2,15Oднородность времени и закон сохранения энергии

Вывод этого утверждения может быть произведѐн, например, на основе лагранжева формализма^[1].Если время однородно, тофункция Лагранжа,описывающая систему, не зависит явно от времени, поэтомуполная еѐ производная по времени имеет вид:

Здесь — обобщѐнные координаты и их первые и вторые производные

по времени соответственно. Воспользовавшись уравнениями Лагранжа,заменим производныена выражение

:

Перепишем последнее выражение в виде

Сумма, стоящая в скобках, по определению называется энергией системы и в силу равенства нулю полной производной от неѐ по времени она является интегралом движения (то есть сохраняется).

Bзотропность пространства и закон сохранения момента импульса

Изотропность — одно из ключевых свойств пространства в классической механике.Пространство называется изотропным, если поворотсистемы отсчета на произвольный угол не приведет к изменению результатов измерений.

Связь закона сохранения момента импульса с изотропностью пространства. Под изотропностью пространстав понимается эквивалентность различных направлений в пространстве. Это означает, что если имеется некоторая изолированная физическая система, то развитие событий в ней зависитот того, как она ориентирована в пространстве. В применениии к изилированной системе материальных точек отсюда следует, что угловое перемещение системы на δφ не изменит еѐ внутреннего состояния и его внутренних движений. Поэтому полная работа внутренних сил при угловом перемещении должна быть равна нулю. При угловом перемещении δφ материальная точка, характеризуемая радиусом вектором r_i , испытывает смещение δri =δφ*ri. Равенство нулю полной работы внутренних сил при угловом перемещении системы на δφ выражается в виде

½*∑∑(δr_i∙F_ji+δr_i∙F_ij)=0. (1)

Следовательно можно написать:

δr_i∙F_ji+δr_i∙F_ij=(δφ´r_i)∙F_ji+( δφ´r_i)∙F_ij=δφ∙(r_i´F_ji)+δφ´(r_i´F_ij)=δφ∙[(r_i-r_j)´F_ji], (2)

где во внимание известное из векторной алгебры правило о циклической перестановке сомножетелей в смешанном векторном произведении и третий закон Ньютона. Пожставляя (2) в (1), находим ½*∑_i∑_jδφ∙[(r_i-r_j)*F_ji]=0. Поскольку угловое перемещение δφ произвольно, получаем равенство ∑_i∑_j(r_ir_j)*F_ji=0. Можно сказать, что полученное равенство следует из изотропности пространства. А это означает, что закон сохранения момента импульса изолированной системы материальных точек обусловлен фундаментальным свойством пространства в инерциальных система — его изотропностью.