между телами, входящими в систему.

Так как в замкнутой системе внешние силы отсутствуют, то

или

Это равенство выражает закон сохранения импульса, согласно которому полный вектор импульса замкнутой системы тел с течением времени не изменяется.

Т.к. , то при любых процессах, происходящих в замкнутой системе, скорость ее центра инерции сохраняется неизменной.

В рассматриваемом выше уравнении Ньютона предполагалось, что тело имеет настолько малые размеры, что его можно считать материальной точкой. Движение любого недеформируемого тела конечных размеров может быть описано уравнениями, аналогичными (3.6), если ввести понятие «центра масс» («центра инерции») тела. Если тело состоит из n материальных точек с массами и радиус-векторами , то центром масс системы материальных точек называют такую т.С, радиусвектор которой определяется следующим образом:

(3.7)

- масса и радиус-вектор i-ой точки системы, m - общая массавсей системы.

Соответственно соотношения между декартовыми координатами центра инерции и всех точек

Скорость центра инерции:

(3.8)

Импульс системы. Геометрическую сумму импульсов всех материальных точек системы называют импульсом системы и обозначают буквой :

,

тогда скорость центра масс

Таким образом, из (3.9) следует, что импульс системы равен произведению массы всей системы на скорость ее центра инерции:

Импульс материальной точки

Второй закон Ньютона можно записать в иной форме, которая приведена самим Ньютоном в его главном труде «Математические начала натуральной философии».

Если на тело (материальную точку) действует постоянная сила, то постоянным является и ускорение

где — начальное и конечное значения скорости тела.

Подставив это значение ускорения во второй закон Ньютона, получим:

или

(1)

В этом уравнении появляется новая физическая величина — импульс материальной точки.

Импульсом материальной точки называют величину равную произведению массы точки на ее скорость.

Обозначим импульс (его также называют иногда количеством движения) буквой . Тогда

(2)

Из формулы (2) видно, что импульс — векторная величина. Так как m > 0, то импульс имеет то же направление, что и скорость.

Единица импульса не имеет особого названия. Ее наименование получается из определения этой величины:

Импульс силы — это векторная физическая величина,равная произведениюсилы на время еѐ действия, мера воздействия силы на тело за данный промежуток времени (впоступательном движении).

За конечный промежуток времени эта величина равна определѐнному интегралу от элементарного импульса силы, где пределами интегрирования являются моменты начала и конца промежутка времени действия силы. В случае одновременного действия нескольких сил сумма их импульсов равна импульсу их равнодействующей за то же время.

Во вращательном движении момент силы, действуя в течение определѐнного времени, создаѐт импульс момента силы. Импульс момента силы — это мера воздействия момента силы относительно данной оси за данный промежуток времени (во вращательном движении):

Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы),сохраняется во времени:

.

Сохранение импульса в этом случае следует из второго и третьего закона Ньютона:написав второй закон Ньютона для каждой из составляющих систему материальных точек и просуммировав по всем материальным точкам, составляющим систему, в силу третьего закона Ньютона получим равенство

Теорема об изменении импульса системызаписывается в виде:Fi_e  dMv_c 

dQ



или в декартовых координатах
d(Mvcx) Fixe ;d(Mvcy ) Fiye;  dt i dt i	d(Mvcx) Fize .  dt i

dt i dt

2,12 Работа силы (А) – мера действия силы, зависящая от численной величины и направления силы и от перемещения точки её приложения.

Вычисление работы при перемещении тела из точки (1) в точку (2).

Если

.

Если

перемещение достаточно малое, чтобы силу на нём считать постоянной.

Кинетическая энергия (Т) – часть механической энергии системы, зависящая от скорости движения материальных точек, образующих систему.

Связь энергии с работой

Получим выражение для кинетической энергии материальной точки.

В начальном положении тело с массой m имело скорость

Под действием силы тело переместилось в положение (2), где его скорость стала

Свяжем изменение скорости тела с работой, которую совершила сила .

Запишем II закон Ньютона

Умножим обе части (1) скалярно на элементарное перемещение:

Т.к. работа силы является мерой приращения механической энергии

Теорема об изменении кинетической энергии

Формулировка:

Приращение кинетической энергии системы тел равно работе всех сил, действовавших на тела системы.

Доказательство:

Для каждого тела системы справедливо:

Просуммируем по всем телам системы:

Теорема доказана.